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5.如图,9个大小、形状完全相同的小长方形,组成了一个周长为46的大长方形ABCD,若设小长方形的长为x,宽为y,则可列方程组为 （）
A.$\begin{cases}2x=7y, \\2(7y+x+y)=46\end{cases}$
B.$\begin{cases}2x=7y, \\7y+x+y=46\end{cases}$
C.$\begin{cases}7x=2y, \\7y+x+y=46\end{cases}$
D.$\begin{cases}2x=7y, \\2(7y+x+x)=46\end{cases}$
A.$\begin{cases}2x=7y, \\2(7y+x+y)=46\end{cases}$
B.$\begin{cases}2x=7y, \\7y+x+y=46\end{cases}$
C.$\begin{cases}7x=2y, \\7y+x+y=46\end{cases}$
D.$\begin{cases}2x=7y, \\2(7y+x+x)=46\end{cases}$
答案
A
解析
【分析】
解题时先观察图形挖掘隐藏的等量关系：第一步利用大长方形上下对边相等的性质，推导小长方形长和宽的数量关系；第二步结合大长方形周长为46的已知条件，依据长方形周长公式列第二个方程，最后匹配对应选项即可。思考逻辑：①大长方形的上边AD由7个小长方形的宽拼接而成，长度为7y，下边BC由2个小长方形的长拼接而成，长度为2x，AD和BC是对边长度相等，可列第一个方程；②大长方形的长为7y，宽为小长方形的长加小长方形的宽（即x+y），结合周长公式即可列第二个方程。
【解析】
解：从图形和已知条件中可得到两个等量关系：
1. 大长方形上下对边长度相等：
大长方形上边$AD$的长度=7个小长方形的宽之和$=7y$
大长方形下边$BC$的长度=2个小长方形的长之和$=2x$
由$AD=BC$可得：$2x=7y$
2. 大长方形$ABCD$的周长为46：
大长方形的长为$7y$，大长方形的宽=小长方形的长+小长方形的宽$=x+y$
根据长方形周长公式$C=2×(长+宽)$，代入数值可得：
$2(7y + x + y)=46$
综上可列方程组为$\begin{cases}2x=7y, \\2(7y+x+y)=46\end{cases}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 二元一次方程组应用
2. 长方形周长计算
3. 矩形对边相等
【点评】
本题是几何与代数结合的基础题型，解题核心是准确识别图形中隐藏的边长等量关系，做题时需注意不要遗漏周长公式中的系数2，避免误选不含系数2的选项。
【难度系数】
0.7
解题时先观察图形挖掘隐藏的等量关系：第一步利用大长方形上下对边相等的性质，推导小长方形长和宽的数量关系；第二步结合大长方形周长为46的已知条件，依据长方形周长公式列第二个方程，最后匹配对应选项即可。思考逻辑：①大长方形的上边AD由7个小长方形的宽拼接而成，长度为7y，下边BC由2个小长方形的长拼接而成，长度为2x，AD和BC是对边长度相等，可列第一个方程；②大长方形的长为7y，宽为小长方形的长加小长方形的宽（即x+y），结合周长公式即可列第二个方程。
【解析】
解：从图形和已知条件中可得到两个等量关系：
1. 大长方形上下对边长度相等：
大长方形上边$AD$的长度=7个小长方形的宽之和$=7y$
大长方形下边$BC$的长度=2个小长方形的长之和$=2x$
由$AD=BC$可得：$2x=7y$
2. 大长方形$ABCD$的周长为46：
大长方形的长为$7y$，大长方形的宽=小长方形的长+小长方形的宽$=x+y$
根据长方形周长公式$C=2×(长+宽)$，代入数值可得：
$2(7y + x + y)=46$
综上可列方程组为$\begin{cases}2x=7y, \\2(7y+x+y)=46\end{cases}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 二元一次方程组应用
2. 长方形周长计算
3. 矩形对边相等
【点评】
本题是几何与代数结合的基础题型，解题核心是准确识别图形中隐藏的边长等量关系，做题时需注意不要遗漏周长公式中的系数2，避免误选不含系数2的选项。
【难度系数】
0.7
6.《算法统宗》里记载:我问开店李三公,众客都来到店中.一房七客多七客,一房九客一房空.设李三公家的店有$x$间客房,来了$y$个房客,则可列方程组为（）
A.$\begin{cases} y=7x -7, \\ y=9(x -1) \end{cases}$
B.$\begin{cases} y=7x +7, \\ y=9(x -1) \end{cases}$
C.$\begin{cases} y=7x +7, \\ y=9(x +1) \end{cases}$
D.$\begin{cases} y=7x -7, \\ y=9(x +1) \end{cases}$
A.$\begin{cases} y=7x -7, \\ y=9(x -1) \end{cases}$
B.$\begin{cases} y=7x +7, \\ y=9(x -1) \end{cases}$
C.$\begin{cases} y=7x +7, \\ y=9(x +1) \end{cases}$
D.$\begin{cases} y=7x -7, \\ y=9(x +1) \end{cases}$
答案
B
解析
【分析】
这是一道根据实际问题列二元一次方程组的题目，解题核心是准确提取题干中的两个等量关系。第一步先分析“一房七客多七客”：每间房住7人，x间房共住7x人，还多7人没住处，说明总人数比7x多7，可得到第一个方程；第二步分析“一房九客一房空”：每间房住9人时，有1间房空着，也就是实际只住满了(x-1)间房，总人数等于9乘以实际住满的房间数，可得到第二个方程，联立两个方程再匹配选项即可。
【解析】
1. 根据“一房七客多七客”列方程：
每间房住7人，x间房可住7x人，还多7名房客，因此总人数$\boldsymbol{y=7x+7}$。
2. 根据“一房九客一房空”列方程：
每间房住9人时，空1间房，即住满了$(x-1)$间房，因此总人数$\boldsymbol{y=9(x-1)}$。
联立两个方程可得方程组$\begin{cases} y=7x +7, \\ y=9(x -1) \end{cases}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
列二元一次方程组；实际问题找等量关系
【点评】
本题以古代数学问题为载体，侧重考查对题意的理解能力，只要准确把握“多七客”“一房空”对应的数量关系，就能快速列出正确的方程组，解题时注意不要混淆加减关系。
【难度系数】
0.8
这是一道根据实际问题列二元一次方程组的题目，解题核心是准确提取题干中的两个等量关系。第一步先分析“一房七客多七客”：每间房住7人，x间房共住7x人，还多7人没住处，说明总人数比7x多7，可得到第一个方程；第二步分析“一房九客一房空”：每间房住9人时，有1间房空着，也就是实际只住满了(x-1)间房，总人数等于9乘以实际住满的房间数，可得到第二个方程，联立两个方程再匹配选项即可。
【解析】
1. 根据“一房七客多七客”列方程：
每间房住7人，x间房可住7x人，还多7名房客，因此总人数$\boldsymbol{y=7x+7}$。
2. 根据“一房九客一房空”列方程：
每间房住9人时，空1间房，即住满了$(x-1)$间房，因此总人数$\boldsymbol{y=9(x-1)}$。
联立两个方程可得方程组$\begin{cases} y=7x +7, \\ y=9(x -1) \end{cases}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
列二元一次方程组；实际问题找等量关系
【点评】
本题以古代数学问题为载体，侧重考查对题意的理解能力，只要准确把握“多七客”“一房空”对应的数量关系，就能快速列出正确的方程组，解题时注意不要混淆加减关系。
【难度系数】
0.8
7. 将9个数填入九宫格的空格中,使每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等.如图所示是一个未完成的九宫格,则x与y的和是 ()
A.9
B.10
C.11
D.12
A.9
B.10
C.11
D.12
答案
D
解析
【分析】
解题核心是利用三阶幻方的基本性质：每行、每列、对角线上的三个数之和（幻和）相等，且幻和等于3倍的中间数。解题步骤可按以下思路推进：
1. 先利用第一行和与第一列和相等，消去未知数x，求出第三行第一个数；
2. 结合右上到左下对角线的和等于幻和，联立“幻和=3×中间数”的关系，列一元一次方程求出幻和；
3. 用幻和分别求出x和y的值，最终计算x+y的结果。
【解析】
设三阶幻方的幻和为$ S $，中间数为$ a $。
1. 第一行的和等于第一列的和：
$ x + 6 + 20 = x + 22 + \mathrm{第三行第一个数} $
两边消去$ x $，得$ 26 = 22 + \mathrm{第三行第一个数} $，解得第三行第一个数为$ 4 $。
2. 右上到左下对角线的和等于幻和，且幻和$ S=3a $：
对角线三个数为20、$ a $、4，因此$ 20 + a + 4 = S $，即$ a = S - 24 $。
结合$ S=3a $，得$ a = \frac{S}{3} $，代入上式：
$ \frac{S}{3} = S - 24 $
两边同乘3得$ S = 3S - 72 $，解得$ S=36 $。
3. 求$ x $：第一行和为36，即$ x + 6 + 20 = 36 $，解得$ x=10 $。
4. 求$ y $：中间数$ a = 36÷3=12 $，第二行和为36，即$ 22 + 12 + y =36 $，解得$ y=2 $。
因此$ x+y=10+2=12 $。
【答案】
D
【知识点】
三阶幻方性质，一元一次方程应用，等式的性质
【点评】
本题侧重考察幻方基础性质的灵活运用，解题突破口是利用行列和相等的关系先消去未知数x求出角落数字，再结合幻和与中间数的关系快速求解，只要掌握幻方基本规律就能顺利作答。
【难度系数】
0.7
解题核心是利用三阶幻方的基本性质：每行、每列、对角线上的三个数之和（幻和）相等，且幻和等于3倍的中间数。解题步骤可按以下思路推进：
1. 先利用第一行和与第一列和相等，消去未知数x，求出第三行第一个数；
2. 结合右上到左下对角线的和等于幻和，联立“幻和=3×中间数”的关系，列一元一次方程求出幻和；
3. 用幻和分别求出x和y的值，最终计算x+y的结果。
【解析】
设三阶幻方的幻和为$ S $，中间数为$ a $。
1. 第一行的和等于第一列的和：
$ x + 6 + 20 = x + 22 + \mathrm{第三行第一个数} $
两边消去$ x $，得$ 26 = 22 + \mathrm{第三行第一个数} $，解得第三行第一个数为$ 4 $。
2. 右上到左下对角线的和等于幻和，且幻和$ S=3a $：
对角线三个数为20、$ a $、4，因此$ 20 + a + 4 = S $，即$ a = S - 24 $。
结合$ S=3a $，得$ a = \frac{S}{3} $，代入上式：
$ \frac{S}{3} = S - 24 $
两边同乘3得$ S = 3S - 72 $，解得$ S=36 $。
3. 求$ x $：第一行和为36，即$ x + 6 + 20 = 36 $，解得$ x=10 $。
4. 求$ y $：中间数$ a = 36÷3=12 $，第二行和为36，即$ 22 + 12 + y =36 $，解得$ y=2 $。
因此$ x+y=10+2=12 $。
【答案】
D
【知识点】
三阶幻方性质，一元一次方程应用，等式的性质
【点评】
本题侧重考察幻方基础性质的灵活运用，解题突破口是利用行列和相等的关系先消去未知数x求出角落数字，再结合幻和与中间数的关系快速求解，只要掌握幻方基本规律就能顺利作答。
【难度系数】
0.7
8. 如图所示为两个形状、大小完全相同的小长方形拼接而成的图形.设小长方形的宽为x,长为y,则可列方程组为. 
答案
解：
根据AB的总长度为7，可得等量关系：小长方形的宽+小长方形的长=7，即 $ x + y = 7 $；
根据CD的长度为3，可得等量关系：小长方形的长-小长方形的宽=3，即 $ y - x = 3 $。
可列方程组为
$\begin{cases}x + y = 7 \\y - x = 3\end{cases}$
根据AB的总长度为7，可得等量关系：小长方形的宽+小长方形的长=7，即 $ x + y = 7 $；
根据CD的长度为3，可得等量关系：小长方形的长-小长方形的宽=3，即 $ y - x = 3 $。
可列方程组为
$\begin{cases}x + y = 7 \\y - x = 3\end{cases}$
解析
【分析】
解题时首先结合题目给出的小长方形的长、y宽x的设定，从图中已知长度的线段找等量关系：第一步观察水平线段AB，总长度为7，它由小长方形的宽和小长方形的长拼接组成，可得到第一个等量关系；第二步观察竖直线段CD，长度为3，它是小长方形的长减去小长方形的宽的差值，可得到第二个等量关系，联立两个方程即可得到所求方程组。
【解析】
1. 分析线段AB的长度：AB总长度为7，由小长方形的宽x和小长方形的长y拼接而成，因此可列方程：$x + y = 7$；
2. 分析线段CD的长度：CD总长度为3，等于小长方形的长减去小长方形的宽，因此可列方程：$y - x = 3$；
3. 将两个方程联立，得到最终方程组。
【答案】
$\begin{cases}x + y = 7 \\y - x = 3\end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的应用，几何等量关系分析
【点评】
本题是结合平面图形的基础方程应用题，解题关键是准确识别图形中线段长度对应的数量关系，利用题目给出的长方形参数设定列方程即可，解题时注意不要混淆长和宽的大小关系。
【难度系数】
0.8
解题时首先结合题目给出的小长方形的长、y宽x的设定，从图中已知长度的线段找等量关系：第一步观察水平线段AB，总长度为7，它由小长方形的宽和小长方形的长拼接组成，可得到第一个等量关系；第二步观察竖直线段CD，长度为3，它是小长方形的长减去小长方形的宽的差值，可得到第二个等量关系，联立两个方程即可得到所求方程组。
【解析】
1. 分析线段AB的长度：AB总长度为7，由小长方形的宽x和小长方形的长y拼接而成，因此可列方程：$x + y = 7$；
2. 分析线段CD的长度：CD总长度为3，等于小长方形的长减去小长方形的宽，因此可列方程：$y - x = 3$；
3. 将两个方程联立，得到最终方程组。
【答案】
$\begin{cases}x + y = 7 \\y - x = 3\end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的应用，几何等量关系分析
【点评】
本题是结合平面图形的基础方程应用题，解题关键是准确识别图形中线段长度对应的数量关系，利用题目给出的长方形参数设定列方程即可，解题时注意不要混淆长和宽的大小关系。
【难度系数】
0.8
