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7. 相框边的宽窄影响可放入相片的大小. 如图26.1-1，相框长26 cm，宽22 cm，相框边（阴影部分）的宽为x cm，相框内的面积是y cm²，则y与x之间的函数解析式为
$y=4x^2-96x+572$
. 答案
7. $y=4x^2-96x+572$
解析
【分析】
要得到y与x的函数解析式，首先明确相框内部为矩形，需先求出内部矩形的长和宽：相框整体长26cm、宽22cm，边框宽x cm，由于长的方向左右各有x cm的边框，宽的方向上下各有x cm的边框，因此内部矩形的长为整体长减去2个x，宽为整体宽减去2个x，再根据矩形面积=长×宽，代入后整理为标准函数式即可。
【解析】
1. 求内部矩形的长和宽：
左右边框各宽x cm，因此内部矩形的长为$\boldsymbol{(26-2x)\ \mathrm{cm}}$；
上下边框各宽x cm，因此内部矩形的宽为$\boldsymbol{(22-2x)\ \mathrm{cm}}$。
2. 根据矩形面积公式列函数式：
$y=(26-2x)(22-2x)$
3. 展开整理式子：
$\begin{aligned} y&=26×22 - 26×2x - 22×2x + 4x^2\\ &=572 - 52x - 44x + 4x^2\\ &=4x^2 - 96x + 572 \end{aligned}$
【答案】
$y=4x^2-96x+572$
【知识点】
矩形面积计算，多项式乘法，二次函数解析式
【点评】
本题属于实际场景的基础函数题，易错点是容易忽略边框分布在两侧，误将内部长宽写为$26-x$和$22-x$，计算多项式乘法时注意不要漏乘、错项，合并同类项时系数计算准确即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
要得到y与x的函数解析式，首先明确相框内部为矩形，需先求出内部矩形的长和宽：相框整体长26cm、宽22cm，边框宽x cm，由于长的方向左右各有x cm的边框，宽的方向上下各有x cm的边框，因此内部矩形的长为整体长减去2个x，宽为整体宽减去2个x，再根据矩形面积=长×宽，代入后整理为标准函数式即可。
【解析】
1. 求内部矩形的长和宽：
左右边框各宽x cm，因此内部矩形的长为$\boldsymbol{(26-2x)\ \mathrm{cm}}$；
上下边框各宽x cm，因此内部矩形的宽为$\boldsymbol{(22-2x)\ \mathrm{cm}}$。
2. 根据矩形面积公式列函数式：
$y=(26-2x)(22-2x)$
3. 展开整理式子：
$\begin{aligned} y&=26×22 - 26×2x - 22×2x + 4x^2\\ &=572 - 52x - 44x + 4x^2\\ &=4x^2 - 96x + 572 \end{aligned}$
【答案】
$y=4x^2-96x+572$
【知识点】
矩形面积计算，多项式乘法，二次函数解析式
【点评】
本题属于实际场景的基础函数题，易错点是容易忽略边框分布在两侧，误将内部长宽写为$26-x$和$22-x$，计算多项式乘法时注意不要漏乘、错项，合并同类项时系数计算准确即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
8. 已知二次函数$y=2x^2+4x-1$，它的二次项系数为$a$，一次项系数为$b$，常数项为$c$，则$y=cx^2 -ax +b$为
y=-x²-2x+4
。答案
8. y=-x²-2x+4
解析
【分析】
解题首先需要从给定的二次函数解析式中准确识别出二次项系数a、一次项系数b、常数项c，再将三个系数的值代入待求的函数表达式，最后化简整理即可得到结果。注意识别系数时要带上对应符号，避免符号错误。
【解析】
第一步：确定a、b、c的值
已知二次函数$y=2x^2+4x-1$，根据二次函数各项系数的定义：
二次项系数$a=2$，一次项系数$b=4$，常数项$c=-1$。
第二步：代入待求函数表达式化简
将$a=2$、$b=4$、$c=-1$代入$y=cx^2 -ax +b$，得：
$y=(-1)x^2 - 2x + 4$
化简后为$y=-x^2-2x+4$。
【答案】
$y=-x^2-2x+4$
【知识点】
1. 二次函数系数识别
2. 代数式代入化简
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对二次函数基本构成的掌握，解题的易错点是提取常数项时容易忽略负号，代入计算时要格外注意符号问题。
【难度系数】
0.9
解题首先需要从给定的二次函数解析式中准确识别出二次项系数a、一次项系数b、常数项c，再将三个系数的值代入待求的函数表达式，最后化简整理即可得到结果。注意识别系数时要带上对应符号，避免符号错误。
【解析】
第一步：确定a、b、c的值
已知二次函数$y=2x^2+4x-1$，根据二次函数各项系数的定义：
二次项系数$a=2$，一次项系数$b=4$，常数项$c=-1$。
第二步：代入待求函数表达式化简
将$a=2$、$b=4$、$c=-1$代入$y=cx^2 -ax +b$，得：
$y=(-1)x^2 - 2x + 4$
化简后为$y=-x^2-2x+4$。
【答案】
$y=-x^2-2x+4$
【知识点】
1. 二次函数系数识别
2. 代数式代入化简
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对二次函数基本构成的掌握，解题的易错点是提取常数项时容易忽略负号，代入计算时要格外注意符号问题。
【难度系数】
0.9
9. 王大爷经销一种农副产品，其成本为20元/kg. 市场调查发现，该产品每天的销售量w（单位：kg）与售价x（单位：元/kg）有如下关系：$w=-2x+60$. 若这种产品每天的销售利润为y（单位：元），则y与x之间的函数解析式为
y=-2x²+100x-1 200
.答案
9. y=-2x²+100x-1 200
解析
【分析】
解题时首先回忆销售利润的核心计算逻辑：总利润=单位商品的利润×商品的销售量。第一步先求单位利润：已知成本为20元/kg，售价为x元/kg，因此每千克产品的利润是(x-20)元；第二步代入题目给出的销售量与售价的关系w=-2x+60，将单位利润和销售量代入总利润公式，再展开化简即可得到y与x的函数解析式。
【解析】
根据销售利润的计算公式：
总利润$ y = \mathrm{每千克利润} × \mathrm{销售量}w $
每千克利润为$ (x-20) $元，销售量$ w=-2x+60 $，代入得：
$ y=(x-20)(-2x+60) $
展开并化简：
$ y=-2x^2+60x+40x-1200 $
$ y=-2x^2+100x-1200 $
【答案】
$ y=-2x^2+100x-1200 $
【知识点】
销售利润计算；多项式乘法；二次函数实际应用
【点评】
本题是基础的实际问题函数解析式列写题，解题关键是找准销售问题的等量关系，代入已知数量关系后按整式运算法则化简即可，计算时注意多项式相乘的符号不要出错。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆销售利润的核心计算逻辑：总利润=单位商品的利润×商品的销售量。第一步先求单位利润：已知成本为20元/kg，售价为x元/kg，因此每千克产品的利润是(x-20)元；第二步代入题目给出的销售量与售价的关系w=-2x+60，将单位利润和销售量代入总利润公式，再展开化简即可得到y与x的函数解析式。
【解析】
根据销售利润的计算公式：
总利润$ y = \mathrm{每千克利润} × \mathrm{销售量}w $
每千克利润为$ (x-20) $元，销售量$ w=-2x+60 $，代入得：
$ y=(x-20)(-2x+60) $
展开并化简：
$ y=-2x^2+60x+40x-1200 $
$ y=-2x^2+100x-1200 $
【答案】
$ y=-2x^2+100x-1200 $
【知识点】
销售利润计算；多项式乘法；二次函数实际应用
【点评】
本题是基础的实际问题函数解析式列写题，解题关键是找准销售问题的等量关系，代入已知数量关系后按整式运算法则化简即可，计算时注意多项式相乘的符号不要出错。
【难度系数】
0.8
10. 当某水果店将进价为18元/kg的荔枝，以28元/kg售出时，每天能售出40 kg. 市场调研表明：售价每降低1元/kg，平均每天能多售出10 kg. 设降价x元，销售利润为y元，请写出y关于x的函数解析式.
答案
10. 解：根据题意，得降价后平均每天可以销售荔枝(40+10x)kg.
∴y=(40+10x)(28-18-x)，
即y=-10x²+60x+400.
∴y=(40+10x)(28-18-x)，
即y=-10x²+60x+400.
解析
【分析】
解题的核心是依据“总利润=每千克利润×销售量”的等量关系列函数式。首先明确两个关键变化量：一是降价x元后的每千克利润，原本每千克利润为售价减进价，即28-18=10元，降价x元后每千克利润减少x元，即为(10-x)元；二是降价x元后的销售量，原本每天销售40kg，每降1元多售出10kg，降x元后多售出10x kg，所以销售量为(40+10x)kg，最后将两个量相乘整理即可得到函数解析式。
【解析】
解：根据题意，降价后每千克荔枝的利润为(28-18-x)元，平均每天的销售量为(40+10x)kg。
由总利润=单位利润×销售量，可得：
$y=(40+10x)(28-18-x)$
展开整理得：
$y=(40+10x)(10-x)=-10x^2+60x+400$
【答案】
$y=-10x^2+60x+400$
【知识点】
销售利润计算，列二次函数解析式
【点评】
本题是二次函数在销售问题中的基础应用，解题关键是理清降价对单位利润、销售量的影响，牢记总利润的计算关系式即可快速求解，能锻炼实际问题的数学建模能力。
【难度系数】
0.7
解题的核心是依据“总利润=每千克利润×销售量”的等量关系列函数式。首先明确两个关键变化量：一是降价x元后的每千克利润，原本每千克利润为售价减进价，即28-18=10元，降价x元后每千克利润减少x元，即为(10-x)元；二是降价x元后的销售量，原本每天销售40kg，每降1元多售出10kg，降x元后多售出10x kg，所以销售量为(40+10x)kg，最后将两个量相乘整理即可得到函数解析式。
【解析】
解：根据题意，降价后每千克荔枝的利润为(28-18-x)元，平均每天的销售量为(40+10x)kg。
由总利润=单位利润×销售量，可得：
$y=(40+10x)(28-18-x)$
展开整理得：
$y=(40+10x)(10-x)=-10x^2+60x+400$
【答案】
$y=-10x^2+60x+400$
【知识点】
销售利润计算，列二次函数解析式
【点评】
本题是二次函数在销售问题中的基础应用，解题关键是理清降价对单位利润、销售量的影响，牢记总利润的计算关系式即可快速求解，能锻炼实际问题的数学建模能力。
【难度系数】
0.7
11. 如图26.1-2，有长为24 m的篱笆，现围成一面是墙（墙的最大可用长度为10 m）、中间隔有一道篱笆的矩形花圃. 设AB的长为x m，面积为S m². 求S与x之间的函数解析式及自变量x的取值范围.
答案
11. 解：
∵AB 的长为x m，面积为S m²，
∴BC 的长为(24−3x)m.
∴S=(24−3x)x=−3x²+24x.
∵$\begin{cases} x＞0, \\ 0＜24-3x≤10, \end{cases}$
∴$\frac{14}{3}≤ x＜8$.
∴S 与 x 的函数解析式为 S=−3x²+24x（$\frac{14}{3}≤ x＜8$）.
∵AB 的长为x m，面积为S m²，
∴BC 的长为(24−3x)m.
∴S=(24−3x)x=−3x²+24x.
∵$\begin{cases} x＞0, \\ 0＜24-3x≤10, \end{cases}$
∴$\frac{14}{3}≤ x＜8$.
∴S 与 x 的函数解析式为 S=−3x²+24x（$\frac{14}{3}≤ x＜8$）.
解析
【分析】
解题时首先明确篱笆的组成：垂直于墙的边共有3段（AB、中间分隔栏、DC），长度都为x m，剩余的篱笆长度就是平行于墙的边BC的长度。然后利用矩形面积=长×宽即可写出面积S关于x的表达式；接下来结合实际意义确定自变量范围：边长必须为正，且平行于墙的边BC的长度不能超过墙的最大可用长度10m，据此列不等式组求解即可得到x的取值范围。
【解析】
解：设AB的长为x m，
∵垂直于墙的边共3段，总篱笆长为24 m，
∴平行于墙的边BC的长度为$(24-3x)\ \mathrm{m}$。
根据矩形面积公式可得：
$S = x·(24-3x) = -3x^2 + 24x$
接下来确定x的取值范围：
边长为正，且BC的长度不超过墙的最大可用长度10m，因此列不等式组：
$\begin{cases} x＞0 \\ 0＜24-3x≤10 \end{cases}$
解不等式$24-3x＞0$，得$x＜8$；
解不等式$24-3x≤10$，得$x≥\frac{14}{3}$。
综上可得$\frac{14}{3}≤ x＜8$。
【答案】
S与x的函数解析式为$\boldsymbol{S=-3x^2+24x}$（$\boldsymbol{\frac{14}{3}≤ x＜8}$）
【知识点】
二次函数实际应用、不等式组求解、矩形面积计算
【点评】
本题结合实际场景考查二次函数解析式的求解，解题的核心是正确梳理篱笆与矩形各边的对应关系，需要特别注意自变量的取值范围必须符合实际意义，不能仅从代数式本身的限制求解，避免忽略墙的长度限制导致取值范围错误。
【难度系数】
0.6
解题时首先明确篱笆的组成：垂直于墙的边共有3段（AB、中间分隔栏、DC），长度都为x m，剩余的篱笆长度就是平行于墙的边BC的长度。然后利用矩形面积=长×宽即可写出面积S关于x的表达式；接下来结合实际意义确定自变量范围：边长必须为正，且平行于墙的边BC的长度不能超过墙的最大可用长度10m，据此列不等式组求解即可得到x的取值范围。
【解析】
解：设AB的长为x m，
∵垂直于墙的边共3段，总篱笆长为24 m，
∴平行于墙的边BC的长度为$(24-3x)\ \mathrm{m}$。
根据矩形面积公式可得：
$S = x·(24-3x) = -3x^2 + 24x$
接下来确定x的取值范围：
边长为正，且BC的长度不超过墙的最大可用长度10m，因此列不等式组：
$\begin{cases} x＞0 \\ 0＜24-3x≤10 \end{cases}$
解不等式$24-3x＞0$，得$x＜8$；
解不等式$24-3x≤10$，得$x≥\frac{14}{3}$。
综上可得$\frac{14}{3}≤ x＜8$。
【答案】
S与x的函数解析式为$\boldsymbol{S=-3x^2+24x}$（$\boldsymbol{\frac{14}{3}≤ x＜8}$）
【知识点】
二次函数实际应用、不等式组求解、矩形面积计算
【点评】
本题结合实际场景考查二次函数解析式的求解，解题的核心是正确梳理篱笆与矩形各边的对应关系，需要特别注意自变量的取值范围必须符合实际意义，不能仅从代数式本身的限制求解，避免忽略墙的长度限制导致取值范围错误。
【难度系数】
0.6
