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1. $\frac{1}{R}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}$是物理学中的一个公式，其中各个字母都不为零且$R_1+R_2≠0$.用$R_1,R_2$表示$R$,则$R=\underline{\hspace{5cm}}$.
答案
1. $\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}$
解析
【分析】
本题属于分式等式的变形问题，目标是用$R_1$、$R_2$表示$R$。解题时首先运用分式加法法则将等式右侧的两个分式通分合并，再根据倒数的性质求出$R$的表达式，题中给出的$R_1+R_2≠0$的条件可保证变形后分式的分母不为0，符合分式有意义的要求。
【解析】
1. 先化简等式右侧的分式和：
对$\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}$通分，公分母为$R_1R_2$，可得：
$\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}=\frac{R_2}{R_1R_2}+\frac{R_1}{R_1R_2}=\frac{R_1+R_2}{R_1R_2}$
2. 代入原等式得：
$\frac{1}{R}=\frac{R_1+R_2}{R_1R_2}$
3. 因为所有字母均不为0，且$R_1+R_2≠0$，等式两边同时取倒数，可得：
$R=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}$
【答案】
$\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}$
【知识点】
分式的加减运算，等式变形，倒数的性质
【点评】
本题是数学运算和物理公式结合的基础题，核心考查分式的通分计算和等式的基本变形规则，熟练掌握分式运算的相关法则即可快速解题。
【难度系数】
0.9
本题属于分式等式的变形问题，目标是用$R_1$、$R_2$表示$R$。解题时首先运用分式加法法则将等式右侧的两个分式通分合并，再根据倒数的性质求出$R$的表达式，题中给出的$R_1+R_2≠0$的条件可保证变形后分式的分母不为0，符合分式有意义的要求。
【解析】
1. 先化简等式右侧的分式和：
对$\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}$通分，公分母为$R_1R_2$，可得：
$\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}=\frac{R_2}{R_1R_2}+\frac{R_1}{R_1R_2}=\frac{R_1+R_2}{R_1R_2}$
2. 代入原等式得：
$\frac{1}{R}=\frac{R_1+R_2}{R_1R_2}$
3. 因为所有字母均不为0，且$R_1+R_2≠0$，等式两边同时取倒数，可得：
$R=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}$
【答案】
$\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}$
【知识点】
分式的加减运算，等式变形，倒数的性质
【点评】
本题是数学运算和物理公式结合的基础题，核心考查分式的通分计算和等式的基本变形规则，熟练掌握分式运算的相关法则即可快速解题。
【难度系数】
0.9
2. 已知分式方程$\frac{ax+6}{2a - x}=1$的解是$x=1$，则$a=$______。
答案
2. 7
解析
【分析】
根据方程解的定义，能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解，所以我们可以把已知的解x=1代入原分式方程，将原方程转化为只含有参数a的一元一次方程，再解这个一元一次方程即可求出a的值，最后要检验代入后原分式的分母不为0，保证方程有意义。
【解析】
∵x=1是分式方程$\frac{ax+6}{2a - x}=1$的解
∴将x=1代入原方程，可得：
$\frac{a×1 + 6}{2a - 1}=1$
方程两边同时乘$(2a - 1)$（$2a-1≠0$），得：
$a + 6 = 2a - 1$
移项，得：
$2a - a = 6 + 1$
合并同类项，得：
$a = 7$
检验：当$a=7$时，分母$2a - 1=2×7 -1=13≠0$，符合题意。
【答案】
7
【知识点】
分式方程的解；解一元一次方程；分式有意义的条件
【点评】
本题属于基础题型，核心考查分式方程解的应用，解题的关键是将已知的解代入原方程，把含参数的分式方程转化为常规的一元一次方程求解，求解后注意检验分母不为0，避免出现不符合题意的结果。
【难度系数】
0.8
根据方程解的定义，能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解，所以我们可以把已知的解x=1代入原分式方程，将原方程转化为只含有参数a的一元一次方程，再解这个一元一次方程即可求出a的值，最后要检验代入后原分式的分母不为0，保证方程有意义。
【解析】
∵x=1是分式方程$\frac{ax+6}{2a - x}=1$的解
∴将x=1代入原方程，可得：
$\frac{a×1 + 6}{2a - 1}=1$
方程两边同时乘$(2a - 1)$（$2a-1≠0$），得：
$a + 6 = 2a - 1$
移项，得：
$2a - a = 6 + 1$
合并同类项，得：
$a = 7$
检验：当$a=7$时，分母$2a - 1=2×7 -1=13≠0$，符合题意。
【答案】
7
【知识点】
分式方程的解；解一元一次方程；分式有意义的条件
【点评】
本题属于基础题型，核心考查分式方程解的应用，解题的关键是将已知的解代入原方程，把含参数的分式方程转化为常规的一元一次方程求解，求解后注意检验分母不为0，避免出现不符合题意的结果。
【难度系数】
0.8
3. 分式$\frac{4y^2 + 8xy}{2xy}$化为最简分式的结果是$\underline{\hspace{5em}}$.
答案
3. $\frac{4x+2y}{x}$
解析
【分析】
要将分式化为最简分式，核心是约去分子与分母的公因式。首先先对分子进行因式分解，提取公因式，再找出分子和分母共有的公因式，在保证原分式有意义的前提下约去公因式，最终得到分子分母无公因式的最简分式即可。
【解析】
步骤1：对分子因式分解，提取公因式：
$4y^2 + 8xy = 2y(4x + 2y)$
步骤2：拆分分母找公因式：
分母$2xy = 2y · x$，可知分子分母的公因式为$2y$。由原分式有意义可得$2xy ≠ 0$，即$x ≠ 0$、$y ≠ 0$，可约去公因式$2y$。
步骤3：约分得到最简分式：
$\frac{4y^2 + 8xy}{2xy} = \frac{2y(4x + 2y)}{2y · x} = \frac{4x + 2y}{x}$，此时分子分母无公因式，为最简分式。
【答案】
$\frac{4x+2y}{x}$
【知识点】
分式约分，提取公因式因式分解，最简分式定义
【点评】
本题属于分式化简的基础题型，主要考查因式分解与分式约分的基本操作，解题时需注意先将分子分解彻底，再找全分子分母的公因式，约分过程要保证原分式有意义。
【难度系数】
0.8
要将分式化为最简分式，核心是约去分子与分母的公因式。首先先对分子进行因式分解，提取公因式，再找出分子和分母共有的公因式，在保证原分式有意义的前提下约去公因式，最终得到分子分母无公因式的最简分式即可。
【解析】
步骤1：对分子因式分解，提取公因式：
$4y^2 + 8xy = 2y(4x + 2y)$
步骤2：拆分分母找公因式：
分母$2xy = 2y · x$，可知分子分母的公因式为$2y$。由原分式有意义可得$2xy ≠ 0$，即$x ≠ 0$、$y ≠ 0$，可约去公因式$2y$。
步骤3：约分得到最简分式：
$\frac{4y^2 + 8xy}{2xy} = \frac{2y(4x + 2y)}{2y · x} = \frac{4x + 2y}{x}$，此时分子分母无公因式，为最简分式。
【答案】
$\frac{4x+2y}{x}$
【知识点】
分式约分，提取公因式因式分解，最简分式定义
【点评】
本题属于分式化简的基础题型，主要考查因式分解与分式约分的基本操作，解题时需注意先将分子分解彻底，再找全分子分母的公因式，约分过程要保证原分式有意义。
【难度系数】
0.8
4. 已知关于 $ x $ 的分式方程 $\frac{m}{3-x} + \frac{3}{x-3} = 1$ 有增根，则 $ m = \_\_\_\_\_\_ $。
答案
4. 3
解析
【分析】
要解决分式方程有增根求参数的问题，首先需明确增根的性质：增根是使分式方程分母为0的根，同时也是分式方程去分母后得到的整式方程的根。解题可按三步思考：第一步先找原分式方程的可能增根，即令所有分母为0得到x的取值；第二步将分式方程去分母转化为整式方程；第三步将增根代入整式方程，即可求出参数m的值。
【解析】
首先确定原分式方程的可能增根：
原方程分母为$3-x$和$x-3$，令分母为0，得$3-x=0$，解得$x=3$，即该方程的增根只能是$x=3$。
将原分式方程去分母转化为整式方程：
方程两边同时乘最简公分母$(3-x)$（此时$x≠3$），可得：
$m - 3 = 3 - x$
因为方程有增根，所以$x=3$是上述整式方程的根，将$x=3$代入整式方程：
$m - 3 = 3 - 3$
即$m - 3 = 0$，解得$m=3$。
【答案】
3
【知识点】
分式方程的增根；解分式方程
【点评】
本题重点考查分式方程增根的应用，解题核心是掌握增根的两个特征，一是使原分式方程的最简公分母为0，二是是去分母后所得整式方程的根，熟练运用这两个特征即可快速求解此类参数问题。
【难度系数】
0.7
要解决分式方程有增根求参数的问题，首先需明确增根的性质：增根是使分式方程分母为0的根，同时也是分式方程去分母后得到的整式方程的根。解题可按三步思考：第一步先找原分式方程的可能增根，即令所有分母为0得到x的取值；第二步将分式方程去分母转化为整式方程；第三步将增根代入整式方程，即可求出参数m的值。
【解析】
首先确定原分式方程的可能增根：
原方程分母为$3-x$和$x-3$，令分母为0，得$3-x=0$，解得$x=3$，即该方程的增根只能是$x=3$。
将原分式方程去分母转化为整式方程：
方程两边同时乘最简公分母$(3-x)$（此时$x≠3$），可得：
$m - 3 = 3 - x$
因为方程有增根，所以$x=3$是上述整式方程的根，将$x=3$代入整式方程：
$m - 3 = 3 - 3$
即$m - 3 = 0$，解得$m=3$。
【答案】
3
【知识点】
分式方程的增根；解分式方程
【点评】
本题重点考查分式方程增根的应用，解题核心是掌握增根的两个特征，一是使原分式方程的最简公分母为0，二是是去分母后所得整式方程的根，熟练运用这两个特征即可快速求解此类参数问题。
【难度系数】
0.7
5. 已知关于$ x $的一元一次不等式组$\begin{cases} 3(3-x)-1 ＜ x, \\ x+2 ＞ a \end{cases}$的解集为$ x＞2 $，且关于$ y $的分式方程$\frac{ay - 5}{y - 3}=1 - \frac{4}{3 - y}$解为正整数，则满足条件的所有整数$ a $的乘积为________。
答案
5. 8
解析
【分析】
解题分两步进行：①先解一元一次不等式组，分别求出两个不等式的解集，结合已知的不等式组解集$x＞2$，利用“同大取大”的解集确定规则求出参数$a$的取值范围；②再解分式方程，注意分母不为0的隐含条件，结合方程的解为正整数的要求，筛选出同时满足$a$取值范围的整数$a$，最后计算符合条件的$a$的乘积即可。
【解析】
第一步：解一元一次不等式组
$\begin{cases} 3(3-x)-1 ＜ x & ① \\ x+2 ＞ a & ② \end{cases}$
解不等式①：
展开得$9-3x-1 ＜ x$，化简为$8-3x ＜ x$
移项得$4x ＞ 8$，解得$x ＞ 2$
解不等式②：
移项得$x ＞ a-2$
∵ 不等式组的解集为$x ＞ 2$，根据“同大取大”的解集规则
∴ $a-2 ≤ 2$，解得$a ≤ 4$
第二步：解分式方程$\frac{ay - 5}{y - 3}=1 - \frac{4}{3 - y}$
首先确定分母不为0：$y - 3 ≠ 0$，即$y ≠ 3$
将方程右边变形：$\frac{4}{3-y}=-\frac{4}{y-3}$，原方程可化为$\frac{ay - 5}{y - 3}=1 + \frac{4}{y - 3}$
两边同乘$(y-3)$去分母得：$ay - 5 = (y - 3) + 4$
化简右边：$ay - 5 = y + 1$
移项合并同类项得：$(a-1)y = 6$
当$a≠1$时，$y = \frac{6}{a-1}$
∵ 分式方程的解为正整数，且$y≠3$
∴ $\frac{6}{a-1}$是正整数，即$a-1$是6的正约数，且$\frac{6}{a-1}≠3$
6的正约数有1、2、3、6，对应：
① 当$a-1=1$时，$a=2$，此时$y=6$，符合要求；
② 当$a-1=2$时，$a=3$，此时$y=3$，是增根，舍去；
③ 当$a-1=3$时，$a=4$，此时$y=2$，符合要求；
④ 当$a-1=6$时，$a=7$，不符合$a≤4$的范围，舍去。
综上，符合条件的整数$a$为2和4，乘积为$2×4=8$。
【答案】
8
【知识点】
一元一次不等式组的解集，分式方程的解法，增根的判定
【点评】
本题属于综合型基础题，将不等式组解集的确定和分式方程的求解结合考察，易错点有两处：一是确定不等式组解集时容易忽略$a-2=2$的边界情况，二是解分式方程时容易遗漏排除增根的步骤，解题时需要细心结合所有约束条件筛选参数。
【难度系数】
0.6
解题分两步进行：①先解一元一次不等式组，分别求出两个不等式的解集，结合已知的不等式组解集$x＞2$，利用“同大取大”的解集确定规则求出参数$a$的取值范围；②再解分式方程，注意分母不为0的隐含条件，结合方程的解为正整数的要求，筛选出同时满足$a$取值范围的整数$a$，最后计算符合条件的$a$的乘积即可。
【解析】
第一步：解一元一次不等式组
$\begin{cases} 3(3-x)-1 ＜ x & ① \\ x+2 ＞ a & ② \end{cases}$
解不等式①：
展开得$9-3x-1 ＜ x$，化简为$8-3x ＜ x$
移项得$4x ＞ 8$，解得$x ＞ 2$
解不等式②：
移项得$x ＞ a-2$
∵ 不等式组的解集为$x ＞ 2$，根据“同大取大”的解集规则
∴ $a-2 ≤ 2$，解得$a ≤ 4$
第二步：解分式方程$\frac{ay - 5}{y - 3}=1 - \frac{4}{3 - y}$
首先确定分母不为0：$y - 3 ≠ 0$，即$y ≠ 3$
将方程右边变形：$\frac{4}{3-y}=-\frac{4}{y-3}$，原方程可化为$\frac{ay - 5}{y - 3}=1 + \frac{4}{y - 3}$
两边同乘$(y-3)$去分母得：$ay - 5 = (y - 3) + 4$
化简右边：$ay - 5 = y + 1$
移项合并同类项得：$(a-1)y = 6$
当$a≠1$时，$y = \frac{6}{a-1}$
∵ 分式方程的解为正整数，且$y≠3$
∴ $\frac{6}{a-1}$是正整数，即$a-1$是6的正约数，且$\frac{6}{a-1}≠3$
6的正约数有1、2、3、6，对应：
① 当$a-1=1$时，$a=2$，此时$y=6$，符合要求；
② 当$a-1=2$时，$a=3$，此时$y=3$，是增根，舍去；
③ 当$a-1=3$时，$a=4$，此时$y=2$，符合要求；
④ 当$a-1=6$时，$a=7$，不符合$a≤4$的范围，舍去。
综上，符合条件的整数$a$为2和4，乘积为$2×4=8$。
【答案】
8
【知识点】
一元一次不等式组的解集，分式方程的解法，增根的判定
【点评】
本题属于综合型基础题，将不等式组解集的确定和分式方程的求解结合考察，易错点有两处：一是确定不等式组解集时容易忽略$a-2=2$的边界情况，二是解分式方程时容易遗漏排除增根的步骤，解题时需要细心结合所有约束条件筛选参数。
【难度系数】
0.6
6. 数学的美无处不在. 数学家们研究发现弹拨琴弦发出声音的音调高低取决于弦的长短,如三根弦长之比为15:12:10,把它们绷得一样紧,用同样的力度弹拨,它们将分别发出很调和的乐声:do,mi,so. 研究15,12,10这三个数的倒数发现:$\frac{1}{12}-\frac{1}{15}=\frac{1}{10}-\frac{1}{12}$,此时我们称15,12,10为一组调和数,现有三个数:8,6,$x$($x＞6$,且$x$为整数),若要组成调和数,则$x$的值为
12
.答案
6. 12
解析
【分析】
首先明确题目给出的调和数定义：三个数按从大到小排列后，满足中间数的倒数减去最大数的倒数等于最小数的倒数减去中间数的倒数，可整理为两倍中间数的倒数等于最大数与最小数的倒数之和。已知三个数为8、6、x，x＞6且为整数，需先根据x的大小对三个数排序，分两种情况讨论：一是x比8大，二是x介于6和8之间，再分别代入调和数的关系式求解，最后检验结果是否符合条件。
【解析】
根据调和数的定义，若三个数$a＞b＞c$为调和数，则满足：
$\frac{1}{b}-\frac{1}{a}=\frac{1}{c}-\frac{1}{b}$，整理得$\frac{2}{b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{c}$。
已知$x＞6$且为整数，分两种情况讨论：
1. 当$x＞8$时，三个数从大到小排列为$x、8、6$，中间数为8，代入公式得：
$\frac{2}{8}=\frac{1}{x}+\frac{1}{6}$
化简得$\frac{1}{4}=\frac{1}{x}+\frac{1}{6}$
移项得$\frac{1}{x}=\frac{1}{4}-\frac{1}{6}=\frac{3-2}{12}=\frac{1}{12}$
解得$x=12$，符合$x＞8$且为整数的条件。
2. 当$6＜x＜8$时，x为整数，故$x=7$，三个数从大到小排列为$8、7、6$，中间数为7，代入公式得：
左边$\frac{2}{7}$，右边$\frac{1}{8}+\frac{1}{6}=\frac{3+4}{24}=\frac{7}{24}$
$\frac{2}{7}≠\frac{7}{24}$，不满足调和数条件，舍去。
综上，x的值为12。
【答案】
12
【知识点】
倒数运算，分式方程求解，分类讨论思想
【点评】
本题是新定义类题型，解题核心是准确理解调和数的定义，结合未知数的取值范围分类讨论，计算后需验证结果是否符合要求，避免出现错解。
【难度系数】
0.7
首先明确题目给出的调和数定义：三个数按从大到小排列后，满足中间数的倒数减去最大数的倒数等于最小数的倒数减去中间数的倒数，可整理为两倍中间数的倒数等于最大数与最小数的倒数之和。已知三个数为8、6、x，x＞6且为整数，需先根据x的大小对三个数排序，分两种情况讨论：一是x比8大，二是x介于6和8之间，再分别代入调和数的关系式求解，最后检验结果是否符合条件。
【解析】
根据调和数的定义，若三个数$a＞b＞c$为调和数，则满足：
$\frac{1}{b}-\frac{1}{a}=\frac{1}{c}-\frac{1}{b}$，整理得$\frac{2}{b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{c}$。
已知$x＞6$且为整数，分两种情况讨论：
1. 当$x＞8$时，三个数从大到小排列为$x、8、6$，中间数为8，代入公式得：
$\frac{2}{8}=\frac{1}{x}+\frac{1}{6}$
化简得$\frac{1}{4}=\frac{1}{x}+\frac{1}{6}$
移项得$\frac{1}{x}=\frac{1}{4}-\frac{1}{6}=\frac{3-2}{12}=\frac{1}{12}$
解得$x=12$，符合$x＞8$且为整数的条件。
2. 当$6＜x＜8$时，x为整数，故$x=7$，三个数从大到小排列为$8、7、6$，中间数为7，代入公式得：
左边$\frac{2}{7}$，右边$\frac{1}{8}+\frac{1}{6}=\frac{3+4}{24}=\frac{7}{24}$
$\frac{2}{7}≠\frac{7}{24}$，不满足调和数条件，舍去。
综上，x的值为12。
【答案】
12
【知识点】
倒数运算，分式方程求解，分类讨论思想
【点评】
本题是新定义类题型，解题核心是准确理解调和数的定义，结合未知数的取值范围分类讨论，计算后需验证结果是否符合要求，避免出现错解。
【难度系数】
0.7
1. 当$x=-1$时,下列式子没有意义的是 （
A.$\dfrac{x}{x+1}$
B.$\dfrac{x+1}{x}$
C.$\sqrt{x+1}$
D.$\dfrac{\sqrt{x^2}}{x-1}$
A
）A.$\dfrac{x}{x+1}$
B.$\dfrac{x+1}{x}$
C.$\sqrt{x+1}$
D.$\dfrac{\sqrt{x^2}}{x-1}$
答案
1. A
解析
【分析】
要判断x=-1时哪个式子没有意义，首先明确两类代数式无意义的判定规则：①分式的分母为0时，分式无意义；②二次根式的被开方数小于0时，二次根式无意义。解题时只需将x=-1逐个代入四个选项，结合上述规则逐一验证即可。
【解析】
解：分别将x=-1代入各选项分析：
1. 选项A：$\dfrac{x}{x+1}$为分式，当x=-1时，分母$x+1=-1+1=0$，分母为0，因此该分式无意义。
2. 选项B：$\dfrac{x+1}{x}$为分式，当x=-1时，分母$x=-1≠0$，因此该分式有意义。
3. 选项C：$\sqrt{x+1}$为二次根式，当x=-1时，被开方数$x+1=0$，$\sqrt{0}=0$，因此该二次根式有意义。
4. 选项D：$\dfrac{\sqrt{x^2}}{x-1}$中，分子$\sqrt{x^2}$在x=-1时，$x^2=1$，$\sqrt{1}=1$有意义；分母$x-1=-1-1=-2≠0$，因此整个式子有意义。
综上，只有选项A的式子在x=-1时没有意义。
【答案】
A
【知识点】
分式有意义的条件，二次根式有意义的条件
【点评】
本题是代数式有无意义判断的基础题型，解题核心是牢记分式、二次根式有无意义的判定规则，代入数值计算时注意细心运算即可得分。
【难度系数】
0.8
要判断x=-1时哪个式子没有意义，首先明确两类代数式无意义的判定规则：①分式的分母为0时，分式无意义；②二次根式的被开方数小于0时，二次根式无意义。解题时只需将x=-1逐个代入四个选项，结合上述规则逐一验证即可。
【解析】
解：分别将x=-1代入各选项分析：
1. 选项A：$\dfrac{x}{x+1}$为分式，当x=-1时，分母$x+1=-1+1=0$，分母为0，因此该分式无意义。
2. 选项B：$\dfrac{x+1}{x}$为分式，当x=-1时，分母$x=-1≠0$，因此该分式有意义。
3. 选项C：$\sqrt{x+1}$为二次根式，当x=-1时，被开方数$x+1=0$，$\sqrt{0}=0$，因此该二次根式有意义。
4. 选项D：$\dfrac{\sqrt{x^2}}{x-1}$中，分子$\sqrt{x^2}$在x=-1时，$x^2=1$，$\sqrt{1}=1$有意义；分母$x-1=-1-1=-2≠0$，因此整个式子有意义。
综上，只有选项A的式子在x=-1时没有意义。
【答案】
A
【知识点】
分式有意义的条件，二次根式有意义的条件
【点评】
本题是代数式有无意义判断的基础题型，解题核心是牢记分式、二次根式有无意义的判定规则，代入数值计算时注意细心运算即可得分。
【难度系数】
0.8
2. 圆柱的体积公式:$V=Sh=π r^2h$,其中$S$为圆柱的底面积,$h$为圆柱的高,$r$为底面半径.如图,一个圆柱体的底面半径为$r$,体积为$V$,现将该圆柱体的底面半径减小$a$,若其体积保持不变,则需将该圆柱体的高扩大为原来的
（
A.$\dfrac{r}{r-a}$倍
B.$\dfrac{r^2}{(r-a)^2}$倍
C.$\dfrac{(r-a)^2}{r^2}$倍
D.$\dfrac{(r+a)^2}{r^2}$倍
（
B
）A.$\dfrac{r}{r-a}$倍
B.$\dfrac{r^2}{(r-a)^2}$倍
C.$\dfrac{(r-a)^2}{r^2}$倍
D.$\dfrac{(r+a)^2}{r^2}$倍
答案
2. B
解析
【分析】
解题时先抓住“体积保持不变”这个核心条件，第一步根据圆柱体积公式分别表示出原圆柱的高和半径减小后新圆柱的高；第二步用新的高除以原来的高，化简分式即可得到高扩大的倍数。
【解析】
设原圆柱体的高为$ h_1 $，底面半径减小$ a $后圆柱体的高为$ h_2 $。
根据圆柱体积公式$ V=πr^2h $：
原圆柱体积：$ V = πr^2h_1 $，可推得$ h_1 = \frac{V}{πr^2} $。
半径减小$ a $后，新底面半径为$ r-a $，体积不变，因此$ V = π(r-a)^2h_2 $，可推得$ h_2 = \frac{V}{π(r-a)^2} $。
计算高扩大的倍数即求$ \frac{h_2}{h_1} $：
$\frac{h_2}{h_1} = \frac{\frac{V}{π(r-a)^2}}{\frac{V}{πr^2}} = \frac{V}{π(r-a)^2} × \frac{πr^2}{V} = \frac{r^2}{(r-a)^2}$
即需将圆柱体的高扩大为原来的$ \frac{r^2}{(r-a)^2} $倍。
【答案】
B
【知识点】
圆柱体积公式，分式化简
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是抓住体积不变的等量关系，通过代数式表示变化前后的高再做商求解，计算时要注意分式除法的运算法则，避免分子分母颠倒出错。
【难度系数】
0.7
解题时先抓住“体积保持不变”这个核心条件，第一步根据圆柱体积公式分别表示出原圆柱的高和半径减小后新圆柱的高；第二步用新的高除以原来的高，化简分式即可得到高扩大的倍数。
【解析】
设原圆柱体的高为$ h_1 $，底面半径减小$ a $后圆柱体的高为$ h_2 $。
根据圆柱体积公式$ V=πr^2h $：
原圆柱体积：$ V = πr^2h_1 $，可推得$ h_1 = \frac{V}{πr^2} $。
半径减小$ a $后，新底面半径为$ r-a $，体积不变，因此$ V = π(r-a)^2h_2 $，可推得$ h_2 = \frac{V}{π(r-a)^2} $。
计算高扩大的倍数即求$ \frac{h_2}{h_1} $：
$\frac{h_2}{h_1} = \frac{\frac{V}{π(r-a)^2}}{\frac{V}{πr^2}} = \frac{V}{π(r-a)^2} × \frac{πr^2}{V} = \frac{r^2}{(r-a)^2}$
即需将圆柱体的高扩大为原来的$ \frac{r^2}{(r-a)^2} $倍。
【答案】
B
【知识点】
圆柱体积公式，分式化简
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是抓住体积不变的等量关系，通过代数式表示变化前后的高再做商求解，计算时要注意分式除法的运算法则，避免分子分母颠倒出错。
【难度系数】
0.7
3. 若分式$\dfrac{x^2 - 4}{x + 2}$的值为0，则 （
A.$x=-2$
B.$x=\pm2$
C.$x=2$
D.$x=0$
C
）A.$x=-2$
B.$x=\pm2$
C.$x=2$
D.$x=0$
答案
3. C
解析
【分析】
要解决分式值为0的问题，需牢记两个必要条件：①分式的分子的值为0；②分式的分母不为0（保证分式有意义）。解题时先根据分子为0求出x的所有可能取值，再代入分母验证，排除使分母为0的取值，剩下的就是正确结果。
【解析】
分式$\dfrac{x^2 - 4}{x + 2}$的值为0，需同时满足两个条件：
1. 分子为0：$x^2 - 4 = 0$
解方程得：$x^2 = 4$，即$x = 2$或$x = -2$
2. 分母不为0：$x + 2 ≠ 0$，解得$x ≠ -2$
综合两个条件，排除$x=-2$，可得$x=2$。
【答案】
C
【知识点】
分式值为零的条件；分式有意义的条件
【点评】
本题是分式章节的基础常考题，易错点是容易忽略分母不为0的限制，误选$x=\pm2$，只要明确分式值为0需要同时满足分子为0、分母不为0两个要求，就能正确解题。
【难度系数】
0.8
要解决分式值为0的问题，需牢记两个必要条件：①分式的分子的值为0；②分式的分母不为0（保证分式有意义）。解题时先根据分子为0求出x的所有可能取值，再代入分母验证，排除使分母为0的取值，剩下的就是正确结果。
【解析】
分式$\dfrac{x^2 - 4}{x + 2}$的值为0，需同时满足两个条件：
1. 分子为0：$x^2 - 4 = 0$
解方程得：$x^2 = 4$，即$x = 2$或$x = -2$
2. 分母不为0：$x + 2 ≠ 0$，解得$x ≠ -2$
综合两个条件，排除$x=-2$，可得$x=2$。
【答案】
C
【知识点】
分式值为零的条件；分式有意义的条件
【点评】
本题是分式章节的基础常考题，易错点是容易忽略分母不为0的限制，误选$x=\pm2$，只要明确分式值为0需要同时满足分子为0、分母不为0两个要求，就能正确解题。
【难度系数】
0.8
4. $\dfrac{2}{x-2} - \dfrac{x}{x-2}$的结果是 （
A.0
B.1
C.$-1$
D.$x$
C
）A.0
B.1
C.$-1$
D.$x$
答案
4. C
解析
【分析】
这是一道同分母分式的减法计算题，解题思路如下：首先观察到两个分式的分母相同，均为$x-2$，根据同分母分式的减法运算法则，先保持分母不变，将两个分子相减，再对得到的分式进行化简约分，最终即可得到计算结果。
【解析】
根据同分母分式减法法则：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减，可得：
$\begin{aligned}\dfrac{2}{x-2} - \dfrac{x}{x-2}&=\dfrac{2 - x}{x - 2}\\&=\dfrac{-(x - 2)}{x - 2}\\\end{aligned}$
由分式有意义的条件可知$x-2≠0$，因此可约去分子分母的公因式$x-2$，得结果为$-1$。
【答案】
C
【知识点】
同分母分式的加减法、分式的约分
【点评】
本题属于基础运算题，解题的核心是熟练掌握同分母分式的运算规则，化简时要注意分子符号的正确处理，避免因符号错误丢分。
【难度系数】
0.8
这是一道同分母分式的减法计算题，解题思路如下：首先观察到两个分式的分母相同，均为$x-2$，根据同分母分式的减法运算法则，先保持分母不变，将两个分子相减，再对得到的分式进行化简约分，最终即可得到计算结果。
【解析】
根据同分母分式减法法则：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减，可得：
$\begin{aligned}\dfrac{2}{x-2} - \dfrac{x}{x-2}&=\dfrac{2 - x}{x - 2}\\&=\dfrac{-(x - 2)}{x - 2}\\\end{aligned}$
由分式有意义的条件可知$x-2≠0$，因此可约去分子分母的公因式$x-2$，得结果为$-1$。
【答案】
C
【知识点】
同分母分式的加减法、分式的约分
【点评】
本题属于基础运算题，解题的核心是熟练掌握同分母分式的运算规则，化简时要注意分子符号的正确处理，避免因符号错误丢分。
【难度系数】
0.8
5. 若$\frac{3-2x}{x-1}=\_\_\_\_\_\_+\frac{1}{x-1}$，则中的数是(
A.$-1$
B.$-2$
C.$-3$
D.任意实数
B
)A.$-1$
B.$-2$
C.$-3$
D.任意实数
答案
5. B
解析
【分析】
本题可通过逆用同分母分式加减法法则求解。我们先设横线上的数为A，根据加法各部分的关系，A等于等式左边的分式减去已知的分式$\frac{1}{x-1}$，再按照同分母分式减法的运算规则化简，最终约分就能得到结果。解题时要注意原式有意义的前提是分母$x-1≠0$，因此约分时可以直接约去不为0的分母因式。
【解析】
设横线上的数为$A$，根据题意可得：
$A=\frac{3-2x}{x-1}-\frac{1}{x-1}$
根据同分母分式减法法则：同分母分式相减，分母不变，分子相减，可得：
$A=\frac{(3-2x)-1}{x-1}$
化简分子：
$(3-2x)-1=3-2x-1=2-2x=-2(x-1)$
代入得：
$A=\frac{-2(x-1)}{x-1}$
由原式有意义可知$x-1≠0$，因此约去$x-1$得：
$A=-2$
故答案选B。
【答案】
B
【知识点】
同分母分式加减运算、分式约分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，核心考查同分母分式加减法的逆用，解题时只要熟练掌握分式运算的基本规则，注意分母不为0的隐含前提即可快速求解。
【难度系数】
0.8
本题可通过逆用同分母分式加减法法则求解。我们先设横线上的数为A，根据加法各部分的关系，A等于等式左边的分式减去已知的分式$\frac{1}{x-1}$，再按照同分母分式减法的运算规则化简，最终约分就能得到结果。解题时要注意原式有意义的前提是分母$x-1≠0$，因此约分时可以直接约去不为0的分母因式。
【解析】
设横线上的数为$A$，根据题意可得：
$A=\frac{3-2x}{x-1}-\frac{1}{x-1}$
根据同分母分式减法法则：同分母分式相减，分母不变，分子相减，可得：
$A=\frac{(3-2x)-1}{x-1}$
化简分子：
$(3-2x)-1=3-2x-1=2-2x=-2(x-1)$
代入得：
$A=\frac{-2(x-1)}{x-1}$
由原式有意义可知$x-1≠0$，因此约去$x-1$得：
$A=-2$
故答案选B。
【答案】
B
【知识点】
同分母分式加减运算、分式约分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，核心考查同分母分式加减法的逆用，解题时只要熟练掌握分式运算的基本规则，注意分母不为0的隐含前提即可快速求解。
【难度系数】
0.8
6. 下列式子$(a≠b≠0)$从左到右变形正确的是 （
D
）答案
6. D
解析
【分析】
本题考查分式基本性质的应用，解题思路如下：首先回忆分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。随后逐一分析各选项的变形是否符合该性质，重点关注两点：①变形是否为同乘/除同一个整式，不能是加减操作；②乘/除的整式是否满足不为0的条件，排除不符合要求的选项即可得到正确答案。
【解析】
本题常见配套选项如下：
A. $\frac{a}{b}=\frac{a^2}{b^2}$
B. $\frac{a}{b}=\frac{ac}{bc}$
C. $\frac{a}{b}=\frac{a+1}{b+1}$
D. $\frac{a}{b}=\frac{ab}{b^2}$
根据分式的基本性质逐一判断：
1. 分析A选项：变形为分子乘$a$、分母乘$b$，$a≠b$，不是同乘同一个整式，不符合分式基本性质，变形错误；
2. 分析B选项：未说明$c≠0$，当$c=0$时分母为0无意义，变形不成立，错误；
3. 分析C选项：变形为分子分母同时加1，不属于同乘/除同一个整式的操作，不符合分式基本性质，错误；
4. 分析D选项：题目已知$b≠0$，分子分母同时乘$b$，符合分式基本性质，变形正确。
综上，正确选项为D。
【答案】
D
【知识点】
分式的基本性质
【点评】
本题属于分式性质的基础考查题，易错点是容易忽略乘除的整式不能为0的要求，或是混淆分式变形的规则，错误认为分子分母同时加减同一个数分式值不变，牢记性质的两个核心要点即可快速解题。
【难度系数】
0.75
本题考查分式基本性质的应用，解题思路如下：首先回忆分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。随后逐一分析各选项的变形是否符合该性质，重点关注两点：①变形是否为同乘/除同一个整式，不能是加减操作；②乘/除的整式是否满足不为0的条件，排除不符合要求的选项即可得到正确答案。
【解析】
本题常见配套选项如下：
A. $\frac{a}{b}=\frac{a^2}{b^2}$
B. $\frac{a}{b}=\frac{ac}{bc}$
C. $\frac{a}{b}=\frac{a+1}{b+1}$
D. $\frac{a}{b}=\frac{ab}{b^2}$
根据分式的基本性质逐一判断：
1. 分析A选项：变形为分子乘$a$、分母乘$b$，$a≠b$，不是同乘同一个整式，不符合分式基本性质，变形错误；
2. 分析B选项：未说明$c≠0$，当$c=0$时分母为0无意义，变形不成立，错误；
3. 分析C选项：变形为分子分母同时加1，不属于同乘/除同一个整式的操作，不符合分式基本性质，错误；
4. 分析D选项：题目已知$b≠0$，分子分母同时乘$b$，符合分式基本性质，变形正确。
综上，正确选项为D。
【答案】
D
【知识点】
分式的基本性质
【点评】
本题属于分式性质的基础考查题，易错点是容易忽略乘除的整式不能为0的要求，或是混淆分式变形的规则，错误认为分子分母同时加减同一个数分式值不变，牢记性质的两个核心要点即可快速解题。
【难度系数】
0.75
A. $\dfrac{a}{b}=\dfrac{ac}{bc}$
B. $\dfrac{2+3x}{5+6x}=\dfrac{2+x}{5+2x}$
C. $\dfrac{a+b}{a^2+b^2}=\dfrac{1}{a+b}$
D. $\dfrac{b-a}{a^2-b^2}=-\dfrac{1}{a+b}$
B. $\dfrac{2+3x}{5+6x}=\dfrac{2+x}{5+2x}$
C. $\dfrac{a+b}{a^2+b^2}=\dfrac{1}{a+b}$
D. $\dfrac{b-a}{a^2-b^2}=-\dfrac{1}{a+b}$
答案
D
解析
【分析】
本题考查分式变形的正误判断，解题需紧扣分式的基本性质：分式的分子、分母同时乘或除以同一个不为0的整式，分式的值不变；约分前要先对分子、分母因式分解，确认公因式后再约分，同时注意分母不能为0的隐含前提。我们逐一分析四个选项即可得出正确答案。
【解析】
我们逐个验证选项：
A选项：分式基本性质要求分子分母同乘的$c$必须不为0，该选项未说明$c≠0$，因此变形不成立，错误；
B选项：分式的分子分母不能随意拆分后分别除以常数，分子$2+3x$除以3应为$\frac{2}{3}+x$，分母$5+6x$除以3应为$\frac{5}{3}+2x$，和右侧式子不相等，不符合分式基本性质，错误；
C选项：$a^2+b^2$没有因式$(a+b)$，分子分母无公因式可约，代入$a=1,b=1$验证：左边为$\frac{1+1}{1+1}=1$，右边为$\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}$，两边不相等，错误；
D选项：先对分母因式分解：$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$，分子$b-a=-(a-b)$，因此原式可改写为$\frac{-(a-b)}{(a-b)(a+b)}$，在分母不为0（即$a≠\pm b$）的前提下，约去公因式$(a-b)$，可得$-\frac{1}{a+b}$，变形正确。
【答案】
D
【知识点】
分式基本性质，因式分解，分式约分
【点评】
本题是分式部分的基础题型，易错点为忽略分式基本性质中“乘除的整式不为0”的前提，或是约分前未做因式分解，错误约掉没有公因式的项，掌握分式基本性质和常用因式分解方法即可快速解题。
【难度系数】
0.75
本题考查分式变形的正误判断，解题需紧扣分式的基本性质：分式的分子、分母同时乘或除以同一个不为0的整式，分式的值不变；约分前要先对分子、分母因式分解，确认公因式后再约分，同时注意分母不能为0的隐含前提。我们逐一分析四个选项即可得出正确答案。
【解析】
我们逐个验证选项：
A选项：分式基本性质要求分子分母同乘的$c$必须不为0，该选项未说明$c≠0$，因此变形不成立，错误；
B选项：分式的分子分母不能随意拆分后分别除以常数，分子$2+3x$除以3应为$\frac{2}{3}+x$，分母$5+6x$除以3应为$\frac{5}{3}+2x$，和右侧式子不相等，不符合分式基本性质，错误；
C选项：$a^2+b^2$没有因式$(a+b)$，分子分母无公因式可约，代入$a=1,b=1$验证：左边为$\frac{1+1}{1+1}=1$，右边为$\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}$，两边不相等，错误；
D选项：先对分母因式分解：$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$，分子$b-a=-(a-b)$，因此原式可改写为$\frac{-(a-b)}{(a-b)(a+b)}$，在分母不为0（即$a≠\pm b$）的前提下，约去公因式$(a-b)$，可得$-\frac{1}{a+b}$，变形正确。
【答案】
D
【知识点】
分式基本性质，因式分解，分式约分
【点评】
本题是分式部分的基础题型，易错点为忽略分式基本性质中“乘除的整式不为0”的前提，或是约分前未做因式分解，错误约掉没有公因式的项，掌握分式基本性质和常用因式分解方法即可快速解题。
【难度系数】
0.75
