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【提出问题】
(1)设该商店购进甲型平板电脑$x$台,请写出全部售出后该商店获利$y$与$x$之间的函数关系式。
(2)若该商店采购两种平板电脑的总费用不超过39 200元,全部售出所获利润不低于8 500元,请设计出所有采购方案,并求出使商店获得最大利润的采购方案及最大利润。
解:(1)根据总利润等于每台电脑的利润乘台数列出函数关系式$y=(2000-1600)x+(3000-2500)(20-x)=-100x+10000$即可。
(2)根据题意列不等式组$\begin{cases}1600x+2500(20-x)≤39200,\\-100x+10000≥8500,\end{cases}$求出解集,根据解集即可得到四种采购方案:①购进甲型电脑12台,乙型电脑8台;②购进甲型电脑13台,乙型电脑7台;③购进甲型电脑14台,乙型电脑6台;④购进甲型电脑15台,乙型电脑5台。由(1)的函数关系式得到当$x$取最小值时,$y$有最大值。将$x=12$代入函数关系式即可求出结果。
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(1)设该商店购进甲型平板电脑$x$台,请写出全部售出后该商店获利$y$与$x$之间的函数关系式。
(2)若该商店采购两种平板电脑的总费用不超过39 200元,全部售出所获利润不低于8 500元,请设计出所有采购方案,并求出使商店获得最大利润的采购方案及最大利润。
解:(1)根据总利润等于每台电脑的利润乘台数列出函数关系式$y=(2000-1600)x+(3000-2500)(20-x)=-100x+10000$即可。
(2)根据题意列不等式组$\begin{cases}1600x+2500(20-x)≤39200,\\-100x+10000≥8500,\end{cases}$求出解集,根据解集即可得到四种采购方案:①购进甲型电脑12台,乙型电脑8台;②购进甲型电脑13台,乙型电脑7台;③购进甲型电脑14台,乙型电脑6台;④购进甲型电脑15台,乙型电脑5台。由(1)的函数关系式得到当$x$取最小值时,$y$有最大值。将$x=12$代入函数关系式即可求出结果。
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答案
解：(1) 由题意得，乙型平板电脑的数量为$(20-x)$台，
$y=(2000-1600)x+(3000-2500)(20-x)$
$=400x+500(20-x)$
$=-100x+10000$
即获利$y$与$x$的函数关系式为$y=-100x+10000$（$0≤ x≤20$，且$x$为整数）。
(2) 根据题意列不等式组：
$\begin{cases}1600x+2500(20-x)≤39200\\-100x+10000≥8500\end{cases}$
解第一个不等式：
$1600x+50000-2500x≤39200$
$-900x≤-10800$
$x≥12$
解第二个不等式：
$-100x≥-1500$
$x≤15$
可得不等式组的解集为$12≤ x≤15$，
因为$x$为正整数，所以$x$的取值为12、13、14、15，对应的采购方案共4种：
方案①：购进甲型平板电脑12台，乙型平板电脑8台；
方案②：购进甲型平板电脑13台，乙型平板电脑7台；
方案③：购进甲型平板电脑14台，乙型平板电脑6台；
方案④：购进甲型平板电脑15台，乙型平板电脑5台。
在函数$y=-100x+10000$中，$k=-100＜0$，$y$随$x$的增大而减小，
因此当$x=12$时，$y$取得最大值，
代入得$y=-100×12+10000=8800$。
答：所有采购方案共4种，分别为购进甲型12台乙型8台、购进甲型13台乙型7台、购进甲型14台乙型6台、购进甲型15台乙型5台；其中购进甲型平板电脑12台，乙型平板电脑8台时商店获得最大利润，最大利润为8800元。
$y=(2000-1600)x+(3000-2500)(20-x)$
$=400x+500(20-x)$
$=-100x+10000$
即获利$y$与$x$的函数关系式为$y=-100x+10000$（$0≤ x≤20$，且$x$为整数）。
(2) 根据题意列不等式组：
$\begin{cases}1600x+2500(20-x)≤39200\\-100x+10000≥8500\end{cases}$
解第一个不等式：
$1600x+50000-2500x≤39200$
$-900x≤-10800$
$x≥12$
解第二个不等式：
$-100x≥-1500$
$x≤15$
可得不等式组的解集为$12≤ x≤15$，
因为$x$为正整数，所以$x$的取值为12、13、14、15，对应的采购方案共4种：
方案①：购进甲型平板电脑12台，乙型平板电脑8台；
方案②：购进甲型平板电脑13台，乙型平板电脑7台；
方案③：购进甲型平板电脑14台，乙型平板电脑6台；
方案④：购进甲型平板电脑15台，乙型平板电脑5台。
在函数$y=-100x+10000$中，$k=-100＜0$，$y$随$x$的增大而减小，
因此当$x=12$时，$y$取得最大值，
代入得$y=-100×12+10000=8800$。
答：所有采购方案共4种，分别为购进甲型12台乙型8台、购进甲型13台乙型7台、购进甲型14台乙型6台、购进甲型15台乙型5台；其中购进甲型平板电脑12台，乙型平板电脑8台时商店获得最大利润，最大利润为8800元。
解析
【分析】
(1) 求解利润与购进甲型平板数量的函数关系，首先明确总利润=甲型单台利润×甲型数量+乙型单台利润×乙型数量，已知总采购量为20台，所以乙型数量为(20-x)台，代入对应利润列式化简即可得到函数关系式。
(2) 要设计采购方案，需根据“总费用不超过39200元”“总利润不低于8500元”两个限制条件，列出关于x的一元一次不等式组，解不等式组得到x的取值范围，结合x为正整数即可得到所有可行方案；再根据一次函数的增减性，判断x取何值时利润y最大，代入计算即可得到最大利润。
【解析】
(1) 由题意可知，一共采购20台平板电脑，购进甲型平板电脑$x$台，则乙型平板电脑的数量为$(20-x)$台。
单台甲型平板利润为$2000-1600=400$元，单台乙型平板利润为$3000-2500=500$元，
因此总利润$y=400x+500(20-x)$
化简得：$y=-100x+10000$（$0≤x≤20$，且$x$为整数）。
(2) 根据题意列不等式组：
$\begin{cases}1600x+2500(20-x)≤39200\\-100x+10000≥8500\end{cases}$
解第一个不等式：
$1600x+50000-2500x≤39200$
合并同类项得：$-900x≤-10800$
两边同时除以$-900$，不等号方向改变，得：$x≥12$
解第二个不等式：
$-100x≥-1500$
两边同时除以$-100$，不等号方向改变，得：$x≤15$
因此不等式组的解集为$12≤x≤15$，
因为$x$为正整数，所以$x$的取值为12、13、14、15，对应4种采购方案：
方案①：购进甲型平板电脑12台，乙型平板电脑8台；
方案②：购进甲型平板电脑13台，乙型平板电脑7台；
方案③：购进甲型平板电脑14台，乙型平板电脑6台；
方案④：购进甲型平板电脑15台，乙型平板电脑5台。
在一次函数$y=-100x+10000$中，$k=-100＜0$，因此$y$随$x$的增大而减小，
所以当$x$取最小值12时，$y$取得最大值，
代入计算得：$y=-100×12+10000=8800$元。
【答案】
(1) $y=-100x+10000$（$0≤x≤20$，且$x$为整数）；
(2) 共有4种采购方案：①购进甲型12台，乙型8台；②购进甲型13台，乙型7台；③购进甲型14台，乙型6台；④购进甲型15台，乙型5台；购进甲型平板电脑12台、乙型平板电脑8台时商店获得最大利润，最大利润为8800元。
【知识点】
一次函数应用，一元一次不等式组应用，最优方案设计
【点评】
本题结合生活实际，将一次函数与一元一次不等式组结合考查，解题时需先准确梳理题目中的数量关系，正确列出函数关系式和不等式组，再结合一次函数的增减性判断最优方案，能有效锻炼学生将数学知识应用到实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 求解利润与购进甲型平板数量的函数关系，首先明确总利润=甲型单台利润×甲型数量+乙型单台利润×乙型数量，已知总采购量为20台，所以乙型数量为(20-x)台，代入对应利润列式化简即可得到函数关系式。
(2) 要设计采购方案，需根据“总费用不超过39200元”“总利润不低于8500元”两个限制条件，列出关于x的一元一次不等式组，解不等式组得到x的取值范围，结合x为正整数即可得到所有可行方案；再根据一次函数的增减性，判断x取何值时利润y最大，代入计算即可得到最大利润。
【解析】
(1) 由题意可知，一共采购20台平板电脑，购进甲型平板电脑$x$台，则乙型平板电脑的数量为$(20-x)$台。
单台甲型平板利润为$2000-1600=400$元，单台乙型平板利润为$3000-2500=500$元，
因此总利润$y=400x+500(20-x)$
化简得：$y=-100x+10000$（$0≤x≤20$，且$x$为整数）。
(2) 根据题意列不等式组：
$\begin{cases}1600x+2500(20-x)≤39200\\-100x+10000≥8500\end{cases}$
解第一个不等式：
$1600x+50000-2500x≤39200$
合并同类项得：$-900x≤-10800$
两边同时除以$-900$，不等号方向改变，得：$x≥12$
解第二个不等式：
$-100x≥-1500$
两边同时除以$-100$，不等号方向改变，得：$x≤15$
因此不等式组的解集为$12≤x≤15$，
因为$x$为正整数，所以$x$的取值为12、13、14、15，对应4种采购方案：
方案①：购进甲型平板电脑12台，乙型平板电脑8台；
方案②：购进甲型平板电脑13台，乙型平板电脑7台；
方案③：购进甲型平板电脑14台，乙型平板电脑6台；
方案④：购进甲型平板电脑15台，乙型平板电脑5台。
在一次函数$y=-100x+10000$中，$k=-100＜0$，因此$y$随$x$的增大而减小，
所以当$x$取最小值12时，$y$取得最大值，
代入计算得：$y=-100×12+10000=8800$元。
【答案】
(1) $y=-100x+10000$（$0≤x≤20$，且$x$为整数）；
(2) 共有4种采购方案：①购进甲型12台，乙型8台；②购进甲型13台，乙型7台；③购进甲型14台，乙型6台；④购进甲型15台，乙型5台；购进甲型平板电脑12台、乙型平板电脑8台时商店获得最大利润，最大利润为8800元。
【知识点】
一次函数应用，一元一次不等式组应用，最优方案设计
【点评】
本题结合生活实际，将一次函数与一元一次不等式组结合考查，解题时需先准确梳理题目中的数量关系，正确列出函数关系式和不等式组，再结合一次函数的增减性判断最优方案，能有效锻炼学生将数学知识应用到实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
