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7. 请你举出一个生活中与众数有关的例子：
调查某班学生的鞋码(答案不唯一)
.答案
7.调查某班学生的鞋码(答案不唯一)
解析
【分析】
首先要明确众数的核心含义：众数是一组数据中出现次数最多的数据，常用于判断某类场景中出现频率最高的情形。要举相关生活例子，只需找到生活中需要统计“哪一类情况出现次数最多”的场景即可，比如商家统计哪款商品最受欢迎、学校统计某年级学生最集中的身高段、班级统计多数同学的鞋码等，这类场景统计数据时都会用到众数。
【解析】
众数是描述一组数据集中趋势的统计量，指的是一组数据里出现次数最多的数，适合用于需要了解最高频出现情况的场景。例如调查某班学生的鞋码时，我们可以通过求众数得到该班学生穿着最多的鞋码，方便统一采购运动鞋、定制鞋类配套物资，这就是典型的与众数有关的生活实例。除此以外，统计某款食品最畅销的口味、统计小区业主最常选择的快递存放点等例子均符合要求，答案不唯一。
【答案】
调查某班学生的鞋码(答案不唯一)
【知识点】
众数的概念，统计的实际应用
【点评】
这道题属于基础概念应用型考题，既考查对众数定义的掌握程度，也要求能够将数学知识和生活实际结合起来，引导大家感知数学知识在生活中的实用价值。
【难度系数】
0.8
首先要明确众数的核心含义：众数是一组数据中出现次数最多的数据，常用于判断某类场景中出现频率最高的情形。要举相关生活例子，只需找到生活中需要统计“哪一类情况出现次数最多”的场景即可，比如商家统计哪款商品最受欢迎、学校统计某年级学生最集中的身高段、班级统计多数同学的鞋码等，这类场景统计数据时都会用到众数。
【解析】
众数是描述一组数据集中趋势的统计量，指的是一组数据里出现次数最多的数，适合用于需要了解最高频出现情况的场景。例如调查某班学生的鞋码时，我们可以通过求众数得到该班学生穿着最多的鞋码，方便统一采购运动鞋、定制鞋类配套物资，这就是典型的与众数有关的生活实例。除此以外，统计某款食品最畅销的口味、统计小区业主最常选择的快递存放点等例子均符合要求，答案不唯一。
【答案】
调查某班学生的鞋码(答案不唯一)
【知识点】
众数的概念，统计的实际应用
【点评】
这道题属于基础概念应用型考题，既考查对众数定义的掌握程度，也要求能够将数学知识和生活实际结合起来，引导大家感知数学知识在生活中的实用价值。
【难度系数】
0.8
8.若一组数据为4,4,4,4,则这组数据的方差为
0
.答案
8.0
解析
【分析】
要计算一组数据的方差，首先需要求出这组数据的平均数，再根据方差的计算公式，计算每个数据与平均数的差的平方的平均值即可。观察本题给出的数据全部为4，也可结合方差的意义直接判断：方差是衡量数据波动大小的统计量，所有数据相等时数据没有波动，方差为0。
【解析】
步骤1：计算这组数据的平均数
$\bar{x}=\frac{4+4+4+4}{4}=4$
步骤2：代入方差公式计算，方差公式为$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]$（其中$n$为数据个数，$\bar{x}$为平均数）
将$n=4$，$\bar{x}=4$代入得：
$\begin{aligned}s^2&=\frac{1}{4}×[(4-4)^2+(4-4)^2+(4-4)^2+(4-4)^2]\\&=\frac{1}{4}×(0+0+0+0)\\&=0\end{aligned}$
【答案】
0
【知识点】
方差的计算，算术平均数的计算
【点评】
本题是基础计算题，主要考查方差的基本运算，牢记方差公式即可解题，也可通过规律“所有数值完全相同的一组数据方差为0”直接得出答案。
【难度系数】
0.9
要计算一组数据的方差，首先需要求出这组数据的平均数，再根据方差的计算公式，计算每个数据与平均数的差的平方的平均值即可。观察本题给出的数据全部为4，也可结合方差的意义直接判断：方差是衡量数据波动大小的统计量，所有数据相等时数据没有波动，方差为0。
【解析】
步骤1：计算这组数据的平均数
$\bar{x}=\frac{4+4+4+4}{4}=4$
步骤2：代入方差公式计算，方差公式为$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]$（其中$n$为数据个数，$\bar{x}$为平均数）
将$n=4$，$\bar{x}=4$代入得：
$\begin{aligned}s^2&=\frac{1}{4}×[(4-4)^2+(4-4)^2+(4-4)^2+(4-4)^2]\\&=\frac{1}{4}×(0+0+0+0)\\&=0\end{aligned}$
【答案】
0
【知识点】
方差的计算，算术平均数的计算
【点评】
本题是基础计算题，主要考查方差的基本运算，牢记方差公式即可解题，也可通过规律“所有数值完全相同的一组数据方差为0”直接得出答案。
【难度系数】
0.9
9.一组数据2,4,7,5,2的离差平方和是
18
.答案
9.18
解析
【分析】
要计算这组数据的离差平方和，需按照固定步骤求解：第一步先计算这组数据的平均数；第二步分别求出每个数据与平均数的差（即离差）；第三步计算每个离差的平方；最后将所有离差的平方相加，得到的结果就是离差平方和。
【解析】
1. 计算这组数据的平均数：
数据总和为 $2+4+7+5+2=20$，数据个数是5，因此平均数 $\bar{x}=20÷5=4$。
2. 分别计算每个数据的离差平方：
$2$ 对应的离差平方：$(2-4)^2=(-2)^2=4$
$4$ 对应的离差平方：$(4-4)^2=0^2=0$
$7$ 对应的离差平方：$(7-4)^2=3^2=9$
$5$ 对应的离差平方：$(5-4)^2=1^2=1$
$2$ 对应的离差平方：$(2-4)^2=(-2)^2=4$
3. 求和得到离差平方和：
$4+0+9+1+4=18$
【答案】
18
【知识点】
平均数的计算；离差平方和的计算
【点评】
本题属于统计类基础计算题，核心考查离差平方和的计算逻辑，只要牢记计算步骤，计算过程中认真仔细，即可顺利得出正确结果。
【难度系数】
0.8
要计算这组数据的离差平方和，需按照固定步骤求解：第一步先计算这组数据的平均数；第二步分别求出每个数据与平均数的差（即离差）；第三步计算每个离差的平方；最后将所有离差的平方相加，得到的结果就是离差平方和。
【解析】
1. 计算这组数据的平均数：
数据总和为 $2+4+7+5+2=20$，数据个数是5，因此平均数 $\bar{x}=20÷5=4$。
2. 分别计算每个数据的离差平方：
$2$ 对应的离差平方：$(2-4)^2=(-2)^2=4$
$4$ 对应的离差平方：$(4-4)^2=0^2=0$
$7$ 对应的离差平方：$(7-4)^2=3^2=9$
$5$ 对应的离差平方：$(5-4)^2=1^2=1$
$2$ 对应的离差平方：$(2-4)^2=(-2)^2=4$
3. 求和得到离差平方和：
$4+0+9+1+4=18$
【答案】
18
【知识点】
平均数的计算；离差平方和的计算
【点评】
本题属于统计类基础计算题，核心考查离差平方和的计算逻辑，只要牢记计算步骤，计算过程中认真仔细，即可顺利得出正确结果。
【难度系数】
0.8
10. 为准备参加中小学生机器人竞赛，某校对甲、乙两支机器人制作小队所制作的机器人分别从创意、设计、编程与制作三个方面进行量化，各项量化满分10分，根据量化结果择优推荐. 两支小队所制作的机器人三项量化得分(单位:分)如下表所示.
根据本次中小学生机器人竞赛的要求，将创意、设计、编程与制作三项量化得分按$5:$$3:2$的比例确定每队的平均分，并根据平均分择优推荐，
根据本次中小学生机器人竞赛的要求，将创意、设计、编程与制作三项量化得分按$5:$$3:2$的比例确定每队的平均分，并根据平均分择优推荐，
甲
队将被推荐参赛.答案
10.甲
解析
【分析】
本题需要根据给定的权重比例计算两队的加权平均分，再通过比较平均分大小确定推荐队伍。解题思路为：首先明确三项得分的权重占比，再根据加权平均数的计算公式分别计算甲、乙两队的最终得分，最后比较两队得分高低，得分高的队伍获得推荐。
【解析】
已知三项得分按$5:3:2$的比例确定平均分，权重总和为$5+3+2=10$。
1. 计算甲队的加权平均分：
$\overline{x}_甲=\frac{9×5 + 8×3 +7×2}{5+3+2}=\frac{45+24+14}{10}=\frac{83}{10}=8.3$（分）
2. 计算乙队的加权平均分：
$\overline{x}_乙=\frac{7×5 +9×3 +9×2}{5+3+2}=\frac{35+27+18}{10}=\frac{80}{10}=8$（分）
3. 比较得分：$8.3＞8$，甲队平均分更高。
【答案】
甲
【知识点】
加权平均数计算，大小比较
【点评】
本题是加权平均数在实际选拔场景的应用，解题核心是准确掌握加权平均数的计算方法，按照给定权重代入数据计算即可，属于基础应用类题型。
【难度系数】
0.8
本题需要根据给定的权重比例计算两队的加权平均分，再通过比较平均分大小确定推荐队伍。解题思路为：首先明确三项得分的权重占比，再根据加权平均数的计算公式分别计算甲、乙两队的最终得分，最后比较两队得分高低，得分高的队伍获得推荐。
【解析】
已知三项得分按$5:3:2$的比例确定平均分，权重总和为$5+3+2=10$。
1. 计算甲队的加权平均分：
$\overline{x}_甲=\frac{9×5 + 8×3 +7×2}{5+3+2}=\frac{45+24+14}{10}=\frac{83}{10}=8.3$（分）
2. 计算乙队的加权平均分：
$\overline{x}_乙=\frac{7×5 +9×3 +9×2}{5+3+2}=\frac{35+27+18}{10}=\frac{80}{10}=8$（分）
3. 比较得分：$8.3＞8$，甲队平均分更高。
【答案】
甲
【知识点】
加权平均数计算，大小比较
【点评】
本题是加权平均数在实际选拔场景的应用，解题核心是准确掌握加权平均数的计算方法，按照给定权重代入数据计算即可，属于基础应用类题型。
【难度系数】
0.8
11.从甲、乙两个厂家生产的同一种产品中,各抽取5件,对其使用寿命进行跟踪调查,结果如下(单位:年):
甲 4 6 6 6 8
乙 3 5 6 7 9
(1)分别求甲、乙两个厂家产品使用寿命的平均数;
(2)通过计算估计哪个厂家的产品使用寿命比较稳定.
甲 4 6 6 6 8
乙 3 5 6 7 9
(1)分别求甲、乙两个厂家产品使用寿命的平均数;
(2)通过计算估计哪个厂家的产品使用寿命比较稳定.
答案
11.解:(1)甲厂家产品使用寿命的平均数为$\frac{4+6+6+6+8}{5}=6$，
乙厂家产品使用寿命的平均数为$\frac{3+5+6+7+9}{5}=6$。
(2)甲厂家产品使用寿命的方差为$\frac{1}{5}×[(4-6)^2+(6-6)^2×3+(8-6)^2]=\frac{8}{5}$，
乙厂家产品使用寿命的方差为$\frac{1}{5}×[(3-6)^2+(5-6)^2+(6-6)^2+(7-6)^2+(9-6)^2]=4$。
$\because \frac{8}{5}＜4,\therefore$甲厂家的产品使用寿命比较稳定。
乙厂家产品使用寿命的平均数为$\frac{3+5+6+7+9}{5}=6$。
(2)甲厂家产品使用寿命的方差为$\frac{1}{5}×[(4-6)^2+(6-6)^2×3+(8-6)^2]=\frac{8}{5}$，
乙厂家产品使用寿命的方差为$\frac{1}{5}×[(3-6)^2+(5-6)^2+(6-6)^2+(7-6)^2+(9-6)^2]=4$。
$\because \frac{8}{5}＜4,\therefore$甲厂家的产品使用寿命比较稳定。
解析
【分析】
（1）求平均数可直接使用算术平均数公式：一组数据的总和除以数据的总个数。分别将甲、乙两组的5个使用寿命数据求和，再除以5，即可得到两个厂家产品使用寿命的平均数。
（2）判断数据的稳定性需要用到方差，方差越小说明数据波动越小、越稳定。先根据方差公式（每组数据与平均数差值的平方的平均数）分别计算甲、乙两组数据的方差，再比较两个方差的大小，方差较小的厂家产品使用寿命更稳定。
【解析】
(1) 根据算术平均数公式计算：
甲厂家产品使用寿命的平均数$\overline{x}_甲=\frac{4+6+6+6+8}{5}=6$
乙厂家产品使用寿命的平均数$\overline{x}_乙=\frac{3+5+6+7+9}{5}=6$
(2) 根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$计算方差：
甲的方差$s^2_甲=\frac{1}{5}×[(4-6)^2+(6-6)^2×3+(8-6)^2]=\frac{8}{5}$
乙的方差$s^2_乙=\frac{1}{5}×[(3-6)^2+(5-6)^2+(6-6)^2+(7-6)^2+(9-6)^2]=4$
$\because \frac{8}{5}＜4$，即$s^2_甲＜s^2_乙$，方差越小数据越稳定
$\therefore$甲厂家的产品使用寿命比较稳定。
【答案】
(1) 甲、乙两个厂家产品使用寿命的平均数均为6；
(2) 甲厂家的产品使用寿命比较稳定。
【知识点】
平均数的计算，方差的计算，方差的意义
【点评】
本题属于统计类基础题，核心考查平均数和方差的计算公式应用，以及方差的实际意义，只要牢记公式、计算仔细，就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
（1）求平均数可直接使用算术平均数公式：一组数据的总和除以数据的总个数。分别将甲、乙两组的5个使用寿命数据求和，再除以5，即可得到两个厂家产品使用寿命的平均数。
（2）判断数据的稳定性需要用到方差，方差越小说明数据波动越小、越稳定。先根据方差公式（每组数据与平均数差值的平方的平均数）分别计算甲、乙两组数据的方差，再比较两个方差的大小，方差较小的厂家产品使用寿命更稳定。
【解析】
(1) 根据算术平均数公式计算：
甲厂家产品使用寿命的平均数$\overline{x}_甲=\frac{4+6+6+6+8}{5}=6$
乙厂家产品使用寿命的平均数$\overline{x}_乙=\frac{3+5+6+7+9}{5}=6$
(2) 根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$计算方差：
甲的方差$s^2_甲=\frac{1}{5}×[(4-6)^2+(6-6)^2×3+(8-6)^2]=\frac{8}{5}$
乙的方差$s^2_乙=\frac{1}{5}×[(3-6)^2+(5-6)^2+(6-6)^2+(7-6)^2+(9-6)^2]=4$
$\because \frac{8}{5}＜4$，即$s^2_甲＜s^2_乙$，方差越小数据越稳定
$\therefore$甲厂家的产品使用寿命比较稳定。
【答案】
(1) 甲、乙两个厂家产品使用寿命的平均数均为6；
(2) 甲厂家的产品使用寿命比较稳定。
【知识点】
平均数的计算，方差的计算，方差的意义
【点评】
本题属于统计类基础题，核心考查平均数和方差的计算公式应用，以及方差的实际意义，只要牢记公式、计算仔细，就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
12. 某校举办校园歌手大赛，决赛中12名参赛选手的得分（单位：分，满分10分）分别为9.5,8.1,7.8,8.5,8.8,9.1,7.5,9.6,8.6,8.8,9.3,9.0. 求这组数据的四分位数$Q_{1}$，$Q_{2},Q_{3}.$
答案
12.解:将这12个数据按从小到大排列,得7.5,7.8,8.1,8.5,8.6,8.8,8.8,9.0,9.1,9.3,9.5,9.6，
中位数即第二四分位数,因此$Q_2=\frac{8.8+8.8}{2}=8.8$；
前一半数据的中位数为整组数据的第一四分位数,故$Q_1=\frac{8.1+8.5}{2}=8.3$；
后一半数据的中位数为整组数据的第三四分位数,故$Q_3=\frac{9.1+9.3}{2}=9.2$。
中位数即第二四分位数,因此$Q_2=\frac{8.8+8.8}{2}=8.8$；
前一半数据的中位数为整组数据的第一四分位数,故$Q_1=\frac{8.1+8.5}{2}=8.3$；
后一半数据的中位数为整组数据的第三四分位数,故$Q_3=\frac{9.1+9.3}{2}=9.2$。
解析
【分析】
求解四分位数的核心思路分为三步：第一步，先把所有数据按照从小到大的顺序排列，这是计算的前提；第二步，明确三个四分位数的定义：第二四分位数$Q_2$就是整组数据的中位数，第一四分位数$Q_1$是前半部分数据的中位数，第三四分位数$Q_3$是后半部分数据的中位数；第三步，观察数据总个数为偶数，所以各部分的中位数均为对应部分中间两个数的平均数，找到对应位置的数计算即可。
【解析】
首先将这12个数据按从小到大排列：7.5，7.8，8.1，8.5，8.6，8.8，8.8，9.0，9.1，9.3，9.5，9.6。
1. 计算第二四分位数$Q_2$：$Q_2$是整组数据的中位数，12个数据的中位数为第6个和第7个数据的平均数，即$Q_2=\frac{8.8+8.8}{2}=8.8$。
2. 计算第一四分位数$Q_1$：$Q_1$是前6个数据（7.5，7.8，8.1，8.5，8.6，8.8）的中位数，为前6个数据中第3个和第4个数据的平均数，即$Q_1=\frac{8.1+8.5}{2}=8.3$。
3. 计算第三四分位数$Q_3$：$Q_3$是后6个数据（8.8，9.0，9.1，9.3，9.5，9.6）的中位数，为后6个数据中第3个和第4个数据的平均数，即$Q_3=\frac{9.1+9.3}{2}=9.2$。
【答案】
$Q_1=8.3$，$Q_2=8.8$，$Q_3=9.2$
【知识点】
1. 数据排序
2. 中位数计算
3. 四分位数计算
【点评】
本题属于统计类基础题型，主要考查四分位数的计算方法，解题的关键是先准确排序数据，再按照四分位数的定义分步计算，需要注意当数据个数为偶数时，中位数为中间两个数据的平均值，避免误取单个数据导致计算错误。
【难度系数】
0.8
求解四分位数的核心思路分为三步：第一步，先把所有数据按照从小到大的顺序排列，这是计算的前提；第二步，明确三个四分位数的定义：第二四分位数$Q_2$就是整组数据的中位数，第一四分位数$Q_1$是前半部分数据的中位数，第三四分位数$Q_3$是后半部分数据的中位数；第三步，观察数据总个数为偶数，所以各部分的中位数均为对应部分中间两个数的平均数，找到对应位置的数计算即可。
【解析】
首先将这12个数据按从小到大排列：7.5，7.8，8.1，8.5，8.6，8.8，8.8，9.0，9.1，9.3，9.5，9.6。
1. 计算第二四分位数$Q_2$：$Q_2$是整组数据的中位数，12个数据的中位数为第6个和第7个数据的平均数，即$Q_2=\frac{8.8+8.8}{2}=8.8$。
2. 计算第一四分位数$Q_1$：$Q_1$是前6个数据（7.5，7.8，8.1，8.5，8.6，8.8）的中位数，为前6个数据中第3个和第4个数据的平均数，即$Q_1=\frac{8.1+8.5}{2}=8.3$。
3. 计算第三四分位数$Q_3$：$Q_3$是后6个数据（8.8，9.0，9.1，9.3，9.5，9.6）的中位数，为后6个数据中第3个和第4个数据的平均数，即$Q_3=\frac{9.1+9.3}{2}=9.2$。
【答案】
$Q_1=8.3$，$Q_2=8.8$，$Q_3=9.2$
【知识点】
1. 数据排序
2. 中位数计算
3. 四分位数计算
【点评】
本题属于统计类基础题型，主要考查四分位数的计算方法，解题的关键是先准确排序数据，再按照四分位数的定义分步计算，需要注意当数据个数为偶数时，中位数为中间两个数据的平均值，避免误取单个数据导致计算错误。
【难度系数】
0.8
