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3. 根据表中的素材，完成下面的任务.
如何设计奖品购买及兑换方案？
素材1 文具店销售某种钢笔与笔记本，已知钢笔每支10元，笔记本每本5元.
素材2 学校用1100元购买这种钢笔和笔记本，其数量之比为4：3.
素材3 文具店开展“满送”优惠活动，每满130元送1张兑换券，满260元送2张兑换券，以此类推. 学校花费1100元后，将兑换券全部
于商品兑换. 最终，购买的笔记本与钢笔的数量相同.
兑换券
凭此券，可兑换2支钢笔或4本笔记本
问题解决：
任务1 探究购买方案：分别求出兑换前购买钢笔和笔记本的数量.
任务2 确定兑换方式：求出用于兑换钢笔的兑换券的张数.
如何设计奖品购买及兑换方案？
素材1 文具店销售某种钢笔与笔记本，已知钢笔每支10元，笔记本每本5元.
素材2 学校用1100元购买这种钢笔和笔记本，其数量之比为4：3.
素材3 文具店开展“满送”优惠活动，每满130元送1张兑换券，满260元送2张兑换券，以此类推. 学校花费1100元后，将兑换券全部
于商品兑换. 最终，购买的笔记本与钢笔的数量相同.兑换券
凭此券，可兑换2支钢笔或4本笔记本
问题解决：
任务1 探究购买方案：分别求出兑换前购买钢笔和笔记本的数量.
任务2 确定兑换方式：求出用于兑换钢笔的兑换券的张数.
答案
3. 任务1：设购买钢笔4x支，笔记本3x本. 由题意得10×4x+5×3x=1 100，解得x=20. 所以购买钢笔80支，笔记本60本.
任务2：因为1 100÷130=8……60，所以送8张兑换券. 设用a张券兑换钢笔，(8-a)张券兑换笔记本. 依题意得80+2a=60+4(8-a)，解得a=2. 所以用2张券兑换钢笔.
任务2：因为1 100÷130=8……60，所以送8张兑换券. 设用a张券兑换钢笔，(8-a)张券兑换笔记本. 依题意得80+2a=60+4(8-a)，解得a=2. 所以用2张券兑换钢笔.
解析
【分析】
任务1：已知钢笔和笔记本的数量比为4:3，可按比例设未知数，将钢笔数量设为4x支、笔记本数量设为3x本，再根据“钢笔总费用+笔记本总费用=总花费1100元”的等量关系列一元一次方程，求解后就能得到两种商品的数量。
任务2：先根据“每满130元送1张兑换券”的规则，用总消费额除以130，取商的整数部分得到兑换券总张数；再设用a张券兑换钢笔，剩余(8-a)张兑换笔记本，结合“最终钢笔总数量=最终笔记本总数量”的等量关系列方程，求解即可得到兑换钢笔的券的张数。
【解析】
任务1
解：设兑换前购买钢笔4x支，笔记本3x本。
根据总价关系列方程：
$10×4x + 5×3x = 1100$
化简得：$40x +15x = 1100$
即$55x = 1100$
解得$x=20$
则钢笔数量：$4x=4×20=80$（支）
笔记本数量：$3x=3×20=60$（本）
任务2
先计算兑换券总张数：$1100÷130=8······60$，即一共获得8张兑换券。
设用$a$张兑换券兑换钢笔，则用$(8-a)$张兑换笔记本。
根据最终两种商品数量相等列方程：
$80 + 2a = 60 + 4(8-a)$
化简右边得：$80 + 2a = 60 +32 -4a$
移项合并同类项得：$6a=12$
解得$a=2$
【答案】
任务1：兑换前购买钢笔80支，笔记本60本；
任务2：用于兑换钢笔的兑换券的张数为2。
【知识点】
1. 一元一次方程的实际应用
2. 有理数的除法运算
3. 方案选择问题
【点评】
本题贴合生活消费优惠场景，考查学生提取题干信息、建立等量关系的能力，解题时利用比例设未知数可简化计算，注意兑换券数量取整数商，理清兑换前后商品数量的变化关系就能顺利解答。
【难度系数】
0.7
任务1：已知钢笔和笔记本的数量比为4:3，可按比例设未知数，将钢笔数量设为4x支、笔记本数量设为3x本，再根据“钢笔总费用+笔记本总费用=总花费1100元”的等量关系列一元一次方程，求解后就能得到两种商品的数量。
任务2：先根据“每满130元送1张兑换券”的规则，用总消费额除以130，取商的整数部分得到兑换券总张数；再设用a张券兑换钢笔，剩余(8-a)张兑换笔记本，结合“最终钢笔总数量=最终笔记本总数量”的等量关系列方程，求解即可得到兑换钢笔的券的张数。
【解析】
任务1
解：设兑换前购买钢笔4x支，笔记本3x本。
根据总价关系列方程：
$10×4x + 5×3x = 1100$
化简得：$40x +15x = 1100$
即$55x = 1100$
解得$x=20$
则钢笔数量：$4x=4×20=80$（支）
笔记本数量：$3x=3×20=60$（本）
任务2
先计算兑换券总张数：$1100÷130=8······60$，即一共获得8张兑换券。
设用$a$张兑换券兑换钢笔，则用$(8-a)$张兑换笔记本。
根据最终两种商品数量相等列方程：
$80 + 2a = 60 + 4(8-a)$
化简右边得：$80 + 2a = 60 +32 -4a$
移项合并同类项得：$6a=12$
解得$a=2$
【答案】
任务1：兑换前购买钢笔80支，笔记本60本；
任务2：用于兑换钢笔的兑换券的张数为2。
【知识点】
1. 一元一次方程的实际应用
2. 有理数的除法运算
3. 方案选择问题
【点评】
本题贴合生活消费优惠场景，考查学生提取题干信息、建立等量关系的能力，解题时利用比例设未知数可简化计算，注意兑换券数量取整数商，理清兑换前后商品数量的变化关系就能顺利解答。
【难度系数】
0.7
4. 甲地到乙地单程汽车票价为80元/人，汽车客运站给出了如下优惠方案：
(1)若有15名成人乘客团购买票，则共需购票款多少元？
(2)已知一辆汽车共有乘客60名，成人乘客若达到团购人数则按团购方式缴款，这一车总购票款为3680元，则车上有学生和成人乘客各多少人？
(1)若有15名成人乘客团购买票，则共需购票款多少元？
(2)已知一辆汽车共有乘客60名，成人乘客若达到团购人数则按团购方式缴款，这一车总购票款为3680元，则车上有学生和成人乘客各多少人？
答案
4. (1)10×80+(15-10)×80×0.8=1 120(元)
(2)设车上有成人x人，则有学生(60-x)人. ①若0≤x≤10，由题意得80x+80×0.6(60-x)=3 680，解得x=25，不符合题意，舍去；②若10＜x≤60，由题意得80×10+80×0.8(x-10)+80×0.6(60-x)=3 680，解得x=40，符合题意. 综上所述，车上有学生20人，成人40人.
(2)设车上有成人x人，则有学生(60-x)人. ①若0≤x≤10，由题意得80x+80×0.6(60-x)=3 680，解得x=25，不符合题意，舍去；②若10＜x≤60，由题意得80×10+80×0.8(x-10)+80×0.6(60-x)=3 680，解得x=40，符合题意. 综上所述，车上有学生20人，成人40人.
解析
【分析】
(1) 求解15名成人团购票款时，先明确成人优惠规则：10人及以内按原价售票，超出10人的部分打八折，因此总票款分为10人原价票款和超出部分的打折票款两部分，分别计算后求和即可。
(2) 求解车上学生和成人人数时，可设成人人数为x，学生人数为(60-x)。由于成人购票分两种优惠场景：①成人人数≤10时无团购优惠；②成人人数＞10时按团购规则计费，因此需要分类讨论，结合总购票款3680元分别列方程求解，最后验证解是否符合对应场景的取值范围，舍去不符合要求的解即可得到正确结果。
【解析】
(1) 根据成人团购优惠规则计算：
10人的原价票款：$10×80=800$（元）
超出10人的5人的八折票款：$(15-10)×80×0.8=320$（元）
总购票款：$800+320=1120$（元）
(2) 设车上有成人x人，则学生有$(60-x)$人，分两种情况讨论：
① 当$0≤ x≤10$时，成人无优惠，学生票价打六折，列方程得：
$80x + 80×0.6×(60-x)=3680$
解得$x=25$，与$0≤ x≤10$矛盾，舍去。
② 当$10＜x≤60$时，成人按团购规则计费，学生票价打六折，列方程得：
$80×10 + 80×0.8×(x-10) + 80×0.6×(60-x)=3680$
解得$x=40$，符合取值范围，此时学生人数为$60-40=20$（人）。
【答案】
(1) 共需购票款1120元；
(2) 车上有学生20人，成人40人。
【知识点】
一元一次方程应用，打折销售问题，方案选择问题
【点评】
本题是典型的分段计费类方案选择问题，解题关键是理清不同优惠方案的计费规则，对不确定的分段条件要分类讨论，求出解后注意验证是否符合对应情况的前提要求，避免出现不符合实际的错解。
【难度系数】
0.7
(1) 求解15名成人团购票款时，先明确成人优惠规则：10人及以内按原价售票，超出10人的部分打八折，因此总票款分为10人原价票款和超出部分的打折票款两部分，分别计算后求和即可。
(2) 求解车上学生和成人人数时，可设成人人数为x，学生人数为(60-x)。由于成人购票分两种优惠场景：①成人人数≤10时无团购优惠；②成人人数＞10时按团购规则计费，因此需要分类讨论，结合总购票款3680元分别列方程求解，最后验证解是否符合对应场景的取值范围，舍去不符合要求的解即可得到正确结果。
【解析】
(1) 根据成人团购优惠规则计算：
10人的原价票款：$10×80=800$（元）
超出10人的5人的八折票款：$(15-10)×80×0.8=320$（元）
总购票款：$800+320=1120$（元）
(2) 设车上有成人x人，则学生有$(60-x)$人，分两种情况讨论：
① 当$0≤ x≤10$时，成人无优惠，学生票价打六折，列方程得：
$80x + 80×0.6×(60-x)=3680$
解得$x=25$，与$0≤ x≤10$矛盾，舍去。
② 当$10＜x≤60$时，成人按团购规则计费，学生票价打六折，列方程得：
$80×10 + 80×0.8×(x-10) + 80×0.6×(60-x)=3680$
解得$x=40$，符合取值范围，此时学生人数为$60-40=20$（人）。
【答案】
(1) 共需购票款1120元；
(2) 车上有学生20人，成人40人。
【知识点】
一元一次方程应用，打折销售问题，方案选择问题
【点评】
本题是典型的分段计费类方案选择问题，解题关键是理清不同优惠方案的计费规则，对不确定的分段条件要分类讨论，求出解后注意验证是否符合对应情况的前提要求，避免出现不符合实际的错解。
【难度系数】
0.7
