1. 观察下列等式：
①$1^3=1^2$；②$1^3+2^3=3^2$；③$1^3+2^3+3^3=6^2$；
④$1^3+2^3+3^3+4^3=10^2$……根据此规律，第10个等式的右边应该是$a^2$，则a的值是
（）

A.45
B.54
C.55
D.65

1. C 解析:等式右边的数依次为$1^2,(1+2)^2,(1+2+3)^2,\dots,$第10个等式的右边应该是$(1+2+3+\dots+10)^2=55^2$,所以$a=55$.故选 C.

2. (2026·盐城期中)【提出问题】怎样比较$2025^{2026}$与$2026^{2025}$的大小?
【分析问题】为了解决这个问题,我们先写出它的一般形式,即比较$n^{n+1}$与$(n+1)^n$的大小(n是正整数),然后我们从分析n=1, n=2, n=3……中发现规律,经归纳、猜想,得出结论.
【探究过程】
(1)从简单的开始,比较下列各组中两数的大小(在横线上填写“＞”“＜”或“=”):
①$1^2$ $2^1$;②$2^3$ $3^2$;
③$3^4$ $4^3$.
(2)根据上面的结果,经过归纳,猜想$n^{n+1}$与$(n+1)^n$有怎样的大小关系?
【解决问题】
(3)根据以上探究,我们可得结论(在横线上填写“＞”“＜”或“=”):
$2025^{2026}$ $2026^{2025}$.
答案D17

2. (1)①＜ ②＜ ③＞ 解析:①$1^2 = 1,2^1 = 2,1^2＜2^1$;②$2^3 = 8$,$3^2 = 9,2^3＜3^2$;③$3^4 = 81,4^3 = 64,3^4＞4^3$.
(2)根据(1)的结果,经过归纳得当$n＜2$或$n = 2$时,$n^{n+1}＜(n+1)^n$;当$n = 3$或$n＞3$时,$n^{n+1}＞(n+1)^n$.
(3)＞ 解析:因为 2 025＞3,所以$2\ 025^{2\ 025+1}＞(2\ 025+1)^{2\ 025}$,即$2\ 025^{2\ 026}＞2\ 026^{2\ 025}$.

3. 将正整数1,2,3,4,5,6,…,按如图数阵排列,用数对(m,n)表示该数阵中从上到下、从左到右第m行第n个数,如(4,5)表示14,则2026用数对表示为 ()


A.(45,1)
B.(45,2)
C.(46,1)
D.(46,2)

3. C 解析:观察题图可知,每行的最大的数就是行数的平方,因为$45^2＜2\ 026＜46^2$,所以 2 026 在第 46 行.奇数行从右到左,从小到大,而偶数行从左到右,从小到大.因为$45^2 = 2\ 025,46^2 = 2\ 116$,所以 2 026 排在第 46 行从左到右第 1 个,则 2 026 用数对表示为$(46,1)$.故选 C.

4. (2025·武汉期末)我国古代数学的许多创新与发展都曾位居世界前列.其中“杨辉三角”(图①)就是一例,其规律是:从第三行起,每行两端的数都是“1”,其余各数都等于该数“两肩”上的数之和.如图②中虚线标记的一列数:1,3,6,10,15,…,我们把第一个数记为$a_1$,第二个数记为$a_2$,第三个数记为$a_3$……第$n$个数记为$a_n$,则$a_8 - 2a_6 -10$的值是.

4. -16 解析:由题知,$a_1 = 1,a_2 = 3 = 1+2,a_3 = 6 = 1+2+3,a_4 = 10 = 1+2+3+4,\dots,$当$n = 6$时,$a_6=\frac{6×7}{2}=21$,当$n = 8$时,$a_8=\frac{8×9}{2}=36$,所以$a_8-2a_6-10 = 36-2×21-10 = -16$.

5. (2025·湖州期中)爱动脑筋的小明同学设计了如图所示的“幻方”游戏图,将1,-2,3,-4,5,-6,7,-8分别填入图中的圆圈内,使得横、竖以及内外两个正方形的4个数之和都相等,他已经将-4,5,7,-8这四个数填入了圆圈,则图中a+b的值为。

5. -5或-8 解析:因为这 8 个数的和是-4,所以横、竖以及内外两个正方形的 4 个数之和都等于-2,根据题意有$-8+5+b+7 = -2$,所以$b = -2+8-5-7 = -6$;根据内圈正方形的 4 个数之和等于-2,得内圈右边的圆圈应填 3,则$a = 1$或-2,所以$a+b = -5$或-8.