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1.甲、乙两人各买了相同数量的信封和信笺，甲每发出一封信用1张信笺，乙每发出一封信用3张信笺，结果甲用掉了所有的信封，但余下50张信笺，而乙用掉了所有的信笺，但余下50个信封.甲、乙两人买的信笺张数、信封个数分别为()
A.150，100
B.125，75
C.120，70
D.100，150
A.150，100
B.125，75
C.120，70
D.100，150
答案
A
解析
设甲、乙两人每人买的信封个数为$x$，信笺张数为$y$。
根据甲的使用情况：甲用完所有信封，剩50张信笺，可得$y = x + 50$；
根据乙的使用情况：乙用完所有信笺，剩50个信封，乙用掉的信封数为$x-50$，每封用3张信笺，可得$y = 3(x-50)$。
联立两个方程：
$\begin{cases}y = x + 50 \\y = 3(x - 50)\end{cases}$
将第一个方程代入第二个方程：$x + 50 = 3x - 150$，解得$x=100$，代入$y=x+50$得$y=150$。
即信笺150张，信封100个。
根据甲的使用情况：甲用完所有信封，剩50张信笺，可得$y = x + 50$；
根据乙的使用情况：乙用完所有信笺，剩50个信封，乙用掉的信封数为$x-50$，每封用3张信笺，可得$y = 3(x-50)$。
联立两个方程：
$\begin{cases}y = x + 50 \\y = 3(x - 50)\end{cases}$
将第一个方程代入第二个方程：$x + 50 = 3x - 150$，解得$x=100$，代入$y=x+50$得$y=150$。
即信笺150张，信封100个。
2.用大小完全相同的长方形纸片在平面直角坐标系中摆成图示图案,若点$A(-1,5)$,则点$B$的坐标是()
A.$(-6,4)$
B.$(-\dfrac{20}{3},\dfrac{14}{3})$
C.$(-6,5)$
D.$(-\dfrac{14}{3},\dfrac{11}{3})$
A.$(-6,4)$
B.$(-\dfrac{20}{3},\dfrac{14}{3})$
C.$(-6,5)$
D.$(-\dfrac{14}{3},\dfrac{11}{3})$
答案
D
解析
设小长方形的长为a，宽为b，根据点A(-1,5)的坐标结合图形特征列方程组：
$\begin{cases}a + 2b = 5 \\ a - b = 1\end{cases}$
解得：$\begin{cases}a=\dfrac{7}{3} \\ b=\dfrac{4}{3}\end{cases}$计算点B的坐标：横坐标为$-(2a + b)=-(2×\dfrac{7}{3}+\dfrac{4}{3})=-\dfrac{14}{3}$，纵坐标为$a + b=\dfrac{7}{3}+\dfrac{4}{3}=\dfrac{11}{3}$，即点B坐标为$(-\dfrac{14}{3},\dfrac{11}{3})$。
$\begin{cases}a + 2b = 5 \\ a - b = 1\end{cases}$
解得：$\begin{cases}a=\dfrac{7}{3} \\ b=\dfrac{4}{3}\end{cases}$计算点B的坐标：横坐标为$-(2a + b)=-(2×\dfrac{7}{3}+\dfrac{4}{3})=-\dfrac{14}{3}$，纵坐标为$a + b=\dfrac{7}{3}+\dfrac{4}{3}=\dfrac{11}{3}$，即点B坐标为$(-\dfrac{14}{3},\dfrac{11}{3})$。
3. 甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为 $a,b$. 如图，将甲纸条的$\frac{1}{3}$与乙纸条的$\frac{2}{5}$叠放在一起，形成长为 81 的纸条，则 $a+b=$ .
答案
99
解析
设重叠阴影部分的长度为x：
1. 根据题意，甲纸条的$\frac{1}{3}$为重叠部分，可得$x=\frac{1}{3}a$，即$a=3x$；
2. 乙纸条的$\frac{2}{5}$为重叠部分，可得$x=\frac{2}{5}b$，即$b=\frac{5}{2}x$；
3. 拼接后总长度为81，拼接总长度等于两张纸条长度之和减去重叠部分的长度，据此列方程：
$a + b - x = 81$
将$a=3x$、$b=\frac{5}{2}x$代入方程：
$3x + \frac{5}{2}x - x = 81$
化简得$4.5x=81$，解得$x=18$。
因此$a=3×18=54$，$b=\frac{5}{2}×18=45$，计算得$a+b=54+45=99$。
1. 根据题意，甲纸条的$\frac{1}{3}$为重叠部分，可得$x=\frac{1}{3}a$，即$a=3x$；
2. 乙纸条的$\frac{2}{5}$为重叠部分，可得$x=\frac{2}{5}b$，即$b=\frac{5}{2}x$；
3. 拼接后总长度为81，拼接总长度等于两张纸条长度之和减去重叠部分的长度，据此列方程：
$a + b - x = 81$
将$a=3x$、$b=\frac{5}{2}x$代入方程：
$3x + \frac{5}{2}x - x = 81$
化简得$4.5x=81$，解得$x=18$。
因此$a=3×18=54$，$b=\frac{5}{2}×18=45$，计算得$a+b=54+45=99$。
4.一名34岁的男子带着他的两个孩子一同接受采访,下面是两个孩子与记者的对话:
妹妹:"我和哥哥的年龄和是16岁."
哥哥:"两年后,妹妹年龄的三倍与我的年龄相加恰好等于爸爸的年龄."
根据对话内容,哥哥和妹妹的年龄分别是.
妹妹:"我和哥哥的年龄和是16岁."
哥哥:"两年后,妹妹年龄的三倍与我的年龄相加恰好等于爸爸的年龄."
根据对话内容,哥哥和妹妹的年龄分别是.
答案
哥哥10岁，妹妹6岁
解析
我们可以用二元一次方程组求解：
1. 设现在妹妹的年龄为$x$岁，哥哥的年龄为$y$岁。
2. 根据妹妹的表述，两人年龄和为16岁，可得方程：$x + y = 16$
3. 两年后妹妹年龄为$x+2$岁，哥哥年龄为$y+2$岁，爸爸年龄为$34+2=36$岁，根据哥哥的表述可得方程：$3(x+2)+(y+2)=36$
4. 整理第二个方程得：$3x + y = 28$
5. 用整理后的第二个方程减去第一个方程：$(3x+y)-(x+y)=28-16$，解得$x=6$
6. 把$x=6$代入$x+y=16$，得$y=10$
经检验，结果符合题意。
1. 设现在妹妹的年龄为$x$岁，哥哥的年龄为$y$岁。
2. 根据妹妹的表述，两人年龄和为16岁，可得方程：$x + y = 16$
3. 两年后妹妹年龄为$x+2$岁，哥哥年龄为$y+2$岁，爸爸年龄为$34+2=36$岁，根据哥哥的表述可得方程：$3(x+2)+(y+2)=36$
4. 整理第二个方程得：$3x + y = 28$
5. 用整理后的第二个方程减去第一个方程：$(3x+y)-(x+y)=28-16$，解得$x=6$
6. 把$x=6$代入$x+y=16$，得$y=10$
经检验，结果符合题意。
5.《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，图①、图②是简化后的算筹图.图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数$ x,y $的系数与相应的常数项.把图①表示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表示出来就是$\begin{cases} 3x+2y=19, \\ x+4y=23. \end{cases}$
(1)同理，图②所示的算筹图我们可以表示为________.
(2)解由图②列出的方程组.
(1)同理，图②所示的算筹图我们可以表示为________.
(2)解由图②列出的方程组.
答案
(1) $\begin{cases} 2x+y=11, \\ 4x+3y=27 \end{cases}$
(2) 解：$\begin{cases} 2x+y=11&①, \\ 4x+3y=27&②. \end{cases}$
①$×3$得：$6x+3y=33$ ③，
③$-$②得：$2x=6$，解得$x=3$，
把$x=3$代入①，得$2×3+y=11$，解得$y=5$，
所以方程组的解为$\begin{cases} x=3, \\ y=5 \end{cases}$。
(2) 解：$\begin{cases} 2x+y=11&①, \\ 4x+3y=27&②. \end{cases}$
①$×3$得：$6x+3y=33$ ③，
③$-$②得：$2x=6$，解得$x=3$，
把$x=3$代入①，得$2×3+y=11$，解得$y=5$，
所以方程组的解为$\begin{cases} x=3, \\ y=5 \end{cases}$。
解析
(1) 根据图①给出的算筹表示规则：每行从左到右前两个算筹数分别为未知数$x,y$的系数，后两个算筹数分别对应常数项的十位数字和个位数字，可得图②对应的方程组。
(2) 使用加减消元法解该二元一次方程组：
首先将第一个方程两边同乘3，得到$6x+3y=33$，用该式减去第二个方程$4x+3y=27$，消去$y$，解得$x$的值，再将$x$的值代入第一个方程，求出$y$的值即可。
(2) 使用加减消元法解该二元一次方程组：
首先将第一个方程两边同乘3，得到$6x+3y=33$，用该式减去第二个方程$4x+3y=27$，消去$y$，解得$x$的值，再将$x$的值代入第一个方程，求出$y$的值即可。
