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13.围棋起源于中国,古代称为“弈”,是棋类鼻祖,距今已有4 000多年的历史.某商家销售A,B两种材质的围棋,每套进价分别为210元、180元,近两个月的销售情况如表:
(1)求A,B两种材质的围棋每套的售价；
(2)若商家准备再采购A,B两种材质的围棋共30套,购买金额不超过5 780元,求最多能采购A种材质的围棋多少套.
(1)求A,B两种材质的围棋每套的售价；
(2)若商家准备再采购A,B两种材质的围棋共30套,购买金额不超过5 780元,求最多能采购A种材质的围棋多少套.
答案
13.解:(1)设A种材质的围棋每套的售价为x元,B种材质的围棋每套的售价为y元,
根据题意得$\begin{cases}3x+5y=1\ 800,\\4x+10y=3\ 100,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=250,\\y=210.\end{cases}$
答:A种材质的围棋每套的售价为250元,B种材质的围棋每套的售价为210元.
(2)设采购A种材质的围棋m套,则采购B种材质的围棋$(30-m)$套,
根据题意得$210m+180(30-m)≤5\ 780$,
解得$m≤\dfrac{38}{3}$.
又$\because m$为整数,
$\therefore m$的最大值为12.
答:最多能采购A种材质的围棋12套.
根据题意得$\begin{cases}3x+5y=1\ 800,\\4x+10y=3\ 100,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=250,\\y=210.\end{cases}$
答:A种材质的围棋每套的售价为250元,B种材质的围棋每套的售价为210元.
(2)设采购A种材质的围棋m套,则采购B种材质的围棋$(30-m)$套,
根据题意得$210m+180(30-m)≤5\ 780$,
解得$m≤\dfrac{38}{3}$.
又$\because m$为整数,
$\therefore m$的最大值为12.
答:最多能采购A种材质的围棋12套.
解析
【分析】
(1) 本题有A、B两种围棋售价两个未知量，可设两个未知数，结合表格中两个月的销售收入分别对应两个等量关系，列出二元一次方程组求解即可得到两种围棋的售价。
(2) 要求最多采购A种围棋的数量，可设采购A种围棋m套，则B种为(30-m)套，根据采购总金额不超过5780元的不等关系列一元一次不等式，求出解集后结合m为正整数的实际要求，取最大值即为所求。
【解析】
(1) 设A种材质的围棋每套的售价为x元，B种材质的围棋每套的售价为y元，
根据题意列方程组：
$\begin{cases}3x+5y=1\ 800\\4x+10y=3\ 100\end{cases}$
将第一个方程两边同乘2得$6x+10y=3\ 600$，减去第二个方程得$2x=500$，解得$x=250$，
将$x=250$代入$3x+5y=1\ 800$，得$750+5y=1\ 800$，解得$y=210$。
(2) 设采购A种材质的围棋m套，则采购B种材质的围棋$(30-m)$套，
根据采购金额要求列不等式：
$210m+180(30-m)≤5\ 780$
展开化简得$30m≤380$，解得$m≤\dfrac{38}{3}$，
因为m为围棋套数，必须为正整数，所以m的最大值为12。
【答案】
(1) A种材质的围棋每套售价为250元，B种材质的围棋每套售价为210元；
(2) 最多能采购A种材质的围棋12套。
【知识点】
二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用
【点评】
本题以传统围棋销售为背景，考查方程与不等式的实际应用，解题关键是准确提取表格中的数量关系，对应列出方程或不等式，同时要注意实际问题中未知数的取值需符合现实意义，是初中数学常见的应用类题型。
【难度系数】
0.7
(1) 本题有A、B两种围棋售价两个未知量，可设两个未知数，结合表格中两个月的销售收入分别对应两个等量关系，列出二元一次方程组求解即可得到两种围棋的售价。
(2) 要求最多采购A种围棋的数量，可设采购A种围棋m套，则B种为(30-m)套，根据采购总金额不超过5780元的不等关系列一元一次不等式，求出解集后结合m为正整数的实际要求，取最大值即为所求。
【解析】
(1) 设A种材质的围棋每套的售价为x元，B种材质的围棋每套的售价为y元，
根据题意列方程组：
$\begin{cases}3x+5y=1\ 800\\4x+10y=3\ 100\end{cases}$
将第一个方程两边同乘2得$6x+10y=3\ 600$，减去第二个方程得$2x=500$，解得$x=250$，
将$x=250$代入$3x+5y=1\ 800$，得$750+5y=1\ 800$，解得$y=210$。
(2) 设采购A种材质的围棋m套，则采购B种材质的围棋$(30-m)$套，
根据采购金额要求列不等式：
$210m+180(30-m)≤5\ 780$
展开化简得$30m≤380$，解得$m≤\dfrac{38}{3}$，
因为m为围棋套数，必须为正整数，所以m的最大值为12。
【答案】
(1) A种材质的围棋每套售价为250元，B种材质的围棋每套售价为210元；
(2) 最多能采购A种材质的围棋12套。
【知识点】
二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用
【点评】
本题以传统围棋销售为背景，考查方程与不等式的实际应用，解题关键是准确提取表格中的数量关系，对应列出方程或不等式，同时要注意实际问题中未知数的取值需符合现实意义，是初中数学常见的应用类题型。
【难度系数】
0.7
14.若实数2是关于x的一元一次不等式$2x - a - 2 ＜ 0$的一个解，则a的取值范围是（
A.$a＞2$
B.$a＜2$
C.$a＞4$
D.$a＞3$
A
）A.$a＞2$
B.$a＜2$
C.$a＞4$
D.$a＞3$
答案
14.A
解析
【分析】
首先明确不等式的解的定义：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。已知实数2是该一元一次不等式的解，说明将x=2代入不等式时，不等式是成立的。我们可以先代入x=2得到关于a的一元一次不等式，再解这个不等式即可求出a的取值范围。
【解析】
∵ 实数2是不等式$2x - a - 2 ＜ 0$的一个解
∴ 将$x=2$代入不等式，不等式成立，即：
$2×2 - a - 2 ＜ 0$
计算化简得：
$4 - a - 2 ＜ 0$
$2 - a ＜ 0$
移项可得：
$a ＞ 2$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 不等式的解的定义
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是理解不等式的解的含义，将已知解代入原不等式转化为关于参数的不等式求解即可，计算量小，难度较低。
【难度系数】
0.8
首先明确不等式的解的定义：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。已知实数2是该一元一次不等式的解，说明将x=2代入不等式时，不等式是成立的。我们可以先代入x=2得到关于a的一元一次不等式，再解这个不等式即可求出a的取值范围。
【解析】
∵ 实数2是不等式$2x - a - 2 ＜ 0$的一个解
∴ 将$x=2$代入不等式，不等式成立，即：
$2×2 - a - 2 ＜ 0$
计算化简得：
$4 - a - 2 ＜ 0$
$2 - a ＜ 0$
移项可得：
$a ＞ 2$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 不等式的解的定义
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是理解不等式的解的含义，将已知解代入原不等式转化为关于参数的不等式求解即可，计算量小，难度较低。
【难度系数】
0.8
15.已知一次函数$y=ax+3$与$y=bx-1$的图象如图，其交点$B$的坐标为$(-3,m)$，直线$y=bx-1$与$x$轴的交点坐标为$(-1,0)$，则下列说法正确的是（
A.方程$bx-1=0$的解是$x=-3$
B.方程组$\begin{cases} ax - y + 3 = 0, \\ bx - y + 1 = 0 \end{cases}$的解是$\begin{cases} x = -3, \\ y = m \end{cases}$
C.关于$x$的不等式$ax+3 ≥ bx-1$的解集是$x ≥ -3$
D.$bx-1＞0$的解集为$x＞-1$
C
）A.方程$bx-1=0$的解是$x=-3$
B.方程组$\begin{cases} ax - y + 3 = 0, \\ bx - y + 1 = 0 \end{cases}$的解是$\begin{cases} x = -3, \\ y = m \end{cases}$
C.关于$x$的不等式$ax+3 ≥ bx-1$的解集是$x ≥ -3$
D.$bx-1＞0$的解集为$x＞-1$
答案
15.C
解析
【分析】
解题时需结合一次函数与一元一次方程、二元一次方程组、一元一次不等式的对应关系，利用数形结合思想逐一判断选项：首先明确一次函数与x轴交点的横坐标就是对应一元一次方程的解；两个一次函数的交点坐标就是对应二元一次方程组的解；不等式的解集对应函数图象位置高低的x取值范围，再结合已知的交点坐标、直线增减性分析即可。
【解析】
已知条件整理：①直线$y=bx-1$与x轴交点为$(-1,0)$，即$x=-1$时$bx-1=0$；②两直线交点$B(-3,m)$，即$x=-3$时$ax+3=bx-1=m$。
对各选项逐一分析：
A选项：方程$bx-1=0$的解是$y=bx-1$与x轴交点的横坐标，即$x=-1$，故A错误；
B选项：将方程组变形可得$\begin{cases}y=ax+3\\y=bx+1\end{cases}$，其中第二个方程对应的函数为$y=bx+1$，和题中给出的$y=bx-1$不是同一个函数，因此该方程组的解不是两已知直线的交点坐标，故B错误；
C选项：不等式$ax+3≥bx-1$的解集，对应$y=ax+3$的图象位于$y=bx-1$图象上方（含交点）时x的取值范围。由图象可知，两直线交点横坐标为-3，且$x≥-3$时$y=ax+3$的图象在$y=bx-1$上方，因此解集为$x≥-3$，故C正确；
D选项：$bx-1＞0$对应$y=bx-1$的图象在x轴上方时x的取值范围，$y=bx-1$单调递减，与x轴交于$(-1,0)$，因此$x＜-1$时函数值大于0，解集为$x＜-1$，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
一次函数与方程（组）；一次函数与不等式；一次函数图象性质
【点评】
本题考查一次函数和方程、不等式的对应关系，核心是掌握数形结合的分析方法，通过图象的交点、增减性判断对应代数结论的正误，是一次函数章节的典型题型。
【难度系数】
0.7
解题时需结合一次函数与一元一次方程、二元一次方程组、一元一次不等式的对应关系，利用数形结合思想逐一判断选项：首先明确一次函数与x轴交点的横坐标就是对应一元一次方程的解；两个一次函数的交点坐标就是对应二元一次方程组的解；不等式的解集对应函数图象位置高低的x取值范围，再结合已知的交点坐标、直线增减性分析即可。
【解析】
已知条件整理：①直线$y=bx-1$与x轴交点为$(-1,0)$，即$x=-1$时$bx-1=0$；②两直线交点$B(-3,m)$，即$x=-3$时$ax+3=bx-1=m$。
对各选项逐一分析：
A选项：方程$bx-1=0$的解是$y=bx-1$与x轴交点的横坐标，即$x=-1$，故A错误；
B选项：将方程组变形可得$\begin{cases}y=ax+3\\y=bx+1\end{cases}$，其中第二个方程对应的函数为$y=bx+1$，和题中给出的$y=bx-1$不是同一个函数，因此该方程组的解不是两已知直线的交点坐标，故B错误；
C选项：不等式$ax+3≥bx-1$的解集，对应$y=ax+3$的图象位于$y=bx-1$图象上方（含交点）时x的取值范围。由图象可知，两直线交点横坐标为-3，且$x≥-3$时$y=ax+3$的图象在$y=bx-1$上方，因此解集为$x≥-3$，故C正确；
D选项：$bx-1＞0$对应$y=bx-1$的图象在x轴上方时x的取值范围，$y=bx-1$单调递减，与x轴交于$(-1,0)$，因此$x＜-1$时函数值大于0，解集为$x＜-1$，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
一次函数与方程（组）；一次函数与不等式；一次函数图象性质
【点评】
本题考查一次函数和方程、不等式的对应关系，核心是掌握数形结合的分析方法，通过图象的交点、增减性判断对应代数结论的正误，是一次函数章节的典型题型。
【难度系数】
0.7
16. 已知 $ a + b + c = 0 $，$ a ＜ 2b ＜ 3c $，则$\frac{c}{a}$的取值范围是________。
答案
16.$-\dfrac{3}{2}＜\dfrac{c}{a}＜-\dfrac{2}{5}$
解析
【分析】
要求$\frac{c}{a}$的取值范围，首先可利用已知$a+b+c=0$消去变量$b$，将$b=-a-c$代入不等式$a＜2b＜3c$，得到仅含$a$和$c$的不等式组；接下来需要将不等式变形为含$\frac{c}{a}$的形式，需给不等式两边同时除以$a$，因此要先判断$a$的符号：若$a≥0$，由$a＜2b＜3c$可得$b＞0$、$c＞0$，则$a+b+c＞0$，与$a+b+c=0$矛盾，故$a＜0$，除以$a$时不等号方向要改变，最后解关于$\frac{c}{a}$的不等式即可得到取值范围。
【解析】
解：$\because a+b+c=0$
$\therefore b=-a-c$
将$b=-a-c$代入$a＜2b＜3c$，可得不等式组：
$\begin{cases}a ＜ 2(-a - c) ①\\2(-a - c) ＜ 3c ②\end{cases}$
解不等式①：
$a ＜ -2a - 2c$
移项得：$3a ＜ -2c$
先判断$a$的符号：若$a≥0$，由$a＜2b＜3c$得$b＞0$，$c＞0$，则$a+b+c＞0$，与$a+b+c=0$矛盾，故$a＜0$。
不等式①两边同时除以$a$（$a＜0$，不等号变向）：
$3 ＞ -2·\frac{c}{a}$
整理得：$\frac{c}{a} ＞ -\frac{3}{2}$
解不等式②：
$-2a - 2c ＜ 3c$
移项得：$-2a ＜ 5c$
两边同时除以$a$（$a＜0$，不等号变向）：
$-2 ＞ 5·\frac{c}{a}$
整理得：$\frac{c}{a} ＜ -\frac{2}{5}$
综上，$\frac{c}{a}$的取值范围是$-\frac{3}{2}＜\frac{c}{a}＜-\frac{2}{5}$。
【答案】
$-\dfrac{3}{2}＜\dfrac{c}{a}＜-\dfrac{2}{5}$
【知识点】
1. 不等式的基本性质
2. 代入消元法
3. 代数式比值运算
【点评】
本题是不等式应用的典型题型，解题的核心是先消去多余变量，再准确判断参数的符号，避免在不等式两边除以负数时忘记改变不等号方向，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.5
要求$\frac{c}{a}$的取值范围，首先可利用已知$a+b+c=0$消去变量$b$，将$b=-a-c$代入不等式$a＜2b＜3c$，得到仅含$a$和$c$的不等式组；接下来需要将不等式变形为含$\frac{c}{a}$的形式，需给不等式两边同时除以$a$，因此要先判断$a$的符号：若$a≥0$，由$a＜2b＜3c$可得$b＞0$、$c＞0$，则$a+b+c＞0$，与$a+b+c=0$矛盾，故$a＜0$，除以$a$时不等号方向要改变，最后解关于$\frac{c}{a}$的不等式即可得到取值范围。
【解析】
解：$\because a+b+c=0$
$\therefore b=-a-c$
将$b=-a-c$代入$a＜2b＜3c$，可得不等式组：
$\begin{cases}a ＜ 2(-a - c) ①\\2(-a - c) ＜ 3c ②\end{cases}$
解不等式①：
$a ＜ -2a - 2c$
移项得：$3a ＜ -2c$
先判断$a$的符号：若$a≥0$，由$a＜2b＜3c$得$b＞0$，$c＞0$，则$a+b+c＞0$，与$a+b+c=0$矛盾，故$a＜0$。
不等式①两边同时除以$a$（$a＜0$，不等号变向）：
$3 ＞ -2·\frac{c}{a}$
整理得：$\frac{c}{a} ＞ -\frac{3}{2}$
解不等式②：
$-2a - 2c ＜ 3c$
移项得：$-2a ＜ 5c$
两边同时除以$a$（$a＜0$，不等号变向）：
$-2 ＞ 5·\frac{c}{a}$
整理得：$\frac{c}{a} ＜ -\frac{2}{5}$
综上，$\frac{c}{a}$的取值范围是$-\frac{3}{2}＜\frac{c}{a}＜-\frac{2}{5}$。
【答案】
$-\dfrac{3}{2}＜\dfrac{c}{a}＜-\dfrac{2}{5}$
【知识点】
1. 不等式的基本性质
2. 代入消元法
3. 代数式比值运算
【点评】
本题是不等式应用的典型题型，解题的核心是先消去多余变量，再准确判断参数的符号，避免在不等式两边除以负数时忘记改变不等号方向，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.5
