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1. 某购物网站上的一种小礼品按销售量分三部分制定阶梯销售单价，如下表：
(1)优惠期间，购物总金额累计满300元可使用50元购物津贴(即累计总金额每满300减50元).
①若购买75件，花费
②王叔叔购买这种小礼品共花了342元，列方程求王叔叔购买这种小礼品的件数.
(2)优惠时间过去之后不能使用购物津贴，王叔叔和李叔叔各自单独在该网站购买这种小礼品，他们一共购买了400件，其中王叔叔的购买数量大于李叔叔的购买数量，他们一共花费了1331元. 请问王叔叔和李叔叔各购买这种小礼品多少件？
(1)优惠期间，购物总金额累计满300元可使用50元购物津贴(即累计总金额每满300减50元).
①若购买75件，花费
262.5
元；若购买120件，花费370
元；若购买240件，花费704
元.②王叔叔购买这种小礼品共花了342元，列方程求王叔叔购买这种小礼品的件数.
(2)优惠时间过去之后不能使用购物津贴，王叔叔和李叔叔各自单独在该网站购买这种小礼品，他们一共购买了400件，其中王叔叔的购买数量大于李叔叔的购买数量，他们一共花费了1331元. 请问王叔叔和李叔叔各购买这种小礼品多少件？
答案
1. (1)①262.5，370，704
②设王叔叔购买了这种小礼品a件. 因为342+50＜120×3.5，所以a＜120，所以3.5a=342+50，解得a=112. 所以王叔叔购买了这种小礼品112件.
(2)设李叔叔购买x件(x＜200)，则王叔叔购买(400-x)件. ①当x＜120且280＜400-x≤300时，3.5x+120×3.5+3.2(400-x-120)=1 331，解得x=50，400-x=350，不合题意，舍去. ②当x＜120且400-x＞300时，3.5x+120×3.5+180×3.2+3(400-x-300)=1 331，解得x=70，400-x=330，符合题意. ③当120＜x＜200且200＜400-x＜280时，3.2×400=1 280≠1 331，不合题意. 综上，李叔叔购买70件，王叔叔购买330件.
②设王叔叔购买了这种小礼品a件. 因为342+50＜120×3.5，所以a＜120，所以3.5a=342+50，解得a=112. 所以王叔叔购买了这种小礼品112件.
(2)设李叔叔购买x件(x＜200)，则王叔叔购买(400-x)件. ①当x＜120且280＜400-x≤300时，3.5x+120×3.5+3.2(400-x-120)=1 331，解得x=50，400-x=350，不合题意，舍去. ②当x＜120且400-x＞300时，3.5x+120×3.5+180×3.2+3(400-x-300)=1 331，解得x=70，400-x=330，符合题意. ③当120＜x＜200且200＜400-x＜280时，3.2×400=1 280≠1 331，不合题意. 综上，李叔叔购买70件，王叔叔购买330件.
解析
【分析】
本题是结合购物优惠的阶梯计费类应用题，解题思路如下：
1. 解决(1)①时，先根据购买数量对应阶梯单价算出原价，再按照“每满300减50”的规则计算实付金额即可。
2. 解决(1)②时，先根据实付金额判断是否享受满减，再反推原价，结合原价对应的阶梯区间确定单价，列方程求解。
3. 解决(2)时，先根据两人总购买量和数量大小关系确定李叔叔购买量小于200件，再分情况讨论两人购买量所在的阶梯区间，分别列方程求解后验证解是否符合对应区间的假设，排除不合理解即可。
【解析】
(1)① 购买75件时，$75＜120$，单价为3.5元/件，原价$=75×3.5=262.5$元，262.5＜300，无法使用津贴，实付262.5元；
购买120件时，原价$=120×3.5=420$元，420满300可减50元，实付$=420-50=370$元；
购买240件时，原价$=120×3.5+(240-120)×3.2=420+384=804$元，804满2个300，可减$2×50=100$元，实付$=804-100=704$元。
② 设王叔叔购买了这种小礼品$a$件。
已知实付342元，若未使用津贴则原价最多为299元＜342，因此一定使用了50元津贴，原价为$342+50=392$元。
又120件的原价为$120×3.5=420$元＞392，因此$a＜120$，全部商品单价为3.5元/件，列方程：
$3.5a=392$
解得$a=112$。
(2) 设李叔叔购买$x$件，由王叔叔购买数量大于李叔叔，总购买量为400件，得$x＜200$，王叔叔购买$(400-x)$件，分情况讨论：
情况1：$x＜120$，且$280＜400-x≤300$（即$100≤ x＜120$）
此时李叔叔费用为$3.5x$元，王叔叔费用为$120×3.5+3.2×(400-x-120)$元，总费用列方程：
$3.5x + 120×3.5 + 3.2×(280 - x) = 1331$
解得$x=50$，此时$400-x=350＞300$，不符合本情况假设，舍去。
情况2：$x＜120$，且$400-x＞300$（即$x＜100$）
此时王叔叔费用为$120×3.5 + 180×3.2 + 3×(400-x-300)$元，总费用列方程：
$3.5x + 420 + 576 + 3×(100 - x) = 1331$
解得$x=70$，此时$400-x=330＞300$，符合本情况假设。
情况3：$120≤ x＜200$，此时$200＜400-x≤280$，两人购买量均在120~300区间
总费用$=120×3.5×2 + 3.2×(x-120 + 400-x-120)=840 + 512=1352≠1331$，不符合题意，舍去。
【答案】
(1)①$\boxed{262.5}$，$\boxed{370}$，$\boxed{704}$；②王叔叔购买了112件这种小礼品；
(2)李叔叔购买70件，王叔叔购买330件这种小礼品。
【知识点】
阶梯计费问题，一元一次方程的应用，分类讨论思想
【点评】
本题结合生活中的购物优惠场景，考查阶梯定价和满减规则下的费用计算，需要先明确不同购买数量对应的阶梯单价，再结合优惠规则列方程求解，解题关键是根据数量范围合理分类讨论，验证解是否符合假设条件，排除不符合题意的解。
【难度系数】
0.65
本题是结合购物优惠的阶梯计费类应用题，解题思路如下：
1. 解决(1)①时，先根据购买数量对应阶梯单价算出原价，再按照“每满300减50”的规则计算实付金额即可。
2. 解决(1)②时，先根据实付金额判断是否享受满减，再反推原价，结合原价对应的阶梯区间确定单价，列方程求解。
3. 解决(2)时，先根据两人总购买量和数量大小关系确定李叔叔购买量小于200件，再分情况讨论两人购买量所在的阶梯区间，分别列方程求解后验证解是否符合对应区间的假设，排除不合理解即可。
【解析】
(1)① 购买75件时，$75＜120$，单价为3.5元/件，原价$=75×3.5=262.5$元，262.5＜300，无法使用津贴，实付262.5元；
购买120件时，原价$=120×3.5=420$元，420满300可减50元，实付$=420-50=370$元；
购买240件时，原价$=120×3.5+(240-120)×3.2=420+384=804$元，804满2个300，可减$2×50=100$元，实付$=804-100=704$元。
② 设王叔叔购买了这种小礼品$a$件。
已知实付342元，若未使用津贴则原价最多为299元＜342，因此一定使用了50元津贴，原价为$342+50=392$元。
又120件的原价为$120×3.5=420$元＞392，因此$a＜120$，全部商品单价为3.5元/件，列方程：
$3.5a=392$
解得$a=112$。
(2) 设李叔叔购买$x$件，由王叔叔购买数量大于李叔叔，总购买量为400件，得$x＜200$，王叔叔购买$(400-x)$件，分情况讨论：
情况1：$x＜120$，且$280＜400-x≤300$（即$100≤ x＜120$）
此时李叔叔费用为$3.5x$元，王叔叔费用为$120×3.5+3.2×(400-x-120)$元，总费用列方程：
$3.5x + 120×3.5 + 3.2×(280 - x) = 1331$
解得$x=50$，此时$400-x=350＞300$，不符合本情况假设，舍去。
情况2：$x＜120$，且$400-x＞300$（即$x＜100$）
此时王叔叔费用为$120×3.5 + 180×3.2 + 3×(400-x-300)$元，总费用列方程：
$3.5x + 420 + 576 + 3×(100 - x) = 1331$
解得$x=70$，此时$400-x=330＞300$，符合本情况假设。
情况3：$120≤ x＜200$，此时$200＜400-x≤280$，两人购买量均在120~300区间
总费用$=120×3.5×2 + 3.2×(x-120 + 400-x-120)=840 + 512=1352≠1331$，不符合题意，舍去。
【答案】
(1)①$\boxed{262.5}$，$\boxed{370}$，$\boxed{704}$；②王叔叔购买了112件这种小礼品；
(2)李叔叔购买70件，王叔叔购买330件这种小礼品。
【知识点】
阶梯计费问题，一元一次方程的应用，分类讨论思想
【点评】
本题结合生活中的购物优惠场景，考查阶梯定价和满减规则下的费用计算，需要先明确不同购买数量对应的阶梯单价，再结合优惠规则列方程求解，解题关键是根据数量范围合理分类讨论，验证解是否符合假设条件，排除不符合题意的解。
【难度系数】
0.65
2. 如图，水平跑道AB和CD的长度分别为2 400 m和1 800 m，斜坡跑道BC的长度为2 400 m. 小明从A点出发沿跑道慢跑到达D点，小东同时从D点出发沿跑道慢跑到达A点. 他们在水平跑道慢跑的速度都是100 m/min，小明在上坡跑道慢跑速度是水平跑道速度的一半，小东在下坡跑道慢跑速度是水平跑道速度的1.5倍.
(1)小明在上坡跑道的慢跑速度是
(2)当小明和小东相遇时，求小明慢跑的路程.
(3)当小明和小东相距1 000 m时，求小明慢跑的时间.
(1)小明在上坡跑道的慢跑速度是
50
m/min.(2)当小明和小东相遇时，求小明慢跑的路程.
(3)当小明和小东相距1 000 m时，求小明慢跑的时间.
答案
2. (1)50
(2)因为$\frac{2\ 400}{100}=24(\mathrm{min})$，$\frac{1\ 800}{100}=18(\mathrm{min})$，24＞18，所以24 min后小明在BC上. 相遇点在BC上，设相遇时用时t min，依题意得$(t-24)×50+(t-18)×150=2\ 400$，解得$t=31.5$. 所以$2\ 400+(31.5-24)×50=2\ 775(\mathrm{m})$. 所以当小明和小东相遇时，小明慢跑的路程为2 775 m.
(3)由(2)可知相遇点距离B点2 775-2 400=375(m). 依题意，当小明和小东相距1 000 m时，设小明慢跑的时间为t min. ①两人相遇前，当小明慢跑24 min到达B点时，小东在BC上距C点900 m处，此时两人相距2 400-900=1 500(m). 依题意得$(50+150)(t-24)+1\ 000=1\ 500$，解得$t=26.5$；②两人相遇后，小明在线段BC上，小东在线段AB上，依题意得$(t-18-\frac{2\ 400}{150})×100+(t-24)×50=1\ 000$，解得$t=\frac{112}{3}$. 综上，当小明和小东相距1 000 m时，小明慢跑的时间为26.5 min或$\frac{112}{3}$min.
(2)因为$\frac{2\ 400}{100}=24(\mathrm{min})$，$\frac{1\ 800}{100}=18(\mathrm{min})$，24＞18，所以24 min后小明在BC上. 相遇点在BC上，设相遇时用时t min，依题意得$(t-24)×50+(t-18)×150=2\ 400$，解得$t=31.5$. 所以$2\ 400+(31.5-24)×50=2\ 775(\mathrm{m})$. 所以当小明和小东相遇时，小明慢跑的路程为2 775 m.
(3)由(2)可知相遇点距离B点2 775-2 400=375(m). 依题意，当小明和小东相距1 000 m时，设小明慢跑的时间为t min. ①两人相遇前，当小明慢跑24 min到达B点时，小东在BC上距C点900 m处，此时两人相距2 400-900=1 500(m). 依题意得$(50+150)(t-24)+1\ 000=1\ 500$，解得$t=26.5$；②两人相遇后，小明在线段BC上，小东在线段AB上，依题意得$(t-18-\frac{2\ 400}{150})×100+(t-24)×50=1\ 000$，解得$t=\frac{112}{3}$. 综上，当小明和小东相距1 000 m时，小明慢跑的时间为26.5 min或$\frac{112}{3}$min.
解析
【分析】
(1) 根据题干给出的上坡速度与水平速度的数量关系，直接代入计算即可得到小明上坡的慢跑速度。
(2) 先分别计算小明跑完AB段、小东跑完CD段的用时，判断出两人的相遇位置在斜坡BC段；再设相遇总用时为t min，分别表示出两人在BC段行驶的路程，根据“BC段总长度=两人在BC段行驶路程之和”列方程求解，最后计算小明的总路程即可。
(3) 分两种情况讨论：①两人相遇前相距1000m，先求出小明到达B点时两人的距离，再结合两人的速度和列方程求解；②两人相遇后相距1000m，先确定小东跑完BC段进入AB段的时间，再根据此时两人的路程和为1000m列方程求解，最后验证解是否符合对应运动阶段即可。
【解析】
(1) 已知小明水平跑道慢跑速度为100m/min，上坡速度是水平速度的一半，因此上坡速度为：$100×\frac{1}{2}=50\ \mathrm{m/min}$。
(2) 首先计算两人跑完水平段的时间：
小明跑完AB段的时间：$\frac{2400}{100}=24\ \mathrm{min}$，
小东跑完CD段的时间：$\frac{1800}{100}=18\ \mathrm{min}$，
因为$24＞18$，所以小东先进入斜坡BC段，相遇点在BC上。
设相遇时总用时为$t\ \mathrm{min}$，小东下坡速度为$100×1.5=150\ \mathrm{m/min}$。
小明在BC段行驶的路程为$50(t-24)\ \mathrm{m}$，小东在BC段行驶的路程为$150(t-18)\ \mathrm{m}$，根据BC段总长2400m列方程：
$50(t-24)+150(t-18)=2400$
解得：$t=31.5$。
小明的总路程为AB段长度加BC段行驶的路程：$2400+(31.5-24)×50=2775\ \mathrm{m}$。
(3) 设小明慢跑的时间为$t\ \mathrm{min}$，分两种情况讨论：
① 两人相遇前相距1000m：
当$t=24\ \mathrm{min}$时，小明到达B点，此时小东在BC段已经行驶了$24-18=6\ \mathrm{min}$，行驶路程为$6×150=900\ \mathrm{m}$，两人相距$2400-900=1500\ \mathrm{m}＞1000\ \mathrm{m}$，因此相遇前相距1000m时两人均在BC段。
两人共同行驶的路程为$1500-1000=500\ \mathrm{m}$，速度和为$50+150=200\ \mathrm{m/min}$，列方程：
$200(t-24)=500$
解得：$t=26.5$，符合该阶段运动要求。
② 两人相遇后相距1000m：
小东跑完BC段的总时间为$18+\frac{2400}{150}=34\ \mathrm{min}$，即小东34min后进入AB段，此时小明仍在BC段。
小东在AB段行驶的路程为$100(t-34)\ \mathrm{m}$，小明在BC段行驶的路程为$50(t-24)\ \mathrm{m}$，两人路程和为1000m，列方程：
$100(t-34)+50(t-24)=1000$
解得：$t=\frac{112}{3}$，符合该阶段运动要求。
综上，小明慢跑的时间为26.5min或$\frac{112}{3}$min。
【答案】
(1) $\boxed{50}$
(2) $\boxed{2775\ \mathrm{m}}$
(3) $\boxed{26.5\ \mathrm{min}}$或$\boxed{\frac{112}{3}\ \mathrm{min}}$
【知识点】
一元一次方程的应用、分段行程问题、相遇问题
【点评】
本题是分段行程的经典题型，解题核心是先明确不同时间节点两人所处的运动阶段，再结合速度、路程、时间的关系列方程求解，解题时要注意运用分类讨论思想，避免漏解，对逻辑分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
(1) 根据题干给出的上坡速度与水平速度的数量关系，直接代入计算即可得到小明上坡的慢跑速度。
(2) 先分别计算小明跑完AB段、小东跑完CD段的用时，判断出两人的相遇位置在斜坡BC段；再设相遇总用时为t min，分别表示出两人在BC段行驶的路程，根据“BC段总长度=两人在BC段行驶路程之和”列方程求解，最后计算小明的总路程即可。
(3) 分两种情况讨论：①两人相遇前相距1000m，先求出小明到达B点时两人的距离，再结合两人的速度和列方程求解；②两人相遇后相距1000m，先确定小东跑完BC段进入AB段的时间，再根据此时两人的路程和为1000m列方程求解，最后验证解是否符合对应运动阶段即可。
【解析】
(1) 已知小明水平跑道慢跑速度为100m/min，上坡速度是水平速度的一半，因此上坡速度为：$100×\frac{1}{2}=50\ \mathrm{m/min}$。
(2) 首先计算两人跑完水平段的时间：
小明跑完AB段的时间：$\frac{2400}{100}=24\ \mathrm{min}$，
小东跑完CD段的时间：$\frac{1800}{100}=18\ \mathrm{min}$，
因为$24＞18$，所以小东先进入斜坡BC段，相遇点在BC上。
设相遇时总用时为$t\ \mathrm{min}$，小东下坡速度为$100×1.5=150\ \mathrm{m/min}$。
小明在BC段行驶的路程为$50(t-24)\ \mathrm{m}$，小东在BC段行驶的路程为$150(t-18)\ \mathrm{m}$，根据BC段总长2400m列方程：
$50(t-24)+150(t-18)=2400$
解得：$t=31.5$。
小明的总路程为AB段长度加BC段行驶的路程：$2400+(31.5-24)×50=2775\ \mathrm{m}$。
(3) 设小明慢跑的时间为$t\ \mathrm{min}$，分两种情况讨论：
① 两人相遇前相距1000m：
当$t=24\ \mathrm{min}$时，小明到达B点，此时小东在BC段已经行驶了$24-18=6\ \mathrm{min}$，行驶路程为$6×150=900\ \mathrm{m}$，两人相距$2400-900=1500\ \mathrm{m}＞1000\ \mathrm{m}$，因此相遇前相距1000m时两人均在BC段。
两人共同行驶的路程为$1500-1000=500\ \mathrm{m}$，速度和为$50+150=200\ \mathrm{m/min}$，列方程：
$200(t-24)=500$
解得：$t=26.5$，符合该阶段运动要求。
② 两人相遇后相距1000m：
小东跑完BC段的总时间为$18+\frac{2400}{150}=34\ \mathrm{min}$，即小东34min后进入AB段，此时小明仍在BC段。
小东在AB段行驶的路程为$100(t-34)\ \mathrm{m}$，小明在BC段行驶的路程为$50(t-24)\ \mathrm{m}$，两人路程和为1000m，列方程：
$100(t-34)+50(t-24)=1000$
解得：$t=\frac{112}{3}$，符合该阶段运动要求。
综上，小明慢跑的时间为26.5min或$\frac{112}{3}$min。
【答案】
(1) $\boxed{50}$
(2) $\boxed{2775\ \mathrm{m}}$
(3) $\boxed{26.5\ \mathrm{min}}$或$\boxed{\frac{112}{3}\ \mathrm{min}}$
【知识点】
一元一次方程的应用、分段行程问题、相遇问题
【点评】
本题是分段行程的经典题型，解题核心是先明确不同时间节点两人所处的运动阶段，再结合速度、路程、时间的关系列方程求解，解题时要注意运用分类讨论思想，避免漏解，对逻辑分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
