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1. 下列各式中，是分式的是 （
A.$a+b$
B.$\dfrac{a+b}{2}$
C.$\dfrac{a+b}{π}$
D.$\dfrac{1}{a+b}$
D
）A.$a+b$
B.$\dfrac{a+b}{2}$
C.$\dfrac{a+b}{π}$
D.$\dfrac{1}{a+b}$
答案
1.D
解析
【分析】
要判断哪个式子是分式，首先明确分式的定义：如果A、B是两个整式，且B中含有字母（B≠0），那么$\frac{A}{B}$就是分式，判断核心是看分母中是否含有字母，注意π是固定常数，不属于字母。我们只需逐个分析四个选项的分母是否含字母即可得出答案。
【解析】
根据分式的定义逐一判断：
选项A：$a+b$是多项式，属于整式，无分母，不是分式；
选项B：$\dfrac{a+b}{2}$的分母是2，为常数，属于整式，不是分式；
选项C：$\dfrac{a+b}{π}$的分母是$π$，$π$是圆周率，属于固定常数，因此该式属于整式，不是分式；
选项D：$\dfrac{1}{a+b}$的分母是$a+b$，含有字母，符合分式的定义，属于分式。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
分式的定义、整式判定、π为常数
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查分式的判定，易错点是容易误将π当作字母错选C选项，只要牢记分式的判断核心是分母含字母，且π是常数，就能快速准确解题。
【难度系数】
0.9
要判断哪个式子是分式，首先明确分式的定义：如果A、B是两个整式，且B中含有字母（B≠0），那么$\frac{A}{B}$就是分式，判断核心是看分母中是否含有字母，注意π是固定常数，不属于字母。我们只需逐个分析四个选项的分母是否含字母即可得出答案。
【解析】
根据分式的定义逐一判断：
选项A：$a+b$是多项式，属于整式，无分母，不是分式；
选项B：$\dfrac{a+b}{2}$的分母是2，为常数，属于整式，不是分式；
选项C：$\dfrac{a+b}{π}$的分母是$π$，$π$是圆周率，属于固定常数，因此该式属于整式，不是分式；
选项D：$\dfrac{1}{a+b}$的分母是$a+b$，含有字母，符合分式的定义，属于分式。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
分式的定义、整式判定、π为常数
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查分式的判定，易错点是容易误将π当作字母错选C选项，只要牢记分式的判断核心是分母含字母，且π是常数，就能快速准确解题。
【难度系数】
0.9
2. 若代数式$\frac{x}{x-4}$有意义，则实数$x$的取值范围是 （
A.$x=0$
B.$x=4$
C.$x≠0$
D.$x≠4$
D
）A.$x=0$
B.$x=4$
C.$x≠0$
D.$x≠4$
答案
2.D
解析
【分析】
要确定代数式有意义时实数x的取值范围，首先观察该代数式属于分式，根据分式的相关规则，分式有意义的核心前提是分母不能为0，因此我们只需要令该分式的分母不等于0，解出对应的x的取值范围，再匹配选项即可得到答案。
【解析】
解：
∵ 代数式$\frac{x}{x-4}$为分式，分式有意义的条件是分母不为0，
∴ 可得分母满足$x-4 ≠ 0$，
解不等式得$x ≠ 4$，
即实数x的取值范围是$x≠4$，对应选项为D。
【答案】
D
【知识点】
分式有意义的条件
【点评】
本题属于基础题，解题核心是牢记分式有意义时分母不为0的性质，直接列简单不等式即可求解，计算量很小，是典型的易得分题型。
【难度系数】
0.9
要确定代数式有意义时实数x的取值范围，首先观察该代数式属于分式，根据分式的相关规则，分式有意义的核心前提是分母不能为0，因此我们只需要令该分式的分母不等于0，解出对应的x的取值范围，再匹配选项即可得到答案。
【解析】
解：
∵ 代数式$\frac{x}{x-4}$为分式，分式有意义的条件是分母不为0，
∴ 可得分母满足$x-4 ≠ 0$，
解不等式得$x ≠ 4$，
即实数x的取值范围是$x≠4$，对应选项为D。
【答案】
D
【知识点】
分式有意义的条件
【点评】
本题属于基础题，解题核心是牢记分式有意义时分母不为0的性质，直接列简单不等式即可求解，计算量很小，是典型的易得分题型。
【难度系数】
0.9
3. 下列各式与分式$\frac{x-y}{x+y}$相等的是 （
A.$\frac{(x-y)+5}{(x+y)+5}$
B.$\frac{2x-y}{2x+y}$
C.$\frac{(x-y)^2}{x^2 - y^2}(x≠y)$
D.$\frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}$
C
）A.$\frac{(x-y)+5}{(x+y)+5}$
B.$\frac{2x-y}{2x+y}$
C.$\frac{(x-y)^2}{x^2 - y^2}(x≠y)$
D.$\frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}$
答案
3.C
解析
【分析】
要判断哪个选项与$\frac{x-y}{x+y}$相等，核心依据是分式的基本性质：分式的分子、分母同时乘或除以同一个不为0的整式，分式的值不变。我们可以逐一分析每个选项的变形是否符合该性质，再验证正确选项。
【解析】
根据分式的基本性质，逐一判断选项：
1. 选项A：变形为分子、分母同时加5，不属于同乘或同除同一个不为0的整式，分式的值会发生变化，因此A不符合要求；
2. 选项B：仅将分子、分母中的$x$项乘2，$y$项没有同步乘2，不符合“同乘同一个整式”的要求，分式的值改变，因此B不符合要求；
3. 选项C：先利用平方差公式对分母因式分解，$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$，题目给出条件$x≠y$，因此$x-y≠0$，将该分式的分子、分母同时除以不为0的$(x-y)$，可得：
$\frac{(x-y)^2}{x^2-y^2}=\frac{(x-y)^2}{(x+y)(x-y)}=\frac{x-y}{x+y}$，和原式相等，因此C符合要求；
4. 选项D：分子$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$，分母$x^2+y^2$没有和分子共有的公因式，无法约分化简得到原式，因此D不符合要求。
【答案】
C
【知识点】
分式的基本性质；平方差公式；分式约分
【点评】
本题考查分式的恒等变形，解题的关键是牢记分式基本性质的适用条件：必须是分子分母同乘除同一个不为0的整式，加减同一个数或整式、仅部分项乘除都会改变分式的值，约分前要注意验证公因式不为0的前提。
【难度系数】
0.7
要判断哪个选项与$\frac{x-y}{x+y}$相等，核心依据是分式的基本性质：分式的分子、分母同时乘或除以同一个不为0的整式，分式的值不变。我们可以逐一分析每个选项的变形是否符合该性质，再验证正确选项。
【解析】
根据分式的基本性质，逐一判断选项：
1. 选项A：变形为分子、分母同时加5，不属于同乘或同除同一个不为0的整式，分式的值会发生变化，因此A不符合要求；
2. 选项B：仅将分子、分母中的$x$项乘2，$y$项没有同步乘2，不符合“同乘同一个整式”的要求，分式的值改变，因此B不符合要求；
3. 选项C：先利用平方差公式对分母因式分解，$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$，题目给出条件$x≠y$，因此$x-y≠0$，将该分式的分子、分母同时除以不为0的$(x-y)$，可得：
$\frac{(x-y)^2}{x^2-y^2}=\frac{(x-y)^2}{(x+y)(x-y)}=\frac{x-y}{x+y}$，和原式相等，因此C符合要求；
4. 选项D：分子$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$，分母$x^2+y^2$没有和分子共有的公因式，无法约分化简得到原式，因此D不符合要求。
【答案】
C
【知识点】
分式的基本性质；平方差公式；分式约分
【点评】
本题考查分式的恒等变形，解题的关键是牢记分式基本性质的适用条件：必须是分子分母同乘除同一个不为0的整式，加减同一个数或整式、仅部分项乘除都会改变分式的值，约分前要注意验证公因式不为0的前提。
【难度系数】
0.7
4. 如果分式$\frac{|y|-5}{y-5}$的值为零，那么$y$的值是
-5
。答案
4.-5
解析
【分析】
要解决分式值为0的问题，首先明确分式值为0需同时满足两个核心条件：一是分子的取值为0，二是分母的取值不为0（保证分式本身有意义）。我们先通过分子为0求出y的所有可能取值，再代入分母验证，排除使分母为0的无效取值，最终就能得到正确结果。
【解析】
若分式$\frac{|y|-5}{y-5}$的值为0，需同时满足以下两个要求：
1. 分子等于0：
$|y|-5=0$
移项得$|y|=5$，根据绝对值的性质解得$y=5$或$y=-5$
2. 分母不等于0（分式有意义的前提）：
$y-5≠0$，解得$y≠5$
结合两个条件，排除不符合要求的$y=5$，因此$y=-5$
【答案】
-5
【知识点】
分式值为零的条件，绝对值的运算
【点评】
本题属于分式相关的基础易错题，解题时切忌只关注分子为0的要求，漏掉分母不为0的限制条件，否则容易误得结果为5，要牢记分式有意义是求解分式类问题的前提。
【难度系数】
0.7
要解决分式值为0的问题，首先明确分式值为0需同时满足两个核心条件：一是分子的取值为0，二是分母的取值不为0（保证分式本身有意义）。我们先通过分子为0求出y的所有可能取值，再代入分母验证，排除使分母为0的无效取值，最终就能得到正确结果。
【解析】
若分式$\frac{|y|-5}{y-5}$的值为0，需同时满足以下两个要求：
1. 分子等于0：
$|y|-5=0$
移项得$|y|=5$，根据绝对值的性质解得$y=5$或$y=-5$
2. 分母不等于0（分式有意义的前提）：
$y-5≠0$，解得$y≠5$
结合两个条件，排除不符合要求的$y=5$，因此$y=-5$
【答案】
-5
【知识点】
分式值为零的条件，绝对值的运算
【点评】
本题属于分式相关的基础易错题，解题时切忌只关注分子为0的要求，漏掉分母不为0的限制条件，否则容易误得结果为5，要牢记分式有意义是求解分式类问题的前提。
【难度系数】
0.7
5. 若分式$\frac{2x - 1}{x^2}$的值为负数，则$x$的取值范围为
$x＜\dfrac{1}{2}$且$x≠0$
。答案
5.$x＜\frac{1}{2}$且$x≠0$
解析
【分析】
要确定分式值为负数时x的取值范围，需分两步思考：首先分式要有意义，即分母不能为0；其次根据有理数除法“异号得负”的符号法则，分子和分母的符号需相反。观察分母为$x^2$，由平方数的非负性可知，分母不能为0时$x^2$一定是正数，因此只需让分子的值为负数即可，最后不要遗漏分母不为0的限制条件。
【解析】
1. 先确定分式有意义的条件：分式的分母不能为0，即$x^2 ≠ 0$，解得$x ≠ 0$，此时$x^2 ＞ 0$（非零实数的平方为正数）。
2. 要使分式的值为负数，根据“两数相除，异号得负”，分子需与分母符号相反，因为分母为正，因此分子$2x - 1 ＜ 0$。
3. 解不等式$2x - 1 ＜ 0$：移项得$2x ＜ 1$，系数化为1得$x ＜ \frac{1}{2}$。
4. 结合分式有意义的条件$x ≠ 0$，得到最终x的取值范围。
【答案】
$x＜\frac{1}{2}$且$x≠0$
【知识点】
1.分式有意义的条件
2.有理数除法符号法则
3.解一元一次不等式
【点评】
本题是分式相关的基础常考题，解题的易错点是容易忽略分母不能为0的隐含要求，做题时先保证分式有意义，再结合符号规律列不等式求解即可。
【难度系数】
0.7
要确定分式值为负数时x的取值范围，需分两步思考：首先分式要有意义，即分母不能为0；其次根据有理数除法“异号得负”的符号法则，分子和分母的符号需相反。观察分母为$x^2$，由平方数的非负性可知，分母不能为0时$x^2$一定是正数，因此只需让分子的值为负数即可，最后不要遗漏分母不为0的限制条件。
【解析】
1. 先确定分式有意义的条件：分式的分母不能为0，即$x^2 ≠ 0$，解得$x ≠ 0$，此时$x^2 ＞ 0$（非零实数的平方为正数）。
2. 要使分式的值为负数，根据“两数相除，异号得负”，分子需与分母符号相反，因为分母为正，因此分子$2x - 1 ＜ 0$。
3. 解不等式$2x - 1 ＜ 0$：移项得$2x ＜ 1$，系数化为1得$x ＜ \frac{1}{2}$。
4. 结合分式有意义的条件$x ≠ 0$，得到最终x的取值范围。
【答案】
$x＜\frac{1}{2}$且$x≠0$
【知识点】
1.分式有意义的条件
2.有理数除法符号法则
3.解一元一次不等式
【点评】
本题是分式相关的基础常考题，解题的易错点是容易忽略分母不能为0的隐含要求，做题时先保证分式有意义，再结合符号规律列不等式求解即可。
【难度系数】
0.7
6.已知$a+b=3ab$，且$ab+a+b≠0$，则$\frac{3a -7ab +3b}{a +ab +b}$的值为
$\dfrac{1}{2}$
。答案
6.$\frac{1}{2}$
解析
【分析】
观察已知条件和所求分式的结构，发现已知给出了a+b与ab的等量关系，而所求分式的分子和分母都可以整理为含a+b和ab的整体形式，因此可采用整体代入的方法，将a+b替换为3ab，代入后消去ab即可求出分式的值，不需要单独求解a、b的具体数值。
【解析】
首先对所求分式的分子、分母变形，凑出a+b的整体：
分子：$3a -7ab +3b = 3(a+b) -7ab$
分母：$a +ab +b = (a+b) +ab$
已知$a+b=3ab$，将其代入分子和分母中：
分子$=3×3ab -7ab = 9ab -7ab = 2ab$
分母$=3ab +ab = 4ab$
由题设$ab+a+b≠0$，即$4ab≠0$，因此$ab≠0$，可以将分子分母的ab约去：
原式$=\frac{2ab}{4ab}=\frac{1}{2}$
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
整体代入法，分式化简，代数式求值
【点评】
本题考查代数式的化简求值，核心是运用整体代入的思想，无需计算a、b的具体值，只需将已知条件作为整体代入变形后的分式即可快速求解，能有效简化计算过程。
【难度系数】
0.7
观察已知条件和所求分式的结构，发现已知给出了a+b与ab的等量关系，而所求分式的分子和分母都可以整理为含a+b和ab的整体形式，因此可采用整体代入的方法，将a+b替换为3ab，代入后消去ab即可求出分式的值，不需要单独求解a、b的具体数值。
【解析】
首先对所求分式的分子、分母变形，凑出a+b的整体：
分子：$3a -7ab +3b = 3(a+b) -7ab$
分母：$a +ab +b = (a+b) +ab$
已知$a+b=3ab$，将其代入分子和分母中：
分子$=3×3ab -7ab = 9ab -7ab = 2ab$
分母$=3ab +ab = 4ab$
由题设$ab+a+b≠0$，即$4ab≠0$，因此$ab≠0$，可以将分子分母的ab约去：
原式$=\frac{2ab}{4ab}=\frac{1}{2}$
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
整体代入法，分式化简，代数式求值
【点评】
本题考查代数式的化简求值，核心是运用整体代入的思想，无需计算a、b的具体值，只需将已知条件作为整体代入变形后的分式即可快速求解，能有效简化计算过程。
【难度系数】
0.7
7. 化简下列分式：
(1) $\frac{-21a^3bc}{56a^2b^{10}d}$；
(2)
(1) $\frac{-21a^3bc}{56a^2b^{10}d}$；
(2)
答案
7.解:(1)原式$=-\dfrac{3ac}{8b^{9}d}$。
(2)原式$=\dfrac{(a+4)(a-4)}{(a+4)^2}=\dfrac{a-4}{a+4}$。
(2)原式$=\dfrac{(a+4)(a-4)}{(a+4)^2}=\dfrac{a-4}{a+4}$。
解析
【分析】
分式化简的核心是利用分式的基本性质约去分子分母的公因式，最终得到最简分式：
1. 对于第(1)小题的单项式分式，先确定结果的符号，再分别找分子分母系数的最大公约数、相同字母的最低次幂，组成公因式后约去即可；
2. 对于第(2)小题的多项式分式，先分别对分子、分母用公式法因式分解，再找出公因式约去即可，注意隐含分母不为0的条件。
【解析】
(1) 先确定符号为负，再对系数、相同字母分别约分：
原式$=-\dfrac{7a^2b · 3ac}{7a^2b · 8b^9d}=-\dfrac{3ac}{8b^9d}$
(2) 先对分子、分母因式分解：
分子$a^2-16$符合平方差公式，分解为$(a+4)(a-4)$；
分母$a^2+8a+16$符合完全平方公式，分解为$(a+4)^2$；
约去公因式$(a+4)$（$a≠-4$），得：
原式$=\dfrac{(a+4)(a-4)}{(a+4)^2}=\dfrac{a-4}{a+4}$
【答案】
(1) $-\dfrac{3ac}{8b^{9}d}$；(2) $\dfrac{a-4}{a+4}$
【知识点】
分式的基本性质，公式法因式分解，分式约分
【点评】
本题是分式化简的基础题型，既考查了单项式分式的约分方法，也考查了利用平方差、完全平方公式对多项式因式分解后再约分的思路，是后续分式运算的重要基础，计算时要注意符号处理和公因式的准确判断。
【难度系数】
0.8
分式化简的核心是利用分式的基本性质约去分子分母的公因式，最终得到最简分式：
1. 对于第(1)小题的单项式分式，先确定结果的符号，再分别找分子分母系数的最大公约数、相同字母的最低次幂，组成公因式后约去即可；
2. 对于第(2)小题的多项式分式，先分别对分子、分母用公式法因式分解，再找出公因式约去即可，注意隐含分母不为0的条件。
【解析】
(1) 先确定符号为负，再对系数、相同字母分别约分：
原式$=-\dfrac{7a^2b · 3ac}{7a^2b · 8b^9d}=-\dfrac{3ac}{8b^9d}$
(2) 先对分子、分母因式分解：
分子$a^2-16$符合平方差公式，分解为$(a+4)(a-4)$；
分母$a^2+8a+16$符合完全平方公式，分解为$(a+4)^2$；
约去公因式$(a+4)$（$a≠-4$），得：
原式$=\dfrac{(a+4)(a-4)}{(a+4)^2}=\dfrac{a-4}{a+4}$
【答案】
(1) $-\dfrac{3ac}{8b^{9}d}$；(2) $\dfrac{a-4}{a+4}$
【知识点】
分式的基本性质，公式法因式分解，分式约分
【点评】
本题是分式化简的基础题型，既考查了单项式分式的约分方法，也考查了利用平方差、完全平方公式对多项式因式分解后再约分的思路，是后续分式运算的重要基础，计算时要注意符号处理和公因式的准确判断。
【难度系数】
0.8
