1. 用白铁皮制作罐头盒，每张铁皮可制盒身25个或盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒.现有36张白铁皮，设用x张制盒身，y张制盒底，恰好配套制成罐头盒，则下列方程组中，符合题意的是（）

A.$\begin{cases} x + y = 36, \\ y = 2x \end{cases}$
B.$\begin{cases} x + y = 36, \\ x = 2y \end{cases}$
C.$\begin{cases} x + y = 36, \\ 2 × 25x = 40y \end{cases}$
D.$\begin{cases} x + y = 36, \\ 25x = 2 × 40y \end{cases}$

C

首先根据铁皮总张数为36，可得第一个等量关系：制作盒身的铁皮张数+制作盒底的铁皮张数=36，即$x+y=36$。
再计算对应产量：x张铁皮可制盒身共$25x$个，y张铁皮可制盒底共$40y$个，根据1个盒身和2个盒底恰好配套，可知盒底总数量是盒身总数量的2倍，即$2×25x=40y$。
联立两个方程得到的方程组和选项C一致。

2.校团委开展以“我爱读书”为主题的演讲比赛活动，为奖励表现突出的学生，计划拿出200元钱全部用于购买单价分别为8元和10元的两种笔记本(两种都要购买)作为奖品，则购买方案有()

A.5种
B.4种
C.3种
D.2种

B

设购买单价为8元的笔记本x本，单价为10元的笔记本y本，其中x、y均为正整数。根据总费用为200元列方程得：$8x + 10y = 200$，化简得$4x + 5y = 100$，变形得$x=\frac{100-5y}{4}$。结合x、y均为正整数，可得$100-5y＞0$且能被4整除，即y为4的正整数倍且$y＜20$。符合条件的y的取值为4、8、12、16，对应x的取值为20、15、10、5，共4组正整数解，即有4种购买方案。

3.用8块相同的小长方形地砖拼成一块大长方形地砖，地砖的拼放方式及相关数据如图所示.通过计算可得每块小长方形地砖的长为 cm，宽为 cm.

45；15

设每块小长方形地砖的长为$ x \, \mathrm{cm} $，宽为$ y \, \mathrm{cm} $。
根据图形中的等量关系可列二元一次方程组：
$\begin{cases}x + y = 60 \\x = 3y\end{cases}$
将第二个方程代入第一个方程，得$ 3y + y = 60 $，解得$ y = 15 $，
把$ y=15 $代入$ x=3y $，得$ x = 45 $。
即每块小长方形地砖的长为45cm，宽为15cm。

4. 在解关于 $ x,y $ 的二元一次方程组 $ \begin{cases} 6x + my = 3, \mathrm{①} \\ 2x + ny = -6 \mathrm{②} \end{cases} $ 时，如果①+②可直接消去未知数 $ y $，那么 $ m $ 和 $ n $ 满足的条件是 $\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad}$。

$m + n = 0$（或$m$与$n$互为相反数）

将方程①和方程②相加，可得$8x + (m + n)y = -3$。由相加后可直接消去未知数$y$，可知相加后$y$的系数为0，因此$m + n = 0$。

5.如图,某校的饮水机有温水、开水两个按钮,温水和开水共用一个出水口.温水的温度为$30\ °\mathrm{C}$,流速为$20\ \mathrm{mL/s}$;开水的温度为$100\ °\mathrm{C}$,流速为$15\ \mathrm{mL/s}$.某学生先接了一会儿温水,又接了一会儿开水,得到一杯$280\ \mathrm{mL}$的温度为$60\ °\mathrm{C}$的水(不计热损失),求该学生分别接温水和开水的时间.

物理常识
开水和温水混合时会发生热传递,开水放出的热量等于温水吸收的热量,可以转化为开水的体积$×$开水降低的温度$=$温水的体积$×$温水升高的温度.

该学生接温水的时间为8秒，接开水的时间为8秒。

设该学生接温水的时间为$x$秒，接开水的时间为$y$秒。
1. 根据最终得到的水总体积为280mL，可得方程：$20x + 15y = 280$。
2. 根据题目给出的热平衡等量关系：开水温度从100℃降到60℃，降低了$100-60=40\ °\mathrm{C}$；温水温度从30℃升到60℃，升高了$60-30=30\ °\mathrm{C}$，因此可得方程：$15y × 40 = 20x × 30$。
3. 化简第二个方程得$600y=600x$，即$x=y$，将$x=y$代入第一个方程：
$20x +15x =280$，解得$x=8$，因此$y=8$，验证可知结果符合所有条件。