登录
13. 将一组数据1,2,3,4,5增加一个数3,则新的一组数据的 （
A.平均数变小,方差变小
B.平均数变小,方差变大
C.平均数不变,方差变小
D.平均数不变,方差变大
C
）A.平均数变小,方差变小
B.平均数变小,方差变大
C.平均数不变,方差变小
D.平均数不变,方差变大
答案
13.C
解析
【分析】
要判断增加数据后平均数和方差的变化，我们可以按照“先算原数据的平均数、方差→再算新增数据后的平均数、方差→最后对比两个统计量的变化”的思路解题。牢记平均数和方差的计算公式，分别代入计算即可，不要盲目凭直觉判断，避免出错。
【解析】
①计算原数据的平均数和方差：
原数据为1,2,3,4,5，共5个数据
原平均数$\overline{x}_1=\frac{1+2+3+4+5}{5}=3$
原方差$s_1^2=\frac{(1-3)^2+(2-3)^2+(3-3)^2+(4-3)^2+(5-3)^2}{5}=\frac{4+1+0+1+4}{5}=2$
②计算新增数字3后的平均数和方差：
新数据为1,2,3,3,4,5，共6个数据
新平均数$\overline{x}_2=\frac{1+2+3+3+4+5}{6}=3$，和原平均数相等，即平均数不变
新方差$s_2^2=\frac{(1-3)^2+(2-3)^2+(3-3)^2+(3-3)^2+(4-3)^2+(5-3)^2}{6}=\frac{4+1+0+0+1+4}{6}=\frac{5}{3}\approx1.67$，小于原方差2，即方差变小
综上，平均数不变，方差变小，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
平均数的计算；方差的计算
【点评】
本题属于基础题，核心考查平均数与方差的计算应用，只要熟练掌握两个统计量的计算公式，准确计算两组数据的对应值再进行对比，就能快速得到答案。
【难度系数】
0.8
要判断增加数据后平均数和方差的变化，我们可以按照“先算原数据的平均数、方差→再算新增数据后的平均数、方差→最后对比两个统计量的变化”的思路解题。牢记平均数和方差的计算公式，分别代入计算即可，不要盲目凭直觉判断，避免出错。
【解析】
①计算原数据的平均数和方差：
原数据为1,2,3,4,5，共5个数据
原平均数$\overline{x}_1=\frac{1+2+3+4+5}{5}=3$
原方差$s_1^2=\frac{(1-3)^2+(2-3)^2+(3-3)^2+(4-3)^2+(5-3)^2}{5}=\frac{4+1+0+1+4}{5}=2$
②计算新增数字3后的平均数和方差：
新数据为1,2,3,3,4,5，共6个数据
新平均数$\overline{x}_2=\frac{1+2+3+3+4+5}{6}=3$，和原平均数相等，即平均数不变
新方差$s_2^2=\frac{(1-3)^2+(2-3)^2+(3-3)^2+(3-3)^2+(4-3)^2+(5-3)^2}{6}=\frac{4+1+0+0+1+4}{6}=\frac{5}{3}\approx1.67$，小于原方差2，即方差变小
综上，平均数不变，方差变小，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
平均数的计算；方差的计算
【点评】
本题属于基础题，核心考查平均数与方差的计算应用，只要熟练掌握两个统计量的计算公式，准确计算两组数据的对应值再进行对比，就能快速得到答案。
【难度系数】
0.8
14. 求一组数据方差的算式为 $ s^2 = \frac{1}{n} × [(8-\overline{x})^2 + (6-\overline{x})^2 + (7-\overline{x})^2 + (8-\overline{x})^2 + (6-\overline{x})^2] $. 根据算式提供的信息,下列说法错误的是 （
A.$ n $ 的值是 5
B.该组数据的平均数是 7
C.该组数据的众数是 6
D.若该组数据加入两个数 7,7,则这组新数据的方差变小
C
）A.$ n $ 的值是 5
B.该组数据的平均数是 7
C.该组数据的众数是 6
D.若该组数据加入两个数 7,7,则这组新数据的方差变小
答案
14.C
解析
【分析】
解题时首先回忆方差的计算公式：$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$，其中$n$是样本容量，$x_1,x_2\dots x_n$是原始数据，$\overline{x}$是平均数。先从给出的方差算式中提取样本容量、原始数据，再依次计算平均数、众数，验证加入新数据后方差的变化，逐一判断选项正误即可。
【解析】
1. 判断选项A：观察方差算式，其中共有5个平方项，因此样本容量$n=5$，A说法正确。
2. 提取原始数据为8、6、7、8、6，计算平均数$\overline{x}=\frac{8+6+7+8+6}{5}=\frac{35}{5}=7$，B说法正确。
3. 判断选项C：这组数据中8出现2次，6出现2次，7出现1次，因此众数是6和8，并非只有6，C说法错误。
4. 判断选项D：先计算原方差：$s^2=\frac{1}{5}[(8-7)^2+(6-7)^2+(7-7)^2+(8-7)^2+(6-7)^2]=\frac{1}{5}×(1+1+0+1+1)=0.8$。加入两个7后，新数据的平均数仍为7，新方差$s'^2=\frac{1}{7}×(4+0+0)=\frac{4}{7}\approx0.57＜0.8$，方差变小，D说法正确。
综上，说法错误的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
方差，平均数，众数
【点评】
本题考查统计基础概念的综合应用，解题关键是从方差公式中准确提取原始数据信息，再结合各统计量的定义逐一验证选项，属于统计部分的基础常考题。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆方差的计算公式：$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$，其中$n$是样本容量，$x_1,x_2\dots x_n$是原始数据，$\overline{x}$是平均数。先从给出的方差算式中提取样本容量、原始数据，再依次计算平均数、众数，验证加入新数据后方差的变化，逐一判断选项正误即可。
【解析】
1. 判断选项A：观察方差算式，其中共有5个平方项，因此样本容量$n=5$，A说法正确。
2. 提取原始数据为8、6、7、8、6，计算平均数$\overline{x}=\frac{8+6+7+8+6}{5}=\frac{35}{5}=7$，B说法正确。
3. 判断选项C：这组数据中8出现2次，6出现2次，7出现1次，因此众数是6和8，并非只有6，C说法错误。
4. 判断选项D：先计算原方差：$s^2=\frac{1}{5}[(8-7)^2+(6-7)^2+(7-7)^2+(8-7)^2+(6-7)^2]=\frac{1}{5}×(1+1+0+1+1)=0.8$。加入两个7后，新数据的平均数仍为7，新方差$s'^2=\frac{1}{7}×(4+0+0)=\frac{4}{7}\approx0.57＜0.8$，方差变小，D说法正确。
综上，说法错误的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
方差，平均数，众数
【点评】
本题考查统计基础概念的综合应用，解题关键是从方差公式中准确提取原始数据信息，再结合各统计量的定义逐一验证选项，属于统计部分的基础常考题。
【难度系数】
0.7
15. 某学校组织了以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞赛，从八、九年级学生的竞赛成绩中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（单位：分，百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用$ x $表示，共分为四组：A. $ 90≤ x≤100 $，B. $ 80≤ x＜90 $，C. $ 70≤ x＜80 $，D. $ 60≤ x＜70 $；得分90分及以上为优秀），下面给出了部分信息：
八年级20名学生的竞赛成绩是66,67,71,81,83,85,85,86,89,90,90,93,93,93,95,96,98,99,100,100.
九年级20名学生竞赛成绩在B组的数据是83,87,86,89,85,88.
八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表
| 年级 | 平均数 | 众数 | 中位数 | 方差 |
|--------|--------|------|--------|-------|
| 八年级 | 88 |
| 90 | 100.8 |
| 九年级 | 88 | 94 | $ b $ | 96 |
九年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
(1) 上述图表中$ a=\_\_\_\_\_\_ $，$ b=\_\_\_\_\_\_ $，$ m=\_\_\_\_\_\_ $.
(2) 根据以上数据，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的知识竞赛成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）.
八年级20名学生的竞赛成绩是66,67,71,81,83,85,85,86,89,90,90,93,93,93,95,96,98,99,100,100.
九年级20名学生竞赛成绩在B组的数据是83,87,86,89,85,88.
八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表
| 年级 | 平均数 | 众数 | 中位数 | 方差 |
|--------|--------|------|--------|-------|
| 八年级 | 88 |
| 90 | 100.8 || 九年级 | 88 | 94 | $ b $ | 96 |
九年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
(1) 上述图表中$ a=\_\_\_\_\_\_ $，$ b=\_\_\_\_\_\_ $，$ m=\_\_\_\_\_\_ $.
(2) 根据以上数据，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的知识竞赛成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）.
答案
15.(1)93 88.5 30
(2)九年级学生的知识竞赛成绩更好。
理由如下:两个年级学生的知识竞赛成绩的平均数相同,九年级学生的知识竞赛成绩的方差小于八年级学生的知识竞赛成绩的方差,成绩更稳定(答案不唯一)。
(2)九年级学生的知识竞赛成绩更好。
理由如下:两个年级学生的知识竞赛成绩的平均数相同,九年级学生的知识竞赛成绩的方差小于八年级学生的知识竞赛成绩的方差,成绩更稳定(答案不唯一)。
解析
【分析】
（1）求$a$：众数是一组数据中出现次数最多的数值，直接统计八年级20名学生成绩中出现次数最多的数即可得到$a$的值。求$m$：先计算九年级B组人数占总抽取人数的百分比，结合扇形统计图各分组百分比之和为100%，即可算出A组的百分比$m$。求$b$：中位数是将数据从小到大排列后，偶数个数据时为中间两个数的平均数，先确定九年级成绩排序后第10、11个数据所在的分组，再结合B组的具体数据计算得到$b$的值。
（2）比较两个年级的成绩优劣，可结合平均数、方差、众数、优秀率等统计量的意义分析，选择合理的统计量说明理由即可。
【解析】
(1) ①求$a$：观察八年级20名学生的竞赛成绩，93分共出现3次，出现次数最多，所以众数$a=93$。
②求$m$：九年级抽取的总人数是20名，B组共有6人，B组人数占比为$\frac{6}{20} × 100\% = 30\%$；由扇形统计图可知各分组占比总和为100%，因此A组占比$m\% = 1 - 10\% - 30\% - 30\% = 30\%$，即$m=30$。
③求$b$：将九年级20名学生的成绩从小到大排列，中位数为第10个和第11个成绩的平均数。经计算D组、C组总人数共8人，因此第9到14个成绩属于B组（80≤x＜90）。将B组数据从小到大排序为：83,85,86,87,88,89，可得第10个成绩是88，第11个成绩是89，因此中位数$b = \frac{88 + 89}{2} = 88.5$。
(2) 判断成绩优劣可从多个统计量角度分析：两个年级的平均成绩相同，九年级成绩的方差96小于八年级的方差100.8，方差越小说明成绩波动越小，因此九年级成绩更稳定。（理由合理即可，如九年级众数94高于八年级众数93、九年级优秀率更高等）
【答案】
(1) $\boxed{93}$；$\boxed{88.5}$；$\boxed{30}$
(2) 九年级学生的知识竞赛成绩更好。理由如下:两个年级学生的知识竞赛成绩的平均数相同,九年级学生的知识竞赛成绩的方差小于八年级学生的知识竞赛成绩的方差,成绩更稳定(答案不唯一)。
【知识点】
众数的定义；中位数的计算；方差的意义
【点评】
本题结合实际情境考查统计特征量的计算与应用，需要准确理解众数、中位数、方差等统计量的含义，能够从给出的多组数据中提取有效信息进行计算，同时要掌握利用统计量分析数据特征的方法。
【难度系数】
0.7
（1）求$a$：众数是一组数据中出现次数最多的数值，直接统计八年级20名学生成绩中出现次数最多的数即可得到$a$的值。求$m$：先计算九年级B组人数占总抽取人数的百分比，结合扇形统计图各分组百分比之和为100%，即可算出A组的百分比$m$。求$b$：中位数是将数据从小到大排列后，偶数个数据时为中间两个数的平均数，先确定九年级成绩排序后第10、11个数据所在的分组，再结合B组的具体数据计算得到$b$的值。
（2）比较两个年级的成绩优劣，可结合平均数、方差、众数、优秀率等统计量的意义分析，选择合理的统计量说明理由即可。
【解析】
(1) ①求$a$：观察八年级20名学生的竞赛成绩，93分共出现3次，出现次数最多，所以众数$a=93$。
②求$m$：九年级抽取的总人数是20名，B组共有6人，B组人数占比为$\frac{6}{20} × 100\% = 30\%$；由扇形统计图可知各分组占比总和为100%，因此A组占比$m\% = 1 - 10\% - 30\% - 30\% = 30\%$，即$m=30$。
③求$b$：将九年级20名学生的成绩从小到大排列，中位数为第10个和第11个成绩的平均数。经计算D组、C组总人数共8人，因此第9到14个成绩属于B组（80≤x＜90）。将B组数据从小到大排序为：83,85,86,87,88,89，可得第10个成绩是88，第11个成绩是89，因此中位数$b = \frac{88 + 89}{2} = 88.5$。
(2) 判断成绩优劣可从多个统计量角度分析：两个年级的平均成绩相同，九年级成绩的方差96小于八年级的方差100.8，方差越小说明成绩波动越小，因此九年级成绩更稳定。（理由合理即可，如九年级众数94高于八年级众数93、九年级优秀率更高等）
【答案】
(1) $\boxed{93}$；$\boxed{88.5}$；$\boxed{30}$
(2) 九年级学生的知识竞赛成绩更好。理由如下:两个年级学生的知识竞赛成绩的平均数相同,九年级学生的知识竞赛成绩的方差小于八年级学生的知识竞赛成绩的方差,成绩更稳定(答案不唯一)。
【知识点】
众数的定义；中位数的计算；方差的意义
【点评】
本题结合实际情境考查统计特征量的计算与应用，需要准确理解众数、中位数、方差等统计量的含义，能够从给出的多组数据中提取有效信息进行计算，同时要掌握利用统计量分析数据特征的方法。
【难度系数】
0.7
