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5. 某校九年级举行了一次学生足球赛，比赛以班级为单位采用单循环制，要求每两个班级之间赛1场。若整个比赛一共赛了28场，则参赛的班级数为（
A.10
B.9
C.8
D.7
C
）。A.10
B.9
C.8
D.7
答案
5. C
解析
【分析】
首先明确单循环赛的规则：每两个班级之间仅比赛1场，无重复场次。我们可以设参赛班级数为x，每个班级需要和除自身外的(x-1)个班级各赛1场，若直接计算x(x-1)，每场比赛会被两个班级各统计1次，存在重复计算，因此实际总比赛场数应为$\frac{x(x-1)}{2}$。结合题目给出的总场数28场，可列出一元二次方程，求解后结合班级数为正整数的实际意义取舍根，即可得到结果。
【解析】
设参赛的班级数为x，根据单循环赛总场次的计算逻辑列方程：
$\frac{1}{2}x(x-1)=28$
整理得：
$x^2 - x - 56 = 0$
因式分解得：
$(x-8)(x+7)=0$
解得$x_1=8$，$x_2=-7$。
由于班级数不能为负数，舍去$x_2=-7$，因此参赛班级数为8。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的应用；单循环计数问题
【点评】
本题是典型的方程实际应用题，核心是理解单循环赛的计数规则，准确找到总场次的等量关系列方程，求解后注意结合实际场景排除不符合的根，解题逻辑清晰，难度不大。
【难度系数】
0.7
首先明确单循环赛的规则：每两个班级之间仅比赛1场，无重复场次。我们可以设参赛班级数为x，每个班级需要和除自身外的(x-1)个班级各赛1场，若直接计算x(x-1)，每场比赛会被两个班级各统计1次，存在重复计算，因此实际总比赛场数应为$\frac{x(x-1)}{2}$。结合题目给出的总场数28场，可列出一元二次方程，求解后结合班级数为正整数的实际意义取舍根，即可得到结果。
【解析】
设参赛的班级数为x，根据单循环赛总场次的计算逻辑列方程：
$\frac{1}{2}x(x-1)=28$
整理得：
$x^2 - x - 56 = 0$
因式分解得：
$(x-8)(x+7)=0$
解得$x_1=8$，$x_2=-7$。
由于班级数不能为负数，舍去$x_2=-7$，因此参赛班级数为8。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的应用；单循环计数问题
【点评】
本题是典型的方程实际应用题，核心是理解单循环赛的计数规则，准确找到总场次的等量关系列方程，求解后注意结合实际场景排除不符合的根，解题逻辑清晰，难度不大。
【难度系数】
0.7
6. 如图25-1，在一块矩形的劳动实践基地中有三条同宽的道路，横向有一条，纵向有两条，除道路外，剩下的是试验田。已知该矩形基地的长为34 m，宽为18 m，试验田的面积为480 m²。设修建的路宽为x m，根据题意可列方程为（
图25-1
A.$(18-2x)(34-2x)=480$
B.$(18-x)(34-x)=480$
C.$(18-x)(34-2x)=480$
D.$(18-2x)(34-x)=480$
C
）。图25-1
A.$(18-2x)(34-2x)=480$
B.$(18-x)(34-x)=480$
C.$(18-x)(34-2x)=480$
D.$(18-2x)(34-x)=480$
答案
6. C
解析
【分析】
这是一道一元二次方程的几何应用类题目，可通过平移法简化计算：首先将三条道路向矩形的边缘平移，分散的试验田会拼接成一个完整的新矩形，只需确定新矩形的长和宽，结合试验田面积即可列出方程。纵向有2条宽为x的道路，因此新矩形的长为原长减去2倍路宽；横向有1条宽为x的道路，因此新矩形的宽为原宽减去1倍路宽，最后根据矩形面积公式列等式即可。
【解析】
将两条纵向道路向矩形左右边缘平移、横向道路向矩形上下边缘平移，试验田可拼接为一个新的矩形：
1. 原矩形长为34m，纵向有2条宽为x m的道路，因此新矩形的长为$(34-2x)\mathrm{m}$；
2. 原矩形宽为18m，横向有1条宽为x m的道路，因此新矩形的宽为$(18-x)\mathrm{m}$；
3. 已知试验田面积为$480\mathrm{m}^2$，根据“矩形面积=长×宽”，可列方程：$(18-x)(34-2x)=480$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的实际应用，平移法求面积，矩形面积计算
【点评】
本题的解题核心是利用平移法将分散的试验田拼接为整体矩形，规避了单独计算各块试验田面积、重复扣除道路重叠部分的繁琐步骤，能快速找到等量关系列方程。
【难度系数】
0.7
这是一道一元二次方程的几何应用类题目，可通过平移法简化计算：首先将三条道路向矩形的边缘平移，分散的试验田会拼接成一个完整的新矩形，只需确定新矩形的长和宽，结合试验田面积即可列出方程。纵向有2条宽为x的道路，因此新矩形的长为原长减去2倍路宽；横向有1条宽为x的道路，因此新矩形的宽为原宽减去1倍路宽，最后根据矩形面积公式列等式即可。
【解析】
将两条纵向道路向矩形左右边缘平移、横向道路向矩形上下边缘平移，试验田可拼接为一个新的矩形：
1. 原矩形长为34m，纵向有2条宽为x m的道路，因此新矩形的长为$(34-2x)\mathrm{m}$；
2. 原矩形宽为18m，横向有1条宽为x m的道路，因此新矩形的宽为$(18-x)\mathrm{m}$；
3. 已知试验田面积为$480\mathrm{m}^2$，根据“矩形面积=长×宽”，可列方程：$(18-x)(34-2x)=480$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的实际应用，平移法求面积，矩形面积计算
【点评】
本题的解题核心是利用平移法将分散的试验田拼接为整体矩形，规避了单独计算各块试验田面积、重复扣除道路重叠部分的繁琐步骤，能快速找到等量关系列方程。
【难度系数】
0.7
7. 关于$x$的一元二次方程$(m-3)x^2 -5x + m^2 -9=0$不含常数项，则$m$的值为
-3
。答案
7. -3
解析
【分析】
解题时需要同时满足两个条件：一是方程为一元二次方程，因此二次项系数不能为0；二是方程不含常数项，因此常数项的取值为0。我们先根据“不含常数项”列出方程求出m的可能值，再结合“一元二次方程二次项系数不为0”的隐含条件排除不符合要求的m值，即可得到正确结果。
【解析】
解：
∵ 该方程是关于x的一元二次方程
∴ 二次项系数不为0，即 $m - 3 ≠ 0$，解得 $m ≠ 3$
又
∵ 方程不含常数项
∴ 常数项的值为0，即 $m^2 - 9 = 0$
解该方程得：$m^2 = 9$，即 $m = 3$ 或 $m = -3$
结合 $m ≠ 3$ 的限制条件，舍去 $m = 3$
综上，$m = -3$
【答案】
-3
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 一元二次方程的项与系数
【点评】
本题是一元二次方程参数求解的常见基础题，易错点是容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，直接求解常数项为0的方程得到$m=\pm3$，错填3，做题时要注意挖掘题目隐含限制条件，避免多解错误。
【难度系数】
0.7
解题时需要同时满足两个条件：一是方程为一元二次方程，因此二次项系数不能为0；二是方程不含常数项，因此常数项的取值为0。我们先根据“不含常数项”列出方程求出m的可能值，再结合“一元二次方程二次项系数不为0”的隐含条件排除不符合要求的m值，即可得到正确结果。
【解析】
解：
∵ 该方程是关于x的一元二次方程
∴ 二次项系数不为0，即 $m - 3 ≠ 0$，解得 $m ≠ 3$
又
∵ 方程不含常数项
∴ 常数项的值为0，即 $m^2 - 9 = 0$
解该方程得：$m^2 = 9$，即 $m = 3$ 或 $m = -3$
结合 $m ≠ 3$ 的限制条件，舍去 $m = 3$
综上，$m = -3$
【答案】
-3
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 一元二次方程的项与系数
【点评】
本题是一元二次方程参数求解的常见基础题，易错点是容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，直接求解常数项为0的方程得到$m=\pm3$，错填3，做题时要注意挖掘题目隐含限制条件，避免多解错误。
【难度系数】
0.7
8. 关于$x$的方程$x^2 - mx + 2 = 0$的一个根为2，则另一个根为
1
。答案
8. 1
解析
【分析】
已知一元二次方程的一个根求另一个根，有两种常见解题思路：思路1：利用根的定义，先将已知根代入方程求出参数m的值，再解完整的一元二次方程得到另一个根；思路2：利用一元二次方程根与系数的关系，两根之积等于常数项与二次项系数的比值，直接列算式求另一个根，第二种方法计算更简便。
【解析】
方法一（根与系数关系法）：
设方程的另一个根为$x_1$，对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之积为$\frac{c}{a}$。
本题中方程为$x^2 - mx + 2 = 0$，已知一个根是2，因此$2× x_1=\frac{2}{1}=2$，解得$x_1=1$。
方法二（代入求参法）：
把$x=2$代入方程$x^2 - mx + 2 = 0$得：$2^2 - 2m + 2 = 0$，即$6 - 2m = 0$，解得$m=3$。
原方程为$x^2 - 3x + 2 = 0$，因式分解得$(x-1)(x-2)=0$，解得$x_1=1,x_2=2$，因此另一个根为1。
【答案】
1
【知识点】
一元二次方程根的定义，一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题属于基础题型，解题时可灵活选择方法，运用根与系数的关系能快速求解，避免多余计算，需熟练掌握一元二次方程根的相关性质。
【难度系数】
0.8
已知一元二次方程的一个根求另一个根，有两种常见解题思路：思路1：利用根的定义，先将已知根代入方程求出参数m的值，再解完整的一元二次方程得到另一个根；思路2：利用一元二次方程根与系数的关系，两根之积等于常数项与二次项系数的比值，直接列算式求另一个根，第二种方法计算更简便。
【解析】
方法一（根与系数关系法）：
设方程的另一个根为$x_1$，对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之积为$\frac{c}{a}$。
本题中方程为$x^2 - mx + 2 = 0$，已知一个根是2，因此$2× x_1=\frac{2}{1}=2$，解得$x_1=1$。
方法二（代入求参法）：
把$x=2$代入方程$x^2 - mx + 2 = 0$得：$2^2 - 2m + 2 = 0$，即$6 - 2m = 0$，解得$m=3$。
原方程为$x^2 - 3x + 2 = 0$，因式分解得$(x-1)(x-2)=0$，解得$x_1=1,x_2=2$，因此另一个根为1。
【答案】
1
【知识点】
一元二次方程根的定义，一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题属于基础题型，解题时可灵活选择方法，运用根与系数的关系能快速求解，避免多余计算，需熟练掌握一元二次方程根的相关性质。
【难度系数】
0.8
9.（安徽期中）关于x的一元二次方程$x^2 -8x +m=0$有两个不相等的实数根，则m的取值范围是
$m＜16$
。答案
9. $m＜16$
解析
【分析】
遇到一元二次方程根的个数相关问题，首先想到用根的判别式求解：第一步先明确一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$中，根的个数与判别式$\Delta=b^2-4ac$的对应关系：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时无实数根；第二步对应本题方程找到$a、b、c$的取值；第三步结合题目“两个不相等的实数根”的条件列不等式，解不等式即可得到$m$的取值范围。
【解析】
解：已知方程$x^2 -8x +m=0$是一元二次方程，且有两个不相等的实数根
根据一元二次方程根的判别式规则，可得$\Delta = b^2-4ac＞0$
其中$a=1$，$b=-8$，$c=m$，代入得：
$(-8)^2 - 4×1× m ＞ 0$
计算得：$64-4m＞0$
移项得：$4m＜64$
两边同时除以4，解得：$m＜16$
【答案】
$m＜16$
【知识点】
一元二次方程根的判别式；解一元一次不等式
【点评】
本题属于根的判别式的基础应用类考题，解题核心是熟记判别式与一元二次方程根的个数的对应关系，计算时注意系数符号不要出错即可。
【难度系数】
0.8
遇到一元二次方程根的个数相关问题，首先想到用根的判别式求解：第一步先明确一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$中，根的个数与判别式$\Delta=b^2-4ac$的对应关系：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时无实数根；第二步对应本题方程找到$a、b、c$的取值；第三步结合题目“两个不相等的实数根”的条件列不等式，解不等式即可得到$m$的取值范围。
【解析】
解：已知方程$x^2 -8x +m=0$是一元二次方程，且有两个不相等的实数根
根据一元二次方程根的判别式规则，可得$\Delta = b^2-4ac＞0$
其中$a=1$，$b=-8$，$c=m$，代入得：
$(-8)^2 - 4×1× m ＞ 0$
计算得：$64-4m＞0$
移项得：$4m＜64$
两边同时除以4，解得：$m＜16$
【答案】
$m＜16$
【知识点】
一元二次方程根的判别式；解一元一次不等式
【点评】
本题属于根的判别式的基础应用类考题，解题核心是熟记判别式与一元二次方程根的个数的对应关系，计算时注意系数符号不要出错即可。
【难度系数】
0.8
10. 若$x_1$，$x_2$是方程$5x^2 + x - 5 = 0$的两个根，则$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$的值为
$\frac{1}{5}$
。答案
10. $\frac{1}{5}$
解析
【分析】
遇到求方程两根的倒数和这类问题，不需要直接求解方程得到两个根的值，可先对所求代数式进行通分化简，将其转化为含有两根之和、两根之积的形式，再利用一元二次方程根与系数的关系，直接从方程的系数求出两根和与两根积，最后代入化简后的式子计算即可，能大幅简化计算过程。
【解析】
已知$x_1$，$x_2$是方程$5x^2 + x - 5 = 0$的两个根，对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），根据根与系数的关系可得：
两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$
在方程$5x^2 + x - 5 = 0$中，$a=5$，$b=1$，$c=-5$，因此：
$x_1+x_2=-\frac{1}{5}$，$x_1x_2=\frac{-5}{5}=-1$
对所求代数式通分化简：
$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_2+x_1}{x_1x_2}$
将$x_1+x_2=-\frac{1}{5}$，$x_1x_2=-1$代入上式得：
$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{-\frac{1}{5}}{-1}=\frac{1}{5}$
【答案】
$\frac{1}{5}$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系、分式化简
【点评】
本题是根与系数关系的典型应用题型，核心是将所求代数式转化为用两根和、两根积表示的形式，避免了解方程的繁琐计算，属于基础常考题。
【难度系数】
0.8
遇到求方程两根的倒数和这类问题，不需要直接求解方程得到两个根的值，可先对所求代数式进行通分化简，将其转化为含有两根之和、两根之积的形式，再利用一元二次方程根与系数的关系，直接从方程的系数求出两根和与两根积，最后代入化简后的式子计算即可，能大幅简化计算过程。
【解析】
已知$x_1$，$x_2$是方程$5x^2 + x - 5 = 0$的两个根，对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），根据根与系数的关系可得：
两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$
在方程$5x^2 + x - 5 = 0$中，$a=5$，$b=1$，$c=-5$，因此：
$x_1+x_2=-\frac{1}{5}$，$x_1x_2=\frac{-5}{5}=-1$
对所求代数式通分化简：
$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_2+x_1}{x_1x_2}$
将$x_1+x_2=-\frac{1}{5}$，$x_1x_2=-1$代入上式得：
$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{-\frac{1}{5}}{-1}=\frac{1}{5}$
【答案】
$\frac{1}{5}$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系、分式化简
【点评】
本题是根与系数关系的典型应用题型，核心是将所求代数式转化为用两根和、两根积表示的形式，避免了解方程的繁琐计算，属于基础常考题。
【难度系数】
0.8
11. 解下列方程：
(1) $(x-2)^2 -4=0$；
(2) $x^2 -4x -3=0$；（用配方法）
(3) $x^2 -x -5=0$；
(4) $(x+8)(x+2)=-9$。
(1) $(x-2)^2 -4=0$；
(2) $x^2 -4x -3=0$；（用配方法）
(3) $x^2 -x -5=0$；
(4) $(x+8)(x+2)=-9$。
答案
11. 解：(1) 移项，得$(x-2)^2=4$.
由此可得$x-2=\pm2$，
即$x_1=0$，$x_2=4$.
(2) 移项，得$x^2-4x=3$.
配方，得$x^2-4x+2^2=3+2^2$，
$(x-2)^2=7$.
由此可得$x-2=\pm\sqrt{7}$，
即$x_1=2+\sqrt{7}$，$x_2=2-\sqrt{7}$.
(3) $\because a=1$，$b=-1$，$c=-5$，
$\therefore \Delta =b^2-4ac=(-1)^2-4×1×(-5)=21＞0$.
方程有两个不相等的实数根
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{1\pm\sqrt{21}}{2}$，
即$x_1=\frac{1+\sqrt{21}}{2}$，$x_2=\frac{1-\sqrt{21}}{2}$.
(4) 原方程整理，得$x^2+10x+25=0$.
左边分解因式，得$(x+5)^2=0$.
于是$x+5=0$，即$x_1=x_2=-5$.
由此可得$x-2=\pm2$，
即$x_1=0$，$x_2=4$.
(2) 移项，得$x^2-4x=3$.
配方，得$x^2-4x+2^2=3+2^2$，
$(x-2)^2=7$.
由此可得$x-2=\pm\sqrt{7}$，
即$x_1=2+\sqrt{7}$，$x_2=2-\sqrt{7}$.
(3) $\because a=1$，$b=-1$，$c=-5$，
$\therefore \Delta =b^2-4ac=(-1)^2-4×1×(-5)=21＞0$.
方程有两个不相等的实数根
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{1\pm\sqrt{21}}{2}$，
即$x_1=\frac{1+\sqrt{21}}{2}$，$x_2=\frac{1-\sqrt{21}}{2}$.
(4) 原方程整理，得$x^2+10x+25=0$.
左边分解因式，得$(x+5)^2=0$.
于是$x+5=0$，即$x_1=x_2=-5$.
解析
【分析】
本题可根据各方程的特征选择对应解法求解：
(1) 方程为平方项减常数的形式，优先用直接开平方法，先移项将常数项移到等号右侧，再开平方得到两个一次方程求解；
(2) 要求用配方法，按配方法步骤操作：先移项把常数项放等号右侧，再给两边同时加一次项系数一半的平方，凑出完全平方式后开方求解；
(3) 方程无特殊结构，选用公式法，先确定二次项系数a、一次项系数b、常数项c，计算判别式判断根的情况，再代入求根公式计算即可；
(4) 先展开括号整理为一元二次方程一般形式，观察发现整理后可写成完全平方式，用因式分解法求解更简便。
【解析】
(1) 移项，得$(x-2)^2=4$.
由此可得$x-2=\pm2$，
即$x_1=0$，$x_2=4$.
(2) 移项，得$x^2-4x=3$.
配方，得$x^2-4x+2^2=3+2^2$，
$(x-2)^2=7$.
由此可得$x-2=\pm\sqrt{7}$，
即$x_1=2+\sqrt{7}$，$x_2=2-\sqrt{7}$.
(3) $\because a=1$，$b=-1$，$c=-5$，
$\therefore \Delta =b^2-4ac=(-1)^2-4×1×(-5)=21＞0$.
方程有两个不相等的实数根
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{1\pm\sqrt{21}}{2}$，
即$x_1=\frac{1+\sqrt{21}}{2}$，$x_2=\frac{1-\sqrt{21}}{2}$.
(4) 原方程整理，得$x^2+10x+25=0$.
左边分解因式，得$(x+5)^2=0$.
于是$x+5=0$，即$x_1=x_2=-5$.
【答案】
(1)$x_1=0$，$x_2=4$；
(2)$x_1=2+\sqrt{7}$，$x_2=2-\sqrt{7}$；
(3)$x_1=\frac{1+\sqrt{21}}{2}$，$x_2=\frac{1-\sqrt{21}}{2}$；
(4)$x_1=x_2=-5$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；配方法解一元二次方程；一元二次方程的公式法与因式分解解法
【点评】
本题覆盖了一元二次方程的常规解法，解题时可优先根据方程结构选择简便方法，注意配方法的配方规则、公式法中判别式的计算、因式分解法需先把方程整理为右边为0的形式，日常练习中要注意提升计算的准确性。
【难度系数】
0.75
本题可根据各方程的特征选择对应解法求解：
(1) 方程为平方项减常数的形式，优先用直接开平方法，先移项将常数项移到等号右侧，再开平方得到两个一次方程求解；
(2) 要求用配方法，按配方法步骤操作：先移项把常数项放等号右侧，再给两边同时加一次项系数一半的平方，凑出完全平方式后开方求解；
(3) 方程无特殊结构，选用公式法，先确定二次项系数a、一次项系数b、常数项c，计算判别式判断根的情况，再代入求根公式计算即可；
(4) 先展开括号整理为一元二次方程一般形式，观察发现整理后可写成完全平方式，用因式分解法求解更简便。
【解析】
(1) 移项，得$(x-2)^2=4$.
由此可得$x-2=\pm2$，
即$x_1=0$，$x_2=4$.
(2) 移项，得$x^2-4x=3$.
配方，得$x^2-4x+2^2=3+2^2$，
$(x-2)^2=7$.
由此可得$x-2=\pm\sqrt{7}$，
即$x_1=2+\sqrt{7}$，$x_2=2-\sqrt{7}$.
(3) $\because a=1$，$b=-1$，$c=-5$，
$\therefore \Delta =b^2-4ac=(-1)^2-4×1×(-5)=21＞0$.
方程有两个不相等的实数根
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{1\pm\sqrt{21}}{2}$，
即$x_1=\frac{1+\sqrt{21}}{2}$，$x_2=\frac{1-\sqrt{21}}{2}$.
(4) 原方程整理，得$x^2+10x+25=0$.
左边分解因式，得$(x+5)^2=0$.
于是$x+5=0$，即$x_1=x_2=-5$.
【答案】
(1)$x_1=0$，$x_2=4$；
(2)$x_1=2+\sqrt{7}$，$x_2=2-\sqrt{7}$；
(3)$x_1=\frac{1+\sqrt{21}}{2}$，$x_2=\frac{1-\sqrt{21}}{2}$；
(4)$x_1=x_2=-5$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；配方法解一元二次方程；一元二次方程的公式法与因式分解解法
【点评】
本题覆盖了一元二次方程的常规解法，解题时可优先根据方程结构选择简便方法，注意配方法的配方规则、公式法中判别式的计算、因式分解法需先把方程整理为右边为0的形式，日常练习中要注意提升计算的准确性。
【难度系数】
0.75
12. 下面是小明同学解一元二次方程的过程.
解方程：$(3x-1)^2=2(3x-1)$.
解：方程两边同除以$(3x-1)$，得$3x-1=2$. ………………………………………第一步
移项、合并同类项，得$3x=3$. …………………………………………………第二步
系数化为1，得$x=1$. ………………………………………………………第三步
（1）以上解方程的过程，从第
（2）请你写出正确的解答过程.
解方程：$(3x-1)^2=2(3x-1)$.
解：方程两边同除以$(3x-1)$，得$3x-1=2$. ………………………………………第一步
移项、合并同类项，得$3x=3$. …………………………………………………第二步
系数化为1，得$x=1$. ………………………………………………………第三步
（1）以上解方程的过程，从第
一
步开始出现错误，错误的原因是没判断$(3x-1)$是否等于0
；（2）请你写出正确的解答过程.
答案
12. 解：(1) 一 没判断$(3x-1)$是否等于0
(2) $(3x-1)^2=2(3x-1)$，
移项，得$(3x-1)^2-2(3x-1)=0$，
左边分解因式，得$(3x-1-2)(3x-1)=0$，
于是$3x-1-2=0$或$3x-1=0$，
即$x_1=1$，$x_2=\frac{1}{3}$.
(2) $(3x-1)^2=2(3x-1)$，
移项，得$(3x-1)^2-2(3x-1)=0$，
左边分解因式，得$(3x-1-2)(3x-1)=0$，
于是$3x-1-2=0$或$3x-1=0$，
即$x_1=1$，$x_2=\frac{1}{3}$.
解析
【分析】
（1）首先回忆等式的性质2：等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式才成立。本题第一步直接给方程两边除以整式$(3x-1)$，没有考虑这个整式可能为0的情况，既不符合等式性质，还会丢失对应的根，因此第一步就出现错误。
（2）解这类左右两边含有相同公因式的一元二次方程，优先选择因式分解法：先把所有项移到方程左侧，提取公因式$(3x-1)$，将方程转化为两个一次因式乘积为0的形式，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的原理，分别解两个一元一次方程，就能得到方程的全部根，不会出现丢根的问题。
【解析】
（1）对比等式性质的要求，第一步直接除以含未知数的整式不符合规则，因此从第一步开始出错，错误原因是没有判断$(3x-1)$是否等于0，直接除以可能为0的整式会违背等式性质，还会丢失根。
（2）正确解答步骤如下：
先移项，将右侧的项移到左侧，得$(3x-1)^2-2(3x-1)=0$；
对左侧提取公因式$(3x-1)$分解因式，得$(3x-1)(3x-1-2)=0$；
根据乘积为0的性质可得$3x-1=0$或$3x-1-2=0$；
分别解两个一次方程：当$3x-1=0$时，解得$x=\frac{1}{3}$；当$3x-3=0$时，解得$x=1$。
【答案】
(1) 一；没判断$(3x-1)$是否等于0
(2) 移项，得$(3x-1)^2-2(3x-1)=0$，
左边分解因式，得$(3x-1-2)(3x-1)=0$，
于是$3x-1-2=0$或$3x-1=0$，
即$x_1=1$，$x_2=\frac{1}{3}$。
【知识点】
等式的性质；因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根
【点评】
本题是一元二次方程求解的典型易错题，重点考查对等式性质的理解和因式分解法解方程的应用，要注意解方程时不能随意除以含未知数的整式，否则很容易出现漏解的问题，熟练掌握因式分解法解方程的步骤可以有效规避这类错误。
【难度系数】
0.7
（1）首先回忆等式的性质2：等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式才成立。本题第一步直接给方程两边除以整式$(3x-1)$，没有考虑这个整式可能为0的情况，既不符合等式性质，还会丢失对应的根，因此第一步就出现错误。
（2）解这类左右两边含有相同公因式的一元二次方程，优先选择因式分解法：先把所有项移到方程左侧，提取公因式$(3x-1)$，将方程转化为两个一次因式乘积为0的形式，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的原理，分别解两个一元一次方程，就能得到方程的全部根，不会出现丢根的问题。
【解析】
（1）对比等式性质的要求，第一步直接除以含未知数的整式不符合规则，因此从第一步开始出错，错误原因是没有判断$(3x-1)$是否等于0，直接除以可能为0的整式会违背等式性质，还会丢失根。
（2）正确解答步骤如下：
先移项，将右侧的项移到左侧，得$(3x-1)^2-2(3x-1)=0$；
对左侧提取公因式$(3x-1)$分解因式，得$(3x-1)(3x-1-2)=0$；
根据乘积为0的性质可得$3x-1=0$或$3x-1-2=0$；
分别解两个一次方程：当$3x-1=0$时，解得$x=\frac{1}{3}$；当$3x-3=0$时，解得$x=1$。
【答案】
(1) 一；没判断$(3x-1)$是否等于0
(2) 移项，得$(3x-1)^2-2(3x-1)=0$，
左边分解因式，得$(3x-1-2)(3x-1)=0$，
于是$3x-1-2=0$或$3x-1=0$，
即$x_1=1$，$x_2=\frac{1}{3}$。
【知识点】
等式的性质；因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根
【点评】
本题是一元二次方程求解的典型易错题，重点考查对等式性质的理解和因式分解法解方程的应用，要注意解方程时不能随意除以含未知数的整式，否则很容易出现漏解的问题，熟练掌握因式分解法解方程的步骤可以有效规避这类错误。
【难度系数】
0.7
