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1. (2026·苏州校级月考)对于任意正整数$a,b$定义一种新运算:$F(a+b)=F(a)·F(b)$.比如$F(2)=5$,则$F(4)=F(2+2)=5×5=5^2$,$F(6)=F(2+4)=5×5^2=5^3$,那么$F(2026)$的结果是 (
A.2026
B.$5^{1013}$
C.$5^{2026}$
D.1013
B
)A.2026
B.$5^{1013}$
C.$5^{2026}$
D.1013
答案
1.B 解析:因为$F(a+b)=F(a)·F(b)$,且$F(2)=5,F(4)=F(2+2)=5×5=5^2,F(6)=F(2+4)=5×5^2=5^3$,…,以此类推,$F(2n)=5^n$,因为$2026÷2=1013$,所以$F(2\ 026)=5^{1\ 013}$,故选 B.
2. (2025·合肥期中)对有理数$a,b$定义了一种新的运算,叫“乘加法”,记作“$a★b$”,并按照此运算写出了一些式子:$2★3=5,(-2)★3=-5,2★(-3)=-5,(-2)★(-3)=5,(-2)★(-2)=4,2★(-2)=-4,2★0=2,(-2)★0=2……$
(1)根据以上式子特点将“乘加法”法则补充完整:
同号得
(2)根据法则计算:$(-4)★2=$
$(-\dfrac{1}{3})★(-3)=$
(3)若括号的作用与它在有理数运算中的作用相同,请计算:$[6★(-1)]★[(-1)★\dfrac{1}{2}]$.
(1)根据以上式子特点将“乘加法”法则补充完整:
同号得
正
,异号得负
,并把绝对值相加
;一个数与0相“乘加”等于这个数的绝对值
.(2)根据法则计算:$(-4)★2=$
-6
;$(-\dfrac{1}{3})★(-3)=$
$3\dfrac{1}{3}$
.(3)若括号的作用与它在有理数运算中的作用相同,请计算:$[6★(-1)]★[(-1)★\dfrac{1}{2}]$.
答案
2. (1)正 负 相加 这个数的绝对值 解析:根据题干式子特点可得“乘加法”法则为:同号得正,异号得负,并把绝对值相加,一个数与0相“乘加”等于这个数的绝对值.
(2)$-6$ $3\dfrac{1}{3}$ 解析:$(-4)★2=-(|-4|+|2|)=-6$,
$(-\dfrac{1}{3})★(-3)=\left|-\dfrac{1}{3}\right|+|-3|=3\dfrac{1}{3}$.
(3)$[6★(-1)]★[(-1)★\dfrac{1}{2}] = [-(|6|+|-1|)]★[-(|-1|+\left|\dfrac{1}{2}\right|)] = (-7)★(-1\dfrac{1}{2}) = |-7| + \left|-1\dfrac{1}{2}\right| = 8\dfrac{1}{2}$.
(2)$-6$ $3\dfrac{1}{3}$ 解析:$(-4)★2=-(|-4|+|2|)=-6$,
$(-\dfrac{1}{3})★(-3)=\left|-\dfrac{1}{3}\right|+|-3|=3\dfrac{1}{3}$.
(3)$[6★(-1)]★[(-1)★\dfrac{1}{2}] = [-(|6|+|-1|)]★[-(|-1|+\left|\dfrac{1}{2}\right|)] = (-7)★(-1\dfrac{1}{2}) = |-7| + \left|-1\dfrac{1}{2}\right| = 8\dfrac{1}{2}$.
3. (2025·亳州期中)【初步感知】已知有理数$p$($p$不为0和1),我们把$1-\frac{1}{p}$称为$p$的倒数差,如:3的倒数差是$1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$,$-\frac{1}{2}$的倒数差是$1-(-2)=3$.
【理解运用】若$p=4$,$p_1$是$p$的倒数差,$p_2$是$p_1$的倒数差,$p_3$是$p_2$的倒数差……以此类推.
(1)分别求出$p_1$,$p_2$,$p_3$的值.
(2)$p_7+p_8+p_9$的值为
【拓展提升】
(3)设有理数$a,b,c$(都不为0和1),将一个数组$(a,b,c)$中的数分别按照材料中“倒数差”的定义作变换,第1次变换后得到数组$(a_1,b_1,c_1)$,第2次变换后得到数组$(a_2,b_2,c_2)$……第$n$次变换后得到数组$(a_n,b_n,c_n)$.若数组$(a,b,c)$确定为$(-3,\frac{1}{2},-1)$,求$a_1+b_1+c_1+a_2+b_2+c_2+···+a_{12}+b_{12}+c_{12}$的值.
【理解运用】若$p=4$,$p_1$是$p$的倒数差,$p_2$是$p_1$的倒数差,$p_3$是$p_2$的倒数差……以此类推.
(1)分别求出$p_1$,$p_2$,$p_3$的值.
(2)$p_7+p_8+p_9$的值为
$\dfrac{53}{12}$
.【拓展提升】
(3)设有理数$a,b,c$(都不为0和1),将一个数组$(a,b,c)$中的数分别按照材料中“倒数差”的定义作变换,第1次变换后得到数组$(a_1,b_1,c_1)$,第2次变换后得到数组$(a_2,b_2,c_2)$……第$n$次变换后得到数组$(a_n,b_n,c_n)$.若数组$(a,b,c)$确定为$(-3,\frac{1}{2},-1)$,求$a_1+b_1+c_1+a_2+b_2+c_2+···+a_{12}+b_{12}+c_{12}$的值.
答案
3. (1)因为$p=4$,$p_1$是$p$的倒数差,$p_2$是$p_1$的倒数差,$p_3$是$p_2$的倒数差,所以结合题意可得$p_1=1-\dfrac{1}{p}=1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}$,$p_2=1-\dfrac{1}{p_1}=1-\dfrac{3}{4}=-\dfrac{1}{3}$,$p_3=1-\dfrac{1}{p_2}=1-\dfrac{1}{-\dfrac{1}{3}}=4$.
(2)$\dfrac{53}{12}$ 解析:由$p_1,p_2,p_3$的值,可得$p_1,p_2,p_3$三个值为一组循环数,后面每三个数一组进行重复,所以$p_1+p_2+p_3$和$p_4+p_5+p_6$及$p_7+p_8+p_9$得数均相同,即$p_1=p_4=p_7=\dfrac{3}{4}$,$p_2=p_5=p_8=-\dfrac{1}{3}$,$p_3=p_6=p_9=4$.
所以$p_7+p_8+p_9=\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{3}+4=\dfrac{53}{12}$.
(3)因为$(a,b,c)$确定为$(-3,\dfrac{1}{2},-1)$,所以第1次变换后$a_1=1-\dfrac{1}{a}=1-\dfrac{1}{-3}=\dfrac{4}{3}$,$b_1=1-\dfrac{1}{b}=1-\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}}=-1$,$c_1=1-\dfrac{1}{c}=1-\dfrac{1}{-1}=2$,所以第2次变换后$a_2=1-\dfrac{1}{a_1}=1-\dfrac{1}{\dfrac{4}{3}}=\dfrac{1}{4}$,$b_2=1-\dfrac{1}{b_1}=1-\dfrac{1}{-1}=2$,$c_2=1-\dfrac{1}{c_1}=1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}$,所以第3次变换后$a_3=1-\dfrac{1}{a_2}=1-\dfrac{1}{\dfrac{1}{4}}=-3$,$b_3=1-\dfrac{1}{b_2}=1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}$,$c_3=1-\dfrac{1}{c_2}=1-\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}}=-1$,所以同理可得$a_1=a_4=a_7=a_{10}=\dfrac{4}{3}$,$a_2=a_5=a_8=a_{11}=\dfrac{1}{4}$,$a_3=a_6=a_9=a_{12}=-3$,$b_1=b_4=b_7=b_{10}=-1$,$b_2=b_5=b_8=b_{11}=2$,$b_3=b_6=b_9=b_{12}=\dfrac{1}{2}$,$c_1=c_4=c_7=c_{10}=2$,$c_2=c_5=c_8=c_{11}=\dfrac{1}{2}$,$c_3=c_6=c_9=c_{12}=-1$,所以$a_1+b_1+c_1=a_4+b_4+c_4=a_7+b_7+c_7=a_{10}+b_{10}+c_{10}=\dfrac{4}{3}-1+2=\dfrac{7}{3}$,$a_2+b_2+c_2=a_5+b_5+c_5=a_8+b_8+c_8=a_{11}+b_{11}+c_{11}=\dfrac{1}{4}+2+\dfrac{1}{2}=\dfrac{11}{4}$,$a_3+b_3+c_3=a_6+b_6+c_6=a_9+b_9+c_9=a_{12}+b_{12}+c_{12}=-3+\dfrac{1}{2}-1=-\dfrac{7}{2}$,所以$a_1+b_1+c_1+a_2+b_2+c_2+\dots+a_{12}+b_{12}+c_{12}=4(a_1+b_1+c_1)+4(a_2+b_2+c_2)+4(a_3+b_3+c_3)=4×\dfrac{7}{3}+4×\dfrac{11}{4}+4×(-\dfrac{7}{2})=\dfrac{19}{3}$.
(2)$\dfrac{53}{12}$ 解析:由$p_1,p_2,p_3$的值,可得$p_1,p_2,p_3$三个值为一组循环数,后面每三个数一组进行重复,所以$p_1+p_2+p_3$和$p_4+p_5+p_6$及$p_7+p_8+p_9$得数均相同,即$p_1=p_4=p_7=\dfrac{3}{4}$,$p_2=p_5=p_8=-\dfrac{1}{3}$,$p_3=p_6=p_9=4$.
所以$p_7+p_8+p_9=\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{3}+4=\dfrac{53}{12}$.
(3)因为$(a,b,c)$确定为$(-3,\dfrac{1}{2},-1)$,所以第1次变换后$a_1=1-\dfrac{1}{a}=1-\dfrac{1}{-3}=\dfrac{4}{3}$,$b_1=1-\dfrac{1}{b}=1-\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}}=-1$,$c_1=1-\dfrac{1}{c}=1-\dfrac{1}{-1}=2$,所以第2次变换后$a_2=1-\dfrac{1}{a_1}=1-\dfrac{1}{\dfrac{4}{3}}=\dfrac{1}{4}$,$b_2=1-\dfrac{1}{b_1}=1-\dfrac{1}{-1}=2$,$c_2=1-\dfrac{1}{c_1}=1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}$,所以第3次变换后$a_3=1-\dfrac{1}{a_2}=1-\dfrac{1}{\dfrac{1}{4}}=-3$,$b_3=1-\dfrac{1}{b_2}=1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}$,$c_3=1-\dfrac{1}{c_2}=1-\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}}=-1$,所以同理可得$a_1=a_4=a_7=a_{10}=\dfrac{4}{3}$,$a_2=a_5=a_8=a_{11}=\dfrac{1}{4}$,$a_3=a_6=a_9=a_{12}=-3$,$b_1=b_4=b_7=b_{10}=-1$,$b_2=b_5=b_8=b_{11}=2$,$b_3=b_6=b_9=b_{12}=\dfrac{1}{2}$,$c_1=c_4=c_7=c_{10}=2$,$c_2=c_5=c_8=c_{11}=\dfrac{1}{2}$,$c_3=c_6=c_9=c_{12}=-1$,所以$a_1+b_1+c_1=a_4+b_4+c_4=a_7+b_7+c_7=a_{10}+b_{10}+c_{10}=\dfrac{4}{3}-1+2=\dfrac{7}{3}$,$a_2+b_2+c_2=a_5+b_5+c_5=a_8+b_8+c_8=a_{11}+b_{11}+c_{11}=\dfrac{1}{4}+2+\dfrac{1}{2}=\dfrac{11}{4}$,$a_3+b_3+c_3=a_6+b_6+c_6=a_9+b_9+c_9=a_{12}+b_{12}+c_{12}=-3+\dfrac{1}{2}-1=-\dfrac{7}{2}$,所以$a_1+b_1+c_1+a_2+b_2+c_2+\dots+a_{12}+b_{12}+c_{12}=4(a_1+b_1+c_1)+4(a_2+b_2+c_2)+4(a_3+b_3+c_3)=4×\dfrac{7}{3}+4×\dfrac{11}{4}+4×(-\dfrac{7}{2})=\dfrac{19}{3}$.
