1. (2024·广元)如图①,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,点$P$从点$A$出发沿$A\to C\to B$以$1\ \mathrm{cm/s}$的速度匀速运动至点$B$,图②是点$P$运动时,$△ ABP$的面积$y(\mathrm{cm}^2)$随时间$x(\mathrm{s})$变化的函数图象,则该三角形的斜边$AB$的长为（）

A.5
B.7
C.$3\sqrt{2}$
D.$2\sqrt{3}$

1.A

2. 如图,直线 $y=kx+6$ 分别与 $x$ 轴,$y$ 轴交于点 $E,F$,已知点 $E$ 的坐标为$(-8,0)$,点 $A$ 的坐标为$(-6,0)$.
(1)求 $k$ 的值;
(2)若 $P(x,y)$ 是该直线上的一个动点,当$△ OPA$ 的面积为 27 时,求点 $P$ 的坐标.

2.解:(1)
∵直线$y=kx+6$过点$E(-8,0)$,
∴$-8k+6=0$,解得$k=\frac{3}{4}$.
(2)由(1)知直线$EF$的函数表达式为$y=\frac{3}{4}x+6$.
∵$P(x,y)$是该直线上的一个动点,
∴$y=\frac{3}{4}x+6$.
又
∵$A(-6,0)$,
∴$OA=6$,
∴$S_{△ OPA}=\frac{1}{2}OA·|y|=\frac{1}{2}×6×\left|\frac{3}{4}x+6\right|=27$,
解得$x=-20$或$x=4$,
∴点$P$的坐标为$(-20,-9)$或$(4,9)$.

3. 如图,在平面直角坐标系$xOy$中,正比例函数$y=\dfrac{4}{3}x$与一次函数$y=-x+7$的图象交于点$A$.
(1)求点$A$的坐标;
(2)在$y$轴上确定点$M$,使得$△ AOM$是等腰三角形,请直接写出点$M$的坐标;
(3)设$x$轴上有一点$P(a,0)$,过点$P$作$x$轴的垂线(垂线位于点$A$的右侧),分别交函数$y=\dfrac{4}{3}x$和$y=-x+7$的图象于点$B$,$C$,连接$OC$,若$BC=\dfrac{14}{5}OA$,求$△ ABC$的面积及点$B$,$C$的坐标;

(4)在(3)的条件下,设直线$y=-x+7$交$x$轴于点$D$,在直线$BC$上确定点$E$,使得$△ ADE$的周长最小,请直接写出点$E$的坐标.

3.解:(1)联立$\begin{cases}y=\dfrac{4}{3}x,\\y=-x+7,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=3,\\y=4,\end{cases}$
则点$A$的坐标为$(3,4)$.
(2)根据勾股定理,得$OA=\sqrt{3^2+4^2}=5$,
如答图①所示,分四种情况:
当$OM_1=OA=5$时,$M_1(0,5)$;
当$OM_2=OA=5$时,$M_2(0,-5)$;
当$AM_3=OA=5$时,$M_3(0,8)$;
当$OM_4=AM_4$时,$M_4(0,\frac{25}{8})$.
综上,点$M$的坐标为$(0,5),(0,-5),(0,8),(0,\frac{25}{8})$.
(3)设点$B(a,\frac{4}{3}a),C(a,-a+7)$,
∵$BC=\frac{14}{5}OA=\frac{14}{5}×5=14$,
∴$\frac{4}{3}a-(-a+7)=14$,解得$a=9$.
过点$A$作$AQ⊥ BC$,如答图②所示,
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC· AQ=\frac{1}{2}×14×(9-3)=42$.
当$a=9$时,$\frac{4}{3}a=\frac{4}{3}×9=12,-a+7=-9+7=-2$,
∴$B(9,12),C(9,-2)$.

(4)如答图③,作点$D$关于直线$BC$的对称点$D'$,连接$AD'$,与直线$BC$交于点$E$,连接$DE$,此时$△ ADE$的周长最小,对于直线$y=-x+7$,令$y=0$,得$x=7$,即$D(7,0)$.
由(3)得直线$BC$的函数表达式为$x=9$,
∴$D'(11,0)$.
设直线$AD'$的函数表达式为$y=kx+b$,
将$A(3,4),D'(11,0)$代入,得$\begin{cases}3k+b=4,\\11k+b=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-\dfrac{1}{2},\\b=\dfrac{11}{2},\end{cases}$
∴直线$AD'$的函数表达式为$y=-\frac{1}{2}x+\frac{11}{2}$.
令$x=9$,得$y=1$,
∴点$E$的坐标为$(9,1)$.