4. (2024·连云港期末) 如图,在平面直角坐标系中,长方形 $ABCD$ 的边 $AB$ 在 $x$ 轴的正半轴上,点 $D$ 和点 $B$ 的坐标分别为 $(4,3),(10,0)$, 过点 $D$ 的正比例函数 $y=kx$ 的图象上有一点 $P$, 使得 $D$ 为 $OP$ 的中点. 将 $y=kx$ 的图象沿 $y$ 轴向下平移得到 $y=kx+b$ 的图象. 若点 $P$ 落在长方形 $ABCD$ 的内部, 则 $b$ 的取值范围是.

4.$-6＜b＜-3$

5. 如图,在平面直角坐标系中,直线$m\colon y=kx$过原点,直线$n\colon y=\dfrac{1}{2}x+4$与$y$轴交于点$A$,与直线$m$交于点$B(8,8)$.$x$轴上一点$P(t,0)$从原点出发沿$x$轴向右运动,过点$P$作直线$PM⊥$$x$轴,分别交直线$m,n$于点$M,N$,连接$ON$.
(1)求$k$的值;
(2)当$0≤ t≤ 8$时,用含$t$的代数式表示$△ OMN$的面积.

5.解:(1)将$B(8,8)$代入$y=kx$,得$8=8k$,$\therefore k=1$.
(2)由(1)得直线$m:y=x$,又$PM⊥ x$轴,
$\therefore M(t,t),N(t,\frac{1}{2}t+4)$,$\therefore NM=\frac{1}{2}t+4-t=4-\frac{1}{2}t$,
$\therefore S_{△ OMN}=\frac{1}{2}MN· OP=\frac{1}{2}(4-\frac{t}{2})· t=2t-\frac{1}{4}t^2$.