4已知等腰三角形的一个内角是$70°$,那么它的另外两个内角分别是多少度？

情况一：顶角是$70°$。
$(180° - 70°)÷2 = 55°$
情况二：一个底角是$70°$。
$180° - 70°×2 = 40°$
答：它的另外两个内角分别是$55°$、$55°$或$70°$、$40°$。
解析 情况一：当这个等腰三角形的顶角是$70°$时，因为它的两个底角相等，所以都是$(180° - 70°)÷2 = 55°$。
情况二：当这个等腰三角形的一个底角是$70°$时，它的顶角是$180° - 70°×2 = 40°$。

【分析】
这道题需要运用分类讨论的思想来解决，因为题目只给出等腰三角形的一个内角是$70°$，这个角可能是顶角，也可能是底角，我们需要结合等腰三角形“两个底角相等”的性质以及“三角形内角和为$180°$”的定理分别计算另外两个内角的度数：
1. 先考虑$70°$是顶角的情况：此时另外两个角是等腰三角形的底角，因为底角相等，所以用三角形内角和减去顶角的度数，再除以2就能得到每个底角的度数；
2. 再考虑$70°$是底角的情况：此时另一个底角也是$70°$，用三角形内角和减去两个底角的度数和，就能得到顶角的度数。
【解析】
情况一：当已知的$70°$内角是等腰三角形的顶角时：
因为等腰三角形的两个底角相等，且三角形内角和为$180°$，所以每个底角的度数为：
$(180° - 70°)÷2 = 55°$
此时另外两个内角都是$55°$。
情况二：当已知的$70°$内角是等腰三角形的底角时：
因为等腰三角形的两个底角相等，所以另一个底角也是$70°$，则顶角的度数为：
$180° - 70°×2 = 40°$
此时另外两个内角分别是$70°$和$40°$。
【答案】
它的另外两个内角分别是$55°$、$55°$或$70°$、$40°$。
【知识点】
等腰三角形性质、三角形内角和定理
【点评】
本题的关键是要考虑到已知内角可能是顶角也可能是底角，需要分类讨论，避免漏解，同时要熟练运用等腰三角形的性质和三角形内角和定理进行计算。
【难度系数】
0.8

5如下图,两个完全相同的等腰直角三角形拼成了一个大三角形。

涛涛的想法对吗？
请说明理由。

答：涛涛的想法不对。
理由一：拼成的大三角形的三个内角分别是$∠1$和$∠4$组成的角、$∠2$和$∠5$。因为等腰直角三角形的底角是$45°$，所以$∠1 = ∠2 = ∠4 = ∠5 = 45°$。因此大三角形的内角和是$∠1 + ∠4 + ∠2 + ∠5 = 45°×4 = 180°$。
理由二：拼成的大三角形的内角和不包括$∠3$和$∠6$，按照涛涛的算法，还要去掉$∠3$和$∠6$的度数。$360° - 90° - 90° = 180°$
理由三：任意一个三角形的内角和都是$180°$，与三角形的大小无关。
(理由任选其一，表述合理即可)
解析 本题主要考查三角形的内角和，任意一个三角形的内角和都是$180°$。

【分析】
首先要明确三角形内角和的核心规律：任意三角形的内角和都是180°，与三角形的大小、形状无关。接着分析涛涛的错误逻辑：他直接将两个等腰直角三角形的内角和相加，但拼成大三角形时，两个小三角形的直角（∠3和∠6）是拼接重合的部分，不属于大三角形的内角，因此不能直接用两个小三角形的内角和相加得到大三角形的内角和。我们可以从三个角度验证：一是计算大三角形的内角具体度数求和；二是用两个小三角形内角和减去拼接处的两个直角；三是直接利用三角形内角和定理。
【解析】
涛涛的想法不对，理由如下：
方法一：任意一个三角形的内角和都是180°，与三角形的大小、形状无关。拼成的大三角形依然是三角形，所以它的内角和是180°，并非两个小三角形内角和相加的360°。
方法二：因为是等腰直角三角形，所以$∠1=∠2=∠4=∠5=45°$，大三角形的内角为$∠1+∠4$、$∠2$、$∠5$，内角和为$(45°+45°)+45°+45°=180°$。
方法三：用两个小三角形内角和减去拼接处的两个直角：$180°+180°-90°-90°=180°$。
【答案】
涛涛的想法不对。理由：任意一个三角形的内角和都是180°，与三角形的大小无关（或其他合理表述的理由）。
【知识点】
三角形内角和定理
【点评】
本题考查对三角形内角和定理的理解，容易被图形拼接的表象误导，需明确：只要是三角形，内角和就一定是180°，拼接重合的角不属于新三角形的内角，不能计入内角和的计算。
【难度系数】
0.8

6如下图,等边三角形内有一个等腰三角形,且$∠1=∠2$,$∠3=∠4$,那么$∠5$的度数是多少？

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$180°÷3 = 60°$ $60°÷2 = 30°$
$180° - 30° - 30° = 120°$
答：$∠5$的度数是$120°$。
解析 因为三角形的内角和等于$180°$，所以$∠5 = 180° - ∠2 - ∠3$，需要求出$∠2$和$∠3$的度数。
第一步 因为大三角形是等边三角形，所以$∠1 + ∠2 = ∠3 + ∠4 = 60°$，从题中又知道$∠1 = ∠2$，$∠3 = ∠4$，所以它们分别是$60°$的一半，也就是$30°$。
第二步 利用$∠5 = 180° - ∠2 - ∠3$求出$∠5$的度数。

【分析】
首先，观察图形可知大三角形是等边三角形，根据等边三角形的性质，它的每个内角都是60°，即$∠1+∠2=60°$，$∠3+∠4=60°$。题目给出$∠1=∠2$，$∠3=∠4$，所以可以先求出$∠2$和$∠3$的度数。再根据三角形内角和为180°，用180°减去$∠2$和$∠3$的度数，就能得到$∠5$的度数。
【解析】
1. 因为大三角形是等边三角形，所以每个内角的度数为：$180°÷3 = 60°$，即$∠1+∠2=60°$，$∠3+∠4=60°$。
2. 已知$∠1=∠2$，$∠3=∠4$，所以$∠2=60°÷2=30°$，$∠3=60°÷2=30°$。
3. 根据三角形内角和为180°，可得$∠5=180°-∠2-∠3=180°-30°-30°=120°$。
答：$∠5$的度数是$120°$。
【答案】
$120°$
【知识点】
等边三角形性质、三角形内角和定理
【点评】
本题重点考查等边三角形的性质与三角形内角和定理的综合应用，解题的关键是利用等边三角形内角为60°的特点，结合角的等量关系求出$∠2$和$∠3$，再通过内角和计算$∠5$，需要学生熟练掌握基础几何图形的性质和内角和规律。
【难度系数】
0.6

7画一画,写一写。
(1)把下面的三角形分成两个三角形,且分出的两个三角形中有一个是等边三角形。

(2)想一想,(1)题中分出的另一个三角形是等腰三角形吗？请写出理由。

(1)

解析 解答本题时，可以用字母A、B、C分别表示直角三角形的三个顶点(如下图)。在三角形ABC中，$∠ A = 180° - 90° - 30° = 60°$。要想分出的两个三角形中有一个是等边三角形，那么可以在AC边上取一点D，使$AD = AB$，连接BD。在三角形ABD中，$AD = AB$，所以三角形ABD是等腰三角形；又因为$∠ A = 60°$，所以$∠ ABD = ∠ ADB = (180° - 60°)÷2 = 60°$；因为三角形ABD的三个内角都是$60°$，所以它是等边三角形。

(2)
$∠1 = 60°$ $∠2 = 90° - 60° = 30°$
另一个三角形中有两个角相等。
答：(1)题中分出的另一个三角形是等腰三角形。
(理由合理即可)
解析 由(1)题可知，原来三角形中的直角被分成了两个角，一个角是$60°$，另一个角是$30°$。因为另一个三角形中有两个角相等，都是$30°$，所以它是等腰三角形。

【分析】
首先分析原直角三角形的内角：已知一个直角为90°，一个锐角为30°，根据三角形内角和为180°，可算出第三个角是60°。要分出一个等边三角形，由于等边三角形三个角都是60°，所以可以借助这个60°的角，构造一个两边相等且夹角为60°的三角形，即可得到等边三角形。对于第二个问题，需要计算分出的另一个三角形的内角，通过判断是否有两个角相等，来确定它是否为等腰三角形。
【解析】
(1) 给直角三角形标注顶点，设直角顶点为B，30°角顶点为C，剩余顶点为A。
① 计算∠A的度数：$∠ A = 180° - 90° - 30° = 60°$；
② 在AC边上取一点D，使$AD = AB$，连接BD；
③ 在$△ ABD$中，因为$AD=AB$，所以$△ ABD$是等腰三角形，又因为$∠ A=60°$，所以$∠ ABD=∠ ADB=(180°-60°)÷2=60°$，三个内角均为60°，因此$△ ABD$是等边三角形。

(2) 由(1)可知$∠ ABD=60°$，则$∠ DBC=90°-60°=30°$，而原三角形中$∠ C=30°$，所以在$△ DBC$中，$∠ DBC=∠ C=30°$，根据“有两个角相等的三角形是等腰三角形”，可判定$△ DBC$是等腰三角形。
【答案】
(1)
(2) 答：(1)题中分出的另一个三角形是等腰三角形。
理由：由(1)可得$∠ DBC=90°-60°=30°$，与原三角形的$∠ C$相等，该三角形有两个角相等，所以是等腰三角形。
【知识点】
等边三角形的判定、等腰三角形的判定、三角形内角和定理
【点评】
本题考查三角形内角和定理以及特殊三角形的判定，需要结合已知角度，通过构造图形和角度计算来解决问题，锻炼了几何构造能力和逻辑推理能力，帮助学生加深对特殊三角形性质的理解。
【难度系数】
0.6