13. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ACB$中,$∠ ACB=90°$,$△ ABC$的角平分线$AD$,$BE$相交于点$P$,过点$P$作$PF⊥ AD$交$BC$的延长线于点$F$,交$AC$于点$H$。
(1)求$∠ APB$的度数；
(2)试说明$△ ABP≌△ FBP$；
(3)试说明$AB=AH+BD$。

13.(1)$∠ APB=135°$。
(2)因为$∠ APB=135°$,所以$∠ DPB=45°$。因为 $PF⊥ AD$,所以$∠ BPF=135°$。在$△ ABP$ 和$△ FBP$ 中,$∠ BPF=∠ BPA=135°$,$BP=BP$,$∠ ABP=∠ FBP$,所以 $△ ABP ≌ △ FBP$ (ASA)。
(3)因为 $△ ABP ≌ △ FBP$,所以$∠ F=∠ BAD$,$AP=PF$,$AB=BF$。因为$∠ BAD=∠ CAD$,所以$∠ F=∠ CAD$。在$△ APH$ 和$△ FPD$ 中,$∠ F = ∠ CAD$, $AP = PF$, $∠ APH = ∠ FPD = 90°$, 所以 $△ APH ≌ △ FPD$(ASA),所以 $AH=DF$。因为 $BF=DF+BD$,所以 $AB=AH+BD$。

【分析】
(1)求∠APB的度数时，先利用直角三角形两锐角和为90°，结合角平分线的性质算出∠PAB与∠PBA的和，再用三角形内角和为180°即可求出结果。
(2)证明△ABP≌△FBP，已知BE是角平分线可得∠ABP=∠FBP，且BP为公共边，只需再证一组对应角相等即可；结合第一问的结论∠APB=135°，由PF⊥AD可推出∠BPF=135°，即可用ASA判定全等。
(3)证明AB=AH+BD时，先由(2)的全等结论得到AB=BF、AP=PF、∠BAD=∠F，结合AD是角平分线得∠F=∠CAD，再证明△APH≌△FPD得到AH=DF，最后结合BF=DF+BD进行线段等量代换即可得证。
【解析】
(1)在$\mathrm{Rt}△ACB$中，$∠ ACB=90°$，因此$∠ BAC+∠ ABC=90°$。
因为$AD$、$BE$分别是$∠ BAC$、$∠ ABC$的角平分线，所以$∠ PAB=\frac{1}{2}∠ BAC$，$∠ PBA=\frac{1}{2}∠ ABC$，
则$∠ PAB+∠ PBA=\frac{1}{2}(∠ BAC+∠ ABC)=\frac{1}{2}×90°=45°$，
因此$∠ APB=180°-(∠ PAB+∠ PBA)=180°-45°=135°$。
(2)由(1)得$∠ APB=135°$，因此$∠ DPB=180°-135°=45°$，
因为$PF⊥ AD$，所以$∠ DPF=90°$，则$∠ BPF=∠ DPF+∠ DPB=90°+45°=135°$，
所以$∠ APB=∠ FPB$，
又因为$BE$平分$∠ ABC$，所以$∠ ABP=∠ FBP$，
在$△ ABP$和$△ FBP$中：
$\begin{cases}∠ APB=∠ FPB \\BP=BP \\∠ ABP=∠ FBP\end{cases}$
因此$△ ABP≌△ FBP(\mathrm{ASA})$。
(3)由$△ ABP≌△ FBP$可得$∠ F=∠ BAD$，$AP=PF$，$AB=BF$。
因为$AD$平分$∠ BAC$，所以$∠ BAD=∠ CAD$，因此$∠ F=∠ CAD$，
因为$PF⊥ AD$，所以$∠ APH=∠ FPD=90°$，
在$△ APH$和$△ FPD$中：
$\begin{cases}∠ PAH=∠ F \\AP=PF \\∠ APH=∠ FPD\end{cases}$
因此$△ APH≌△ FPD(\mathrm{ASA})$，所以$AH=DF$，
又因为$BF=DF+BD$，且$AB=BF$，
因此$AB=AH+BD$。
【答案】
(1)$\boldsymbol{∠ APB=135°}$；
(2)证明如上；
(3)证明如上。
【知识点】
角平分线的定义，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题三个小问层层递进，前一问的结论可直接作为后一问的解题条件，综合考察了角平分线、三角形内角和、全等三角形的相关知识，侧重锻炼逻辑推理能力和线段等量代换的数学思想。
【难度系数】
0.6