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3. 已知$x=3$是关于$x$的方程$(\dfrac{x}{3}+1)+\dfrac{m(x-1)}{2}=1$的解，$m$，$n$满足关系式$|m+n|=2$，则$mn$的值是
$-3或1$
。答案
3. $-3$或$1$
解析
【分析】
解题分三步思考：第一步，根据方程的解的定义，将x=3代入已知方程，可求出m的值；第二步，根据绝对值的性质，绝对值等于正数的数有两个、互为相反数，据此解含m的绝对值方程，得到n的两个取值；第三步，将m和不同的n值代入mn计算即可得到结果。
【解析】
1. 求m的值：
∵x=3是方程$(\dfrac{x}{3}+1)+\dfrac{m(x-1)}{2}=1$的解，
∴将x=3代入方程得：
$(\dfrac{3}{3}+1)+\dfrac{m×(3-1)}{2}=1$
化简得：$(1+1)+\dfrac{2m}{2}=1$，即$2+m=1$
移项得：$m=1-2=-1$
2. 求n的值：
将$m=-1$代入$|m+n|=2$得：$|n-1|=2$
根据绝对值的性质可得：
$n-1=2$ 或 $n-1=-2$
解得：$n=3$ 或 $n=-1$
3. 计算mn的值：
当$m=-1,n=3$时，$mn=(-1)×3=-3$；
当$m=-1,n=-1$时，$mn=(-1)×(-1)=1$。
【答案】
$-3$或$1$
【知识点】
方程的解的定义；绝对值的性质；代数式求值
【点评】
本题属于基础综合题，解题关键是先利用方程的解求出参数m的值，再解绝对值方程，注意绝对值等于正数时有两个解，避免漏解。
【难度系数】
0.7
解题分三步思考：第一步，根据方程的解的定义，将x=3代入已知方程，可求出m的值；第二步，根据绝对值的性质，绝对值等于正数的数有两个、互为相反数，据此解含m的绝对值方程，得到n的两个取值；第三步，将m和不同的n值代入mn计算即可得到结果。
【解析】
1. 求m的值：
∵x=3是方程$(\dfrac{x}{3}+1)+\dfrac{m(x-1)}{2}=1$的解，
∴将x=3代入方程得：
$(\dfrac{3}{3}+1)+\dfrac{m×(3-1)}{2}=1$
化简得：$(1+1)+\dfrac{2m}{2}=1$，即$2+m=1$
移项得：$m=1-2=-1$
2. 求n的值：
将$m=-1$代入$|m+n|=2$得：$|n-1|=2$
根据绝对值的性质可得：
$n-1=2$ 或 $n-1=-2$
解得：$n=3$ 或 $n=-1$
3. 计算mn的值：
当$m=-1,n=3$时，$mn=(-1)×3=-3$；
当$m=-1,n=-1$时，$mn=(-1)×(-1)=1$。
【答案】
$-3$或$1$
【知识点】
方程的解的定义；绝对值的性质；代数式求值
【点评】
本题属于基础综合题，解题关键是先利用方程的解求出参数m的值，再解绝对值方程，注意绝对值等于正数时有两个解，避免漏解。
【难度系数】
0.7
4. 对于两个不相等的有理数$a$和$b$，我们规定符号$\min\{a, b\}$表示$a$，$b$两数中较小的数，例如：$\min\{-1, 2\}=-1$. 按照这个规定，求方程$\min\{x, -x\}=-2x+3$的解.
答案
因为符号$\min\{a, b\}$表示$a$，$b$两数中较小的数，所以$\min\{x, -x\}=x$或$-x$，所以$-2x+3=x$或$-2x+3=-x$。①当$x＜-x$时，$-2x+3=x$时，解得$x=1$，此时$-x=-1$，此时$x＞-x$，所以$x=1$不符合题意。②当$x＞-x$时，$-2x+3=-x$时，解得$x=3$，此时$-x=-3$，此时$-x＜x$，所以$x=3$符合题意。综上可得，方程$\min\{x, -x\}=-2x+3$的解为$x=3$。
解析
【分析】
首先要理解新定义符号$\min\{a,b\}$的含义，即取两个数中较小的数，因此要求解含该符号的方程，需要先分情况讨论$x$和$-x$的大小关系，将含$\min$的方程转化为普通的一元一次方程求解，最后还要检验解出的结果是否符合当前讨论的大小前提，不符合的要舍去。
【解析】
根据$\min\{a,b\}$表示$a,b$中较小数的规定，分两种情况讨论：
① 当$x ＜ -x$时，$\min\{x,-x\}=x$，原方程化为：
$x=-2x+3$
移项得：$x+2x=3$
合并同类项得：$3x=3$
解得：$x=1$
检验：当$x=1$时，$-x=-1$，此时$x ＞ -x$，不符合$x ＜ -x$的前提，故$x=1$舍去；
② 当$x ＞ -x$时，$\min\{x,-x\}=-x$，原方程化为：
$-x=-2x+3$
移项得：$-x+2x=3$
合并同类项得：$x=3$
检验：当$x=3$时，$-x=-3$，此时$-x ＜ x$，符合$x ＞ -x$的前提，故$x=3$有效。
综上，方程的解为$x=3$。
【答案】
$x=3$
【知识点】
新定义运算；一元一次方程解法；分类讨论思想
【点评】
本题将新定义运算与一元一次方程结合考查，解题的核心是正确理解新定义的运算规则，合理划分讨论情况，求解后注意验证结果是否符合分类前提，避免得到不符合题意的增解。
【难度系数】
0.6
首先要理解新定义符号$\min\{a,b\}$的含义，即取两个数中较小的数，因此要求解含该符号的方程，需要先分情况讨论$x$和$-x$的大小关系，将含$\min$的方程转化为普通的一元一次方程求解，最后还要检验解出的结果是否符合当前讨论的大小前提，不符合的要舍去。
【解析】
根据$\min\{a,b\}$表示$a,b$中较小数的规定，分两种情况讨论：
① 当$x ＜ -x$时，$\min\{x,-x\}=x$，原方程化为：
$x=-2x+3$
移项得：$x+2x=3$
合并同类项得：$3x=3$
解得：$x=1$
检验：当$x=1$时，$-x=-1$，此时$x ＞ -x$，不符合$x ＜ -x$的前提，故$x=1$舍去；
② 当$x ＞ -x$时，$\min\{x,-x\}=-x$，原方程化为：
$-x=-2x+3$
移项得：$-x+2x=3$
合并同类项得：$x=3$
检验：当$x=3$时，$-x=-3$，此时$-x ＜ x$，符合$x ＞ -x$的前提，故$x=3$有效。
综上，方程的解为$x=3$。
【答案】
$x=3$
【知识点】
新定义运算；一元一次方程解法；分类讨论思想
【点评】
本题将新定义运算与一元一次方程结合考查，解题的核心是正确理解新定义的运算规则，合理划分讨论情况，求解后注意验证结果是否符合分类前提，避免得到不符合题意的增解。
【难度系数】
0.6
1. 已知关于 $ x $ 的方程 $ 2x - 5 + a = bx + 1 $，回答下列问题：
(1)若该方程有唯一解时，求 $ a $，$ b $ 满足的条件；
(2)若该方程有无数解时，求 $ a $，$ b $ 满足的条件；
(3)若该方程无解时，求 $ a $，$ b $ 满足的条件。
(1)若该方程有唯一解时，求 $ a $，$ b $ 满足的条件；
(2)若该方程有无数解时，求 $ a $，$ b $ 满足的条件；
(3)若该方程无解时，求 $ a $，$ b $ 满足的条件。
答案
原方程化为$(2-b)x=6-a$。(1)当$b≠2$，$a$为任意数时，方程有唯一解$x=\frac{6-a}{2-b}$。(2)当$b=2$且$a=6$时，方程有无数解，解为任意数。(3)当$b=2$且$a≠6$时，方程无解。
解析
【分析】
要判断含参数的一元一次方程的解的情况，首先需通过移项、合并同类项将方程整理为“mx=n”的标准形式（m、n为含参数的式子），再根据该形式方程解的三类规律分析参数的取值：①当m≠0时，方程有唯一解；②当m=0且n=0时，方程有无数解；③当m=0且n≠0时，方程无解。我们只需先整理原方程，再对应三类情况推导a、b的条件即可。
【解析】
先对原方程移项，将含x的项移到等号左侧，常数项移到等号右侧，得：
$2x - bx = 1 + 5 - a$
合并同类项，得：
$(2 - b)x = 6 - a$
(1) 若方程有唯一解，则x的系数不为0，即$2 - b ≠ 0$，解得$b ≠ 2$，此时a的取值不影响方程有唯一解，故a为任意数，方程的解为$x=\frac{6-a}{2-b}$。
(2) 若方程有无数解，则需x的系数为0，且等号右侧的常数项也为0，即$\begin{cases}2 - b = 0 \\ 6 - a = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}b=2 \\ a=6\end{cases}$，此时方程变为$0x=0$，任意数都是方程的解。
(3) 若方程无解，则需x的系数为0，且等号右侧的常数项不为0，即$\begin{cases}2 - b = 0 \\ 6 - a ≠ 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}b=2 \\ a ≠ 6\end{cases}$，此时方程变为$0x=$非零数，没有数能满足等式，方程无解。
【答案】
原方程化为$(2-b)x=6-a$。(1)当$b≠2$，$a$为任意数时，方程有唯一解$x=\frac{6-a}{2-b}$。(2)当$b=2$且$a=6$时，方程有无数解，解为任意数。(3)当$b=2$且$a≠6$时，方程无解。
【知识点】
含参一元一次方程解的判定；移项与合并同类项
【点评】
本题是含参数一元一次方程解的情况的经典题型，解题核心是先将方程化为$mx=n$的标准形式，再根据系数和常数项的取值分类讨论，分类时需注意做到不重复、不遗漏。
【难度系数】
0.6
要判断含参数的一元一次方程的解的情况，首先需通过移项、合并同类项将方程整理为“mx=n”的标准形式（m、n为含参数的式子），再根据该形式方程解的三类规律分析参数的取值：①当m≠0时，方程有唯一解；②当m=0且n=0时，方程有无数解；③当m=0且n≠0时，方程无解。我们只需先整理原方程，再对应三类情况推导a、b的条件即可。
【解析】
先对原方程移项，将含x的项移到等号左侧，常数项移到等号右侧，得：
$2x - bx = 1 + 5 - a$
合并同类项，得：
$(2 - b)x = 6 - a$
(1) 若方程有唯一解，则x的系数不为0，即$2 - b ≠ 0$，解得$b ≠ 2$，此时a的取值不影响方程有唯一解，故a为任意数，方程的解为$x=\frac{6-a}{2-b}$。
(2) 若方程有无数解，则需x的系数为0，且等号右侧的常数项也为0，即$\begin{cases}2 - b = 0 \\ 6 - a = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}b=2 \\ a=6\end{cases}$，此时方程变为$0x=0$，任意数都是方程的解。
(3) 若方程无解，则需x的系数为0，且等号右侧的常数项不为0，即$\begin{cases}2 - b = 0 \\ 6 - a ≠ 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}b=2 \\ a ≠ 6\end{cases}$，此时方程变为$0x=$非零数，没有数能满足等式，方程无解。
【答案】
原方程化为$(2-b)x=6-a$。(1)当$b≠2$，$a$为任意数时，方程有唯一解$x=\frac{6-a}{2-b}$。(2)当$b=2$且$a=6$时，方程有无数解，解为任意数。(3)当$b=2$且$a≠6$时，方程无解。
【知识点】
含参一元一次方程解的判定；移项与合并同类项
【点评】
本题是含参数一元一次方程解的情况的经典题型，解题核心是先将方程化为$mx=n$的标准形式，再根据系数和常数项的取值分类讨论，分类时需注意做到不重复、不遗漏。
【难度系数】
0.6
2. 定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“和1方程”，例如：方程$4x=8$和$x+1=0$为“和1方程”。
(1)若关于$x$的方程$3x+m=0$与方程$4x-2=x+10$是“和1方程”，求$m$的值；
(2)若“和1方程”的两个解的差为1，其中一个解为$n$，求$n$的值。
(1)若关于$x$的方程$3x+m=0$与方程$4x-2=x+10$是“和1方程”，求$m$的值；
(2)若“和1方程”的两个解的差为1，其中一个解为$n$，求$n$的值。
答案
(1)解方程$3x+m=0$得$x=-\frac{m}{3}$；解方程$4x-2=x+10$得$x=4$；$\therefore -\frac{m}{3}+4=1$，解得$m=9$。(2)由题意得另一个方程的解为$(1-n)$，得$n-(1-n)=1$或$(1-n)-n=1$，解得$n=1$或$n=0$。综上所述，$n$的值为$0$或$1$。
解析
【分析】
本题首先要准确理解“和1方程”的定义：两个一元一次方程的解之和为1。
（1）解第一问时，先求出不含参数的方程$4x-2=x+10$的解，再用含$m$的代数式表示方程$3x+m=0$的解，最后根据两个解的和为1列方程，即可求出$m$的值。
（2）解第二问时，已知一个解为$n$，根据定义可推出另一个解为$1-n$，由于两个解的差为1时，谁减谁不明确，需要分两种情况列方程求解，避免漏解。
【解析】
(1) 先解方程$4x-2=x+10$：
移项得$4x-x=10+2$，
合并同类项得$3x=12$，
系数化为1得$x=4$。
再解方程$3x+m=0$：
移项得$3x=-m$，
系数化为1得$x=-\frac{m}{3}$。
∵两个方程是“和1方程”，
∴$-\frac{m}{3}+4=1$，
移项得$-\frac{m}{3}=1-4=-3$，
解得$m=9$。
(2) 根据“和1方程”的定义，两个解之和为1，已知一个解为$n$，则另一个解为$1-n$。
∵两个解的差为1，分两种情况讨论：
① 当$n-(1-n)=1$时，
去括号得$n-1+n=1$，
合并同类项得$2n-1=1$，
移项得$2n=2$，
解得$n=1$；
② 当$(1-n)-n=1$时，
去括号得$1-n-n=1$，
合并同类项得$1-2n=1$，
移项得$-2n=0$，
解得$n=0$。
【答案】
(1) $m=9$；(2) $n$的值为0或1
【知识点】
一元一次方程的解法，新定义应用，分类讨论思想
【点评】
本题以新定义为载体考查一元一次方程的应用，核心是将新定义的规则转化为常规的等量关系列方程求解，第二问需要注意差的不确定性，做到分类讨论不重不漏。
【难度系数】
0.7
本题首先要准确理解“和1方程”的定义：两个一元一次方程的解之和为1。
（1）解第一问时，先求出不含参数的方程$4x-2=x+10$的解，再用含$m$的代数式表示方程$3x+m=0$的解，最后根据两个解的和为1列方程，即可求出$m$的值。
（2）解第二问时，已知一个解为$n$，根据定义可推出另一个解为$1-n$，由于两个解的差为1时，谁减谁不明确，需要分两种情况列方程求解，避免漏解。
【解析】
(1) 先解方程$4x-2=x+10$：
移项得$4x-x=10+2$，
合并同类项得$3x=12$，
系数化为1得$x=4$。
再解方程$3x+m=0$：
移项得$3x=-m$，
系数化为1得$x=-\frac{m}{3}$。
∵两个方程是“和1方程”，
∴$-\frac{m}{3}+4=1$，
移项得$-\frac{m}{3}=1-4=-3$，
解得$m=9$。
(2) 根据“和1方程”的定义，两个解之和为1，已知一个解为$n$，则另一个解为$1-n$。
∵两个解的差为1，分两种情况讨论：
① 当$n-(1-n)=1$时，
去括号得$n-1+n=1$，
合并同类项得$2n-1=1$，
移项得$2n=2$，
解得$n=1$；
② 当$(1-n)-n=1$时，
去括号得$1-n-n=1$，
合并同类项得$1-2n=1$，
移项得$-2n=0$，
解得$n=0$。
【答案】
(1) $m=9$；(2) $n$的值为0或1
【知识点】
一元一次方程的解法，新定义应用，分类讨论思想
【点评】
本题以新定义为载体考查一元一次方程的应用，核心是将新定义的规则转化为常规的等量关系列方程求解，第二问需要注意差的不确定性，做到分类讨论不重不漏。
【难度系数】
0.7
1. 下列各式去括号正确的是(
A.$3a-(b+c)=3a+b-c$
B.$3a-(b+c)=3a-b+c$
C.$3a-(b+c)=3a+b+c$
D.$3a-(b+c)=3a-b-c$
D
).A.$3a-(b+c)=3a+b-c$
B.$3a-(b+c)=3a-b+c$
C.$3a-(b+c)=3a+b+c$
D.$3a-(b+c)=3a-b-c$
答案
1. D
解析
【分析】
要判断去括号是否正确，需牢记去括号法则：当括号前是“-”号时，去掉括号和它前面的“-”号，括号内的每一项都要改变符号。本题中括号前是负号，我们只需按照法则计算出3a-(b+c)去括号后的结果，再和四个选项对比就能选出正确答案。
【解析】
根据去括号法则：括号前为负号，去括号后括号内各项均要变号。
对$3a-(b+c)$去括号：
去掉括号和前面的“-”，原括号内的$b$变为$-b$，$c$变为$-c$，因此$3a-(b+c)=3a - b - c$。
逐一对比选项：
A选项中$b$未变号，错误；
B选项中$c$未变号，错误；
C选项中$b$、$c$均未变号，错误；
D选项计算正确。
【答案】
D
【知识点】
去括号法则
【点评】
本题是去括号法则的基础应用，解题的关键是注意当括号前是负号时，括号内所有项都要变号，切勿只改变第一项的符号。
【难度系数】
0.9
要判断去括号是否正确，需牢记去括号法则：当括号前是“-”号时，去掉括号和它前面的“-”号，括号内的每一项都要改变符号。本题中括号前是负号，我们只需按照法则计算出3a-(b+c)去括号后的结果，再和四个选项对比就能选出正确答案。
【解析】
根据去括号法则：括号前为负号，去括号后括号内各项均要变号。
对$3a-(b+c)$去括号：
去掉括号和前面的“-”，原括号内的$b$变为$-b$，$c$变为$-c$，因此$3a-(b+c)=3a - b - c$。
逐一对比选项：
A选项中$b$未变号，错误；
B选项中$c$未变号，错误；
C选项中$b$、$c$均未变号，错误；
D选项计算正确。
【答案】
D
【知识点】
去括号法则
【点评】
本题是去括号法则的基础应用，解题的关键是注意当括号前是负号时，括号内所有项都要变号，切勿只改变第一项的符号。
【难度系数】
0.9
