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1. 要将分式$\dfrac{2x^{2}y}{4x^{3}y}$化成最简分式，应将其分子、分母同时约去的公因式为 （
A.$2$
B.$2x$
C.$x^{2}y$
D.$2x^{2}y$
D
）A.$2$
B.$2x$
C.$x^{2}y$
D.$2x^{2}y$
答案
1.D
解析
【分析】
本题考查分式约分中公因式的确定，解题思路如下：首先回忆找公因式的两个核心步骤：第一步找分子、分母系数的最大公约数，第二步找分子、分母中共同含有的字母，相同字母取次数最低的幂，最后将系数的最大公约数和各字母的最低次幂相乘，得到的结果就是要约去的公因式，再匹配选项即可得到答案。
【解析】
确定$\dfrac{2x^{2}y}{4x^{3}y}$分子、分母的公因式步骤如下：
1. 计算系数的最大公约数：分子的系数是2，分母的系数是4，2和4的最大公约数为2；
2. 确定相同字母的最低次幂：分子和分母中都包含字母x和y，x的次数分别为2和3，最低次幂是$x^2$；y的次数都为1，最低次幂是$y$；
3. 组合得到公因式：将系数的最大公约数与相同字母的最低次幂相乘，可得公因式为$2× x^2× y=2x^2y$。
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
分式约分，公因式的确定
【点评】
本题属于基础类题目，核心考查找公因式的基本规则，熟练掌握“系数取最大公约数、相同字母取最低次幂”的方法就能快速解题。
【难度系数】
0.85
本题考查分式约分中公因式的确定，解题思路如下：首先回忆找公因式的两个核心步骤：第一步找分子、分母系数的最大公约数，第二步找分子、分母中共同含有的字母，相同字母取次数最低的幂，最后将系数的最大公约数和各字母的最低次幂相乘，得到的结果就是要约去的公因式，再匹配选项即可得到答案。
【解析】
确定$\dfrac{2x^{2}y}{4x^{3}y}$分子、分母的公因式步骤如下：
1. 计算系数的最大公约数：分子的系数是2，分母的系数是4，2和4的最大公约数为2；
2. 确定相同字母的最低次幂：分子和分母中都包含字母x和y，x的次数分别为2和3，最低次幂是$x^2$；y的次数都为1，最低次幂是$y$；
3. 组合得到公因式：将系数的最大公约数与相同字母的最低次幂相乘，可得公因式为$2× x^2× y=2x^2y$。
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
分式约分，公因式的确定
【点评】
本题属于基础类题目，核心考查找公因式的基本规则，熟练掌握“系数取最大公约数、相同字母取最低次幂”的方法就能快速解题。
【难度系数】
0.85
2. 化简$\dfrac{a+b}{b}+\dfrac{a-b}{b}$的结果是 （
A.$\dfrac{2a}{b}$
B.$0$
C.$2a$
D.$\dfrac{a}{b}$
A
）A.$\dfrac{2a}{b}$
B.$0$
C.$2a$
D.$\dfrac{a}{b}$
答案
2.A
解析
【分析】
首先观察待化简的两个分式，发现分母均为b，属于同分母分式的加法运算，可直接运用同分母分式加减法规则解题：第一步保持分母不变，将两个分式的分子相加；第二步对分子去括号、合并同类项化简，最终得到结果后对应选项即可。
【解析】
解：根据同分母分式加法法则：同分母分式相加，分母不变，分子相加，可得：
原式=$\dfrac{(a+b)+(a-b)}{b}$
对分子去括号得：$\dfrac{a+b+a-b}{b}$
合并分子中的同类项：b与$-b$抵消，$a+a=2a$，化简后得$\dfrac{2a}{b}$。
【答案】
A
【知识点】
同分母分式加减法、合并同类项
【点评】
本题属于分式运算的基础题，核心考查同分母分式的加减运算规则，计算时只要注意分子合并同类项时的符号处理，就能轻松得到正确结果。
【难度系数】
0.9
首先观察待化简的两个分式，发现分母均为b，属于同分母分式的加法运算，可直接运用同分母分式加减法规则解题：第一步保持分母不变，将两个分式的分子相加；第二步对分子去括号、合并同类项化简，最终得到结果后对应选项即可。
【解析】
解：根据同分母分式加法法则：同分母分式相加，分母不变，分子相加，可得：
原式=$\dfrac{(a+b)+(a-b)}{b}$
对分子去括号得：$\dfrac{a+b+a-b}{b}$
合并分子中的同类项：b与$-b$抵消，$a+a=2a$，化简后得$\dfrac{2a}{b}$。
【答案】
A
【知识点】
同分母分式加减法、合并同类项
【点评】
本题属于分式运算的基础题，核心考查同分母分式的加减运算规则，计算时只要注意分子合并同类项时的符号处理，就能轻松得到正确结果。
【难度系数】
0.9
3. 如果把$\dfrac{xy}{(x-2y)^2}$中的$x$与$y$都变为原来的3倍,那么这个分式的值 （
A.不变
B.变为原来的3倍
C.变为原来的$\dfrac{1}{3}$
D.变为原来的9倍
A
）A.不变
B.变为原来的3倍
C.变为原来的$\dfrac{1}{3}$
D.变为原来的9倍
答案
3.A
解析
【分析】
本题考查分式的值的变化情况，解题思路是：首先根据题意将原分式中的x、y分别替换为3x、3y，得到新的分式，再利用分式的基本性质对新分式进行化简，最后将化简结果和原分式对比，即可判断分式值的变化。
【解析】
解：将x、y都变为原来的3倍，即把原分式中的x替换为3x，y替换为3y，代入得：
新分式的分子：$3x·3y=9xy$
新分式的分母：$(3x - 2×3y)^2=(3x - 6y)^2=[3(x - 2y)]^2=9(x - 2y)^2$
因此新分式为：$\dfrac{9xy}{9(x - 2y)^2}$
根据分式的基本性质，分子分母同时除以不为0的9，约分后得：$\dfrac{xy}{(x - 2y)^2}$，和原分式完全相同，所以分式的值不变。
【答案】
A
【知识点】
1. 分式的基本性质
2. 积的乘方运算
【点评】
本题是分式相关的基础题型，核心考查对分式变形规则的掌握，解题的关键是准确替换扩大后的字母，正确化简新得到的分式即可得出结论，计算时注意不要漏乘括号内的项，避免化简出错。
【难度系数】
0.9
本题考查分式的值的变化情况，解题思路是：首先根据题意将原分式中的x、y分别替换为3x、3y，得到新的分式，再利用分式的基本性质对新分式进行化简，最后将化简结果和原分式对比，即可判断分式值的变化。
【解析】
解：将x、y都变为原来的3倍，即把原分式中的x替换为3x，y替换为3y，代入得：
新分式的分子：$3x·3y=9xy$
新分式的分母：$(3x - 2×3y)^2=(3x - 6y)^2=[3(x - 2y)]^2=9(x - 2y)^2$
因此新分式为：$\dfrac{9xy}{9(x - 2y)^2}$
根据分式的基本性质，分子分母同时除以不为0的9，约分后得：$\dfrac{xy}{(x - 2y)^2}$，和原分式完全相同，所以分式的值不变。
【答案】
A
【知识点】
1. 分式的基本性质
2. 积的乘方运算
【点评】
本题是分式相关的基础题型，核心考查对分式变形规则的掌握，解题的关键是准确替换扩大后的字母，正确化简新得到的分式即可得出结论，计算时注意不要漏乘括号内的项，避免化简出错。
【难度系数】
0.9
4. 分式方程$\frac{10}{x}=\frac{5}{x-5}$的解为 （
A.$x=5$
B.$x=10$
C.$x=15$
D.$x=20$
B
）A.$x=5$
B.$x=10$
C.$x=15$
D.$x=20$
答案
4.B
解析
【分析】
本题是分式方程求解类题目，解题思路可按三步展开：①先确定方程的最简公分母为x(x-5)，通过给方程两边同乘最简公分母，将分式方程转化为已学过的一元一次方程；②按照一元一次方程的解法步骤求出未知数的值；③对求出的未知数的值进行检验，代入最简公分母判断是否为增根，最终确定原方程的解。
【解析】
解：给分式方程两边同时乘最简公分母$x(x-5)$（需满足$x ≠ 0$且$x ≠ 5$），去分母得：
$10(x-5)=5x$
展开左边得：
$10x - 50 = 5x$
移项、合并同类项得：
$5x = 50$
系数化为1得：
$x = 10$
检验：当$x=10$时，$x(x-5)=10×(10-5)=50≠0$，因此$x=10$是原分式方程的解。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
分式方程的解法，一元一次方程求解，分式方程验根
【点评】
本题属于分式方程的基础考查题，核心考察解分式方程的标准化步骤，需特别注意解分式方程必须验根，避免误将增根当做方程的解。
【难度系数】
0.8
本题是分式方程求解类题目，解题思路可按三步展开：①先确定方程的最简公分母为x(x-5)，通过给方程两边同乘最简公分母，将分式方程转化为已学过的一元一次方程；②按照一元一次方程的解法步骤求出未知数的值；③对求出的未知数的值进行检验，代入最简公分母判断是否为增根，最终确定原方程的解。
【解析】
解：给分式方程两边同时乘最简公分母$x(x-5)$（需满足$x ≠ 0$且$x ≠ 5$），去分母得：
$10(x-5)=5x$
展开左边得：
$10x - 50 = 5x$
移项、合并同类项得：
$5x = 50$
系数化为1得：
$x = 10$
检验：当$x=10$时，$x(x-5)=10×(10-5)=50≠0$，因此$x=10$是原分式方程的解。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
分式方程的解法，一元一次方程求解，分式方程验根
【点评】
本题属于分式方程的基础考查题，核心考察解分式方程的标准化步骤，需特别注意解分式方程必须验根，避免误将增根当做方程的解。
【难度系数】
0.8
5.一项工程,甲单独做要 m h,乙单独做要 n h,两人合作 3 h 的工作量为 （
A.$ 3(m + n) $
B.$ 3(\dfrac{1}{m} + \dfrac{1}{n}) $
C.$ \dfrac{3}{m + n} $
D.$ \dfrac{3mn}{m + n} $
B
）A.$ 3(m + n) $
B.$ 3(\dfrac{1}{m} + \dfrac{1}{n}) $
C.$ \dfrac{3}{m + n} $
D.$ \dfrac{3mn}{m + n} $
答案
5.B
解析
【分析】
解这道题首先要明确工程问题的基本处理逻辑：通常将总工作量设为单位“1”，再根据“工作效率=总工作量÷单独完成工作的时间”分别求出甲、乙的工作效率，两人合作的总效率为两人效率之和，最后根据“工作量=工作效率×工作时间”计算合作3小时的工作量即可。
【解析】
解：将这项工程的总工作量看作单位“1”。
∵甲单独做要$m$ h完成，
∴甲每小时的工作效率为$\dfrac{1}{m}$；
∵乙单独做要$n$ h完成，
∴乙每小时的工作效率为$\dfrac{1}{n}$；
两人合作1小时的工作量为$\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{n}$，
则两人合作3小时的工作量为$3×(\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{n})=3(\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{n})$。
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
1.工程问题数量关系 2.列代数式
【点评】
本题是工程类基础题型，解题核心是掌握工程问题中将总工作量设为单位1的常用技巧，牢记工作效率、工作时间、工作量三者的对应关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解这道题首先要明确工程问题的基本处理逻辑：通常将总工作量设为单位“1”，再根据“工作效率=总工作量÷单独完成工作的时间”分别求出甲、乙的工作效率，两人合作的总效率为两人效率之和，最后根据“工作量=工作效率×工作时间”计算合作3小时的工作量即可。
【解析】
解：将这项工程的总工作量看作单位“1”。
∵甲单独做要$m$ h完成，
∴甲每小时的工作效率为$\dfrac{1}{m}$；
∵乙单独做要$n$ h完成，
∴乙每小时的工作效率为$\dfrac{1}{n}$；
两人合作1小时的工作量为$\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{n}$，
则两人合作3小时的工作量为$3×(\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{n})=3(\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{n})$。
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
1.工程问题数量关系 2.列代数式
【点评】
本题是工程类基础题型，解题核心是掌握工程问题中将总工作量设为单位1的常用技巧，牢记工作效率、工作时间、工作量三者的对应关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
6.[跨学科融合]某实验室的一个容器内盛有150 g食盐水，其中含盐10 g，如何处理能将该容器内食盐水含盐的百分比提高到原来的3倍？晓华根据其中的数量关系列出方程$3×\frac{10}{150}=\frac{10}{150-x}$，则未知数$x$表示 （
A.增加的水量
B.蒸发掉的水量
C.加入的食盐量
D.减少的食盐量
B
）A.增加的水量
B.蒸发掉的水量
C.加入的食盐量
D.减少的食盐量
答案
6.B
解析
【分析】
解题时先明确含盐率的计算公式：含盐率=盐的质量÷盐水总质量。要将含盐率提高到原来的3倍，通常有两种思路：一是加盐（盐的质量增加，盐水总质量同步增加），二是蒸发水（盐的质量不变，盐水总质量减少）。观察给出的方程，右边的分子仍为10，说明处理前后盐的质量没有变化，因此采用的是蒸发水的方法，分母$150-x$为蒸发后盐水的总质量，由此可推导x的含义。
【解析】
原来的含盐率为$\frac{10}{150}$，目标含盐率为$3×\frac{10}{150}$。方程右侧$\frac{10}{150-x}$中分子为10，说明盐的质量始终是10g没有变化，因此是通过蒸发水分提高含盐率，此时$150-x$表示蒸发后剩余盐水的总质量，所以$x$表示蒸发掉的水量。
A选项增加水量会降低含盐率，不符合题意；C选项加入食盐的话方程右侧分子应大于10，不符合；D选项减少食盐会降低含盐率且分子小于10，不符合。
【答案】
B
【知识点】
含盐率计算、分式方程实际意义
【点评】
本题结合溶液浓度调整的实际场景，考查对浓度公式的掌握和对方程实际意义的分析能力，解题的核心是抓住方程中不变的量判断调整浓度的方法，进而明确未知数的含义。
【难度系数】
0.7
解题时先明确含盐率的计算公式：含盐率=盐的质量÷盐水总质量。要将含盐率提高到原来的3倍，通常有两种思路：一是加盐（盐的质量增加，盐水总质量同步增加），二是蒸发水（盐的质量不变，盐水总质量减少）。观察给出的方程，右边的分子仍为10，说明处理前后盐的质量没有变化，因此采用的是蒸发水的方法，分母$150-x$为蒸发后盐水的总质量，由此可推导x的含义。
【解析】
原来的含盐率为$\frac{10}{150}$，目标含盐率为$3×\frac{10}{150}$。方程右侧$\frac{10}{150-x}$中分子为10，说明盐的质量始终是10g没有变化，因此是通过蒸发水分提高含盐率，此时$150-x$表示蒸发后剩余盐水的总质量，所以$x$表示蒸发掉的水量。
A选项增加水量会降低含盐率，不符合题意；C选项加入食盐的话方程右侧分子应大于10，不符合；D选项减少食盐会降低含盐率且分子小于10，不符合。
【答案】
B
【知识点】
含盐率计算、分式方程实际意义
【点评】
本题结合溶液浓度调整的实际场景，考查对浓度公式的掌握和对方程实际意义的分析能力，解题的核心是抓住方程中不变的量判断调整浓度的方法，进而明确未知数的含义。
【难度系数】
0.7
7. 若$\frac{x}{y}=\frac{1}{2}$，则$\frac{x-y}{x+y}$的值为________.
答案
7.$-\frac{1}{3}$
解析
【分析】
已知x与y的比值，要求分式的值，我们可以通过代换的方法求解：首先根据已知的比例关系，将y用含x的代数式表示（或设参数将x、y用同一个参数表示），再将其代入所求分式，通过约分消去未知数，即可得到分式的结果。
【解析】
方法一：代换法
∵ $\frac{x}{y}=\frac{1}{2}$，
∴ $y=2x$（$x≠0$，$y≠0$），
将$y=2x$代入$\frac{x-y}{x+y}$得：
$\frac{x-y}{x+y}=\frac{x-2x}{x+2x}=\frac{-x}{3x}=-\frac{1}{3}$。
方法二：参数法
设$x=k$，则$y=2k$（$k≠0$），
代入$\frac{x-y}{x+y}$得：
$\frac{x-y}{x+y}=\frac{k-2k}{k+2k}=\frac{-k}{3k}=-\frac{1}{3}$。
【答案】
$-\frac{1}{3}$
【知识点】
比例的性质、分式化简求值
【点评】
本题属于分式求值的基础题型，解题核心是利用已知的比例关系实现消元，无论是变量代换还是设参数的方法，本质都是将两个未知量转化为同一形式，代入后通过约分得到结果，熟练掌握这类方法可以快速解决同类型的比例求值问题。
【难度系数】
0.9
已知x与y的比值，要求分式的值，我们可以通过代换的方法求解：首先根据已知的比例关系，将y用含x的代数式表示（或设参数将x、y用同一个参数表示），再将其代入所求分式，通过约分消去未知数，即可得到分式的结果。
【解析】
方法一：代换法
∵ $\frac{x}{y}=\frac{1}{2}$，
∴ $y=2x$（$x≠0$，$y≠0$），
将$y=2x$代入$\frac{x-y}{x+y}$得：
$\frac{x-y}{x+y}=\frac{x-2x}{x+2x}=\frac{-x}{3x}=-\frac{1}{3}$。
方法二：参数法
设$x=k$，则$y=2k$（$k≠0$），
代入$\frac{x-y}{x+y}$得：
$\frac{x-y}{x+y}=\frac{k-2k}{k+2k}=\frac{-k}{3k}=-\frac{1}{3}$。
【答案】
$-\frac{1}{3}$
【知识点】
比例的性质、分式化简求值
【点评】
本题属于分式求值的基础题型，解题核心是利用已知的比例关系实现消元，无论是变量代换还是设参数的方法，本质都是将两个未知量转化为同一形式，代入后通过约分得到结果，熟练掌握这类方法可以快速解决同类型的比例求值问题。
【难度系数】
0.9
