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17. 已知关于$ x $的不等式组$\begin{cases}x ≥ m + 2, \\-2x - 19 ≥ 4m + 31\end{cases}$无解，且关于$ y $的一元一次方程$ 4y + 1 = -m $有非负整数解，求$ m $的值.
答案
17.解:原不等式组整理得$\begin{cases} x≥m+2, \\ x≤-2m-25, \end{cases}$
由不等式组无解,得到$m+2＞-25-2m$,解得$m＞-9$.
解$4y+1=-m$,得$y=\dfrac{-1-m}{4}$.
$\because$关于$y$的一元一次方程$4y+1=-m$有非负整数解,
$\therefore \dfrac{-1-m}{4}≥0,\therefore m≤-1,\therefore -9＜m≤-1$.
$\because \dfrac{-1-m}{4}$是非负整数,$\therefore$满足条件的整数$m$的值为$-1,-5$.
由不等式组无解,得到$m+2＞-25-2m$,解得$m＞-9$.
解$4y+1=-m$,得$y=\dfrac{-1-m}{4}$.
$\because$关于$y$的一元一次方程$4y+1=-m$有非负整数解,
$\therefore \dfrac{-1-m}{4}≥0,\therefore m≤-1,\therefore -9＜m≤-1$.
$\because \dfrac{-1-m}{4}$是非负整数,$\therefore$满足条件的整数$m$的值为$-1,-5$.
解析
【分析】
解决本题需分两步结合条件推导：第一步先处理不等式组，先解出第二个不等式的解集，根据不等式组“无解”即“大于的数大于小于的数（大大小小无解）”的规律，求出m的第一个取值范围；第二步解关于y的一元一次方程，将y用含m的代数式表示，根据“非负整数解”即y≥0且y为整数，得到m的第二个取值范围，最后结合两个范围筛选出符合条件的整数m即可。
【解析】
先整理不等式组：
解不等式$-2x -19 ≥ 4m +31$，
移项得：$-2x ≥ 4m + 31 + 19$，
合并同类项得：$-2x ≥ 4m + 50$，
系数化为1（不等号方向改变）得：$x ≤ -2m -25$，
∴原不等式组可化为$\begin{cases} x≥m+2, \\ x≤-2m-25, \end{cases}$
∵不等式组无解，根据“大大小小找不到”的原则，得：
$m + 2 ＞ -2m -25$，
移项得：$m + 2m ＞ -25 -2$，
合并同类项得：$3m ＞ -27$，
系数化为1得：$m ＞ -9$。
接下来解关于y的一元一次方程$4y + 1 = -m$：
移项得：$4y = -m -1$，
系数化为1得：$y=\dfrac{-m -1}{4}$。
∵方程有非负整数解，
∴$y≥0$且y为整数，
即$\dfrac{-m -1}{4} ≥ 0$，
两边乘4得：$-m -1 ≥ 0$，
解得：$m ≤ -1$。
结合之前得到的$m ＞ -9$，可得m的取值范围为：$-9 ＜ m ≤ -1$。
又
∵$\dfrac{-m -1}{4}$为非负整数，即$-m -1$是4的非负整数倍，
在$-9 ＜ m ≤ -1$的整数中，符合条件的m为-1、-5：
当$m=-1$时，$y=\dfrac{-(-1)-1}{4}=0$，是非负整数；
当$m=-5$时，$y=\dfrac{-(-5)-1}{4}=1$，是非负整数。
【答案】
$m$的值为$\boldsymbol{-1}$和$\boldsymbol{-5}$
【知识点】
1. 一元一次不等式组的解法
2. 一元一次方程的解法
3. 不等式组无解的判定
【点评】
本题是不等式与方程的综合应用题，核心是结合解集性质推导参数的取值范围，解题时需注意不等式组无解时临界值的判断，以及非负整数解包含0的情况，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.6
解决本题需分两步结合条件推导：第一步先处理不等式组，先解出第二个不等式的解集，根据不等式组“无解”即“大于的数大于小于的数（大大小小无解）”的规律，求出m的第一个取值范围；第二步解关于y的一元一次方程，将y用含m的代数式表示，根据“非负整数解”即y≥0且y为整数，得到m的第二个取值范围，最后结合两个范围筛选出符合条件的整数m即可。
【解析】
先整理不等式组：
解不等式$-2x -19 ≥ 4m +31$，
移项得：$-2x ≥ 4m + 31 + 19$，
合并同类项得：$-2x ≥ 4m + 50$，
系数化为1（不等号方向改变）得：$x ≤ -2m -25$，
∴原不等式组可化为$\begin{cases} x≥m+2, \\ x≤-2m-25, \end{cases}$
∵不等式组无解，根据“大大小小找不到”的原则，得：
$m + 2 ＞ -2m -25$，
移项得：$m + 2m ＞ -25 -2$，
合并同类项得：$3m ＞ -27$，
系数化为1得：$m ＞ -9$。
接下来解关于y的一元一次方程$4y + 1 = -m$：
移项得：$4y = -m -1$，
系数化为1得：$y=\dfrac{-m -1}{4}$。
∵方程有非负整数解，
∴$y≥0$且y为整数，
即$\dfrac{-m -1}{4} ≥ 0$，
两边乘4得：$-m -1 ≥ 0$，
解得：$m ≤ -1$。
结合之前得到的$m ＞ -9$，可得m的取值范围为：$-9 ＜ m ≤ -1$。
又
∵$\dfrac{-m -1}{4}$为非负整数，即$-m -1$是4的非负整数倍，
在$-9 ＜ m ≤ -1$的整数中，符合条件的m为-1、-5：
当$m=-1$时，$y=\dfrac{-(-1)-1}{4}=0$，是非负整数；
当$m=-5$时，$y=\dfrac{-(-5)-1}{4}=1$，是非负整数。
【答案】
$m$的值为$\boldsymbol{-1}$和$\boldsymbol{-5}$
【知识点】
1. 一元一次不等式组的解法
2. 一元一次方程的解法
3. 不等式组无解的判定
【点评】
本题是不等式与方程的综合应用题，核心是结合解集性质推导参数的取值范围，解题时需注意不等式组无解时临界值的判断，以及非负整数解包含0的情况，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.6
18.数学项目学习小组为解决某超市的购物车从1楼到2楼的转运问题,进行了调研,并获得如下信息：
信息1
购物车的尺寸示意图如图1.为节省空间,工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列,如图2,3辆购物车叠放所形成的购物车列的长度为1.6 m
信息2
购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运.为安全起见,该超市的扶手电梯一次最多能转运24辆购物车,直立电梯一次最多能转运2列长度均为2.6 m的购物车列
如果你是项目小组成员,请根据以上信息,解答下列问题:
(1)当$n$辆购物车按图2所示的方式叠放时,形成购物车列的长度为
(2)求该超市直立电梯一次最多能转运多少辆购物车；
(3)若该超市需转运100辆购物车,使用电梯总次数为5次,则有哪几种转运方案可供选择?
信息1
购物车的尺寸示意图如图1.为节省空间,工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列,如图2,3辆购物车叠放所形成的购物车列的长度为1.6 m
信息2
购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运.为安全起见,该超市的扶手电梯一次最多能转运24辆购物车,直立电梯一次最多能转运2列长度均为2.6 m的购物车列
如果你是项目小组成员,请根据以上信息,解答下列问题:
(1)当$n$辆购物车按图2所示的方式叠放时,形成购物车列的长度为
0.2n+1
$\mathrm{m}$(用含$n$的代数式表示);(2)求该超市直立电梯一次最多能转运多少辆购物车；
(3)若该超市需转运100辆购物车,使用电梯总次数为5次,则有哪几种转运方案可供选择?
答案
18.解:(1)根据题意可知一辆购物车长1.2 m,每增加一辆购物车增加0.2 m,
$\therefore$当$n$辆购物车叠放时,购物车列长$1.2+0.2(n-1)=0.2n+1(\mathrm{m})$,
故答案为$(0.2n+1)$.
(2)$\because$该超市直立电梯一次最多能转运2列长度均为2.6 m的购物车列,
$\therefore$根据(1)可列一元一次方程,得$0.2n+1=2.6$,
整理得$0.2n=1.6$,
解得$n=8$,
$2×8=16$(辆).
答:该超市直立电梯一次最多能转运16辆购物车.
(3)设用扶手电梯转运$x$次,则用直立电梯转运$(5-x)$次,
由(2)得直立电梯一次最多可以转运16辆购物车,
根据题意列一元一次不等式组,得$\begin{cases}24x+16(5-x)≥100,\\5-x≥0,\end{cases}$解得$\dfrac{5}{2}≤x≤5$.
$\because x$为正整数,$\therefore x=3$或4或5,
$\therefore$共有3种转运方案:
①扶手电梯运3次,直立电梯运2次;
②扶手电梯运4次,直立电梯运1次;
③扶手电梯运5次.
$\therefore$当$n$辆购物车叠放时,购物车列长$1.2+0.2(n-1)=0.2n+1(\mathrm{m})$,
故答案为$(0.2n+1)$.
(2)$\because$该超市直立电梯一次最多能转运2列长度均为2.6 m的购物车列,
$\therefore$根据(1)可列一元一次方程,得$0.2n+1=2.6$,
整理得$0.2n=1.6$,
解得$n=8$,
$2×8=16$(辆).
答:该超市直立电梯一次最多能转运16辆购物车.
(3)设用扶手电梯转运$x$次,则用直立电梯转运$(5-x)$次,
由(2)得直立电梯一次最多可以转运16辆购物车,
根据题意列一元一次不等式组,得$\begin{cases}24x+16(5-x)≥100,\\5-x≥0,\end{cases}$解得$\dfrac{5}{2}≤x≤5$.
$\because x$为正整数,$\therefore x=3$或4或5,
$\therefore$共有3种转运方案:
①扶手电梯运3次,直立电梯运2次;
②扶手电梯运4次,直立电梯运1次;
③扶手电梯运5次.
解析
【分析】
(1) 先找购物车叠放的长度规律：已知1辆购物车长1.2m，每多叠放1辆购物车，总长度增加0.2m，n辆叠放时，总长度为1辆的基础长度加上(n-1)辆的增量，整理即可得到含n的代数式。
(2) 已知直立电梯可转运的单列车长为2.6m，将其代入第一问的代数式，列一元一次方程求出单列的购物车数量，再乘2（一次可运2列）即可得到直立电梯单次最大转运量。
(3) 设扶手电梯转运x次，则直立电梯转运(5-x)次，根据总转运量不少于100辆、转运次数非负列不等式组，结合x为正整数即可得到可行方案。
【解析】
(1) 由题意得，1辆购物车长度为1.2m，每增加1辆叠放的购物车，车列长度增加0.2m，因此n辆购物车叠放的长度为：
$1.2 + 0.2(n-1) = 0.2n + 1\ (\mathrm{m})$
(2) 设长度为2.6m的购物车列有$n$辆购物车，代入(1)的代数式得：
$0.2n + 1 = 2.6$
解得$0.2n=1.6$，$n=8$。
因为直立电梯一次最多可转运2列该长度的车列，因此单次最多转运$2×8=16$辆。
(3) 设使用扶手电梯转运$x$次，则使用直立电梯转运$(5-x)$次，根据题意列不等式组：
$\begin{cases}24x + 16(5-x) ≥ 100\\5-x ≥ 0\end{cases}$
解第一个不等式：$24x + 80 -16x ≥ 100$，得$8x≥20$，即$x≥2.5$；
解第二个不等式得$x≤5$。
因为$x$为正整数，所以$x$可取3、4、5，对应3种转运方案：
①扶手电梯运3次，直立电梯运2次；
②扶手电梯运4次，直立电梯运1次；
③扶手电梯运5次。
【答案】
(1) $\boldsymbol{0.2n+1}$
(2) 该超市直立电梯一次最多能转运16辆购物车。
(3) 共有3种转运方案：①扶手电梯运3次，直立电梯运2次；②扶手电梯运4次，直立电梯运1次；③扶手电梯运5次。
【知识点】
列代数式；一元一次方程的应用；一元一次不等式组的应用
【点评】
本题结合生活实际场景考查代数知识的综合应用，解题核心是先推导购物车叠放长度与数量的关系，再结合题意建立方程、不等式模型求解，需注意实际问题中变量的取值要符合现实意义。
【难度系数】
0.6
(1) 先找购物车叠放的长度规律：已知1辆购物车长1.2m，每多叠放1辆购物车，总长度增加0.2m，n辆叠放时，总长度为1辆的基础长度加上(n-1)辆的增量，整理即可得到含n的代数式。
(2) 已知直立电梯可转运的单列车长为2.6m，将其代入第一问的代数式，列一元一次方程求出单列的购物车数量，再乘2（一次可运2列）即可得到直立电梯单次最大转运量。
(3) 设扶手电梯转运x次，则直立电梯转运(5-x)次，根据总转运量不少于100辆、转运次数非负列不等式组，结合x为正整数即可得到可行方案。
【解析】
(1) 由题意得，1辆购物车长度为1.2m，每增加1辆叠放的购物车，车列长度增加0.2m，因此n辆购物车叠放的长度为：
$1.2 + 0.2(n-1) = 0.2n + 1\ (\mathrm{m})$
(2) 设长度为2.6m的购物车列有$n$辆购物车，代入(1)的代数式得：
$0.2n + 1 = 2.6$
解得$0.2n=1.6$，$n=8$。
因为直立电梯一次最多可转运2列该长度的车列，因此单次最多转运$2×8=16$辆。
(3) 设使用扶手电梯转运$x$次，则使用直立电梯转运$(5-x)$次，根据题意列不等式组：
$\begin{cases}24x + 16(5-x) ≥ 100\\5-x ≥ 0\end{cases}$
解第一个不等式：$24x + 80 -16x ≥ 100$，得$8x≥20$，即$x≥2.5$；
解第二个不等式得$x≤5$。
因为$x$为正整数，所以$x$可取3、4、5，对应3种转运方案：
①扶手电梯运3次，直立电梯运2次；
②扶手电梯运4次，直立电梯运1次；
③扶手电梯运5次。
【答案】
(1) $\boldsymbol{0.2n+1}$
(2) 该超市直立电梯一次最多能转运16辆购物车。
(3) 共有3种转运方案：①扶手电梯运3次，直立电梯运2次；②扶手电梯运4次，直立电梯运1次；③扶手电梯运5次。
【知识点】
列代数式；一元一次方程的应用；一元一次不等式组的应用
【点评】
本题结合生活实际场景考查代数知识的综合应用，解题核心是先推导购物车叠放长度与数量的关系，再结合题意建立方程、不等式模型求解，需注意实际问题中变量的取值要符合现实意义。
【难度系数】
0.6
