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9.新华书店暑假期间推出售书优惠方案:①一次性购书不超过200元,不享受优惠;②一次性购书超过200元但不超过400元一律打九折;③一次性购书400元以上一律打八折.如果小聪同学一次性购书共付款324元,那么小聪所购书的原价是
360元或405元
.答案
9.360元或405元
解析
【分析】首先明确三种售书优惠方案，小聪付款324元，因不超过200元最多付款200元，故排除第一种方案；剩余两种优惠（九折、八折）均可能对应324元付款，因此分两种情况设原价，根据折扣列方程求解，验证结果是否符合对应优惠段即可。
【解析】设小聪所购书的原价为$ x $元，分两种情况讨论：
1. 若原价超过200元但不超过400元，享受九折优惠，则：
$ 0.9x = 324 $
解得$ x = 360 $，符合$ 200 ＜ 360 ≤ 400 $，该情况成立；
2. 若原价超过400元，享受八折优惠，则：
$ 0.8x = 324 $
解得$ x = 405 $，符合$ 405 ＞ 400 $，该情况成立；
综上，小聪所购书的原价是360元或405元。
【答案】360元或405元
【知识点】一元一次方程应用、分段计费问题
【点评】本题考查分段计费的一元一次方程应用，核心是分情况讨论不同优惠段，避免漏解，需验证结果是否符合对应优惠范围。
【难度系数】0.6
【解析】设小聪所购书的原价为$ x $元，分两种情况讨论：
1. 若原价超过200元但不超过400元，享受九折优惠，则：
$ 0.9x = 324 $
解得$ x = 360 $，符合$ 200 ＜ 360 ≤ 400 $，该情况成立；
2. 若原价超过400元，享受八折优惠，则：
$ 0.8x = 324 $
解得$ x = 405 $，符合$ 405 ＞ 400 $，该情况成立；
综上，小聪所购书的原价是360元或405元。
【答案】360元或405元
【知识点】一元一次方程应用、分段计费问题
【点评】本题考查分段计费的一元一次方程应用，核心是分情况讨论不同优惠段，避免漏解，需验证结果是否符合对应优惠范围。
【难度系数】0.6
10. 小张的服装店在换季时积压了一批同一款式的服装,为了缓解资金压力,小张决定打折销售,
若每件服装按标价的五折出售,将亏损 20 元,而按标价的八折出售,将盈利 40 元.
(1)求每件服装的标价是多少元;
(2)为了尽快减少库存,又要保证不亏本,请问每件服装最多能打几折?
若每件服装按标价的五折出售,将亏损 20 元,而按标价的八折出售,将盈利 40 元.
(1)求每件服装的标价是多少元;
(2)为了尽快减少库存,又要保证不亏本,请问每件服装最多能打几折?
答案
10.解:(1)设每件服装的标价为x元,
根据题意,得$0.5x+20=0.8x-40$,解得$x=200$.
答:每件服装的标价为200元.
(2)设每件服装最多能打y折,
根据题意,得$200×\frac{y}{10}=200×0.5+20$,解得$y=6$.
答:每件服装最多能打六折.
根据题意,得$0.5x+20=0.8x-40$,解得$x=200$.
答:每件服装的标价为200元.
(2)设每件服装最多能打y折,
根据题意,得$200×\frac{y}{10}=200×0.5+20$,解得$y=6$.
答:每件服装最多能打六折.
解析
【分析】
要解决这道销售问题，需明确核心量：标价、售价、成本、折扣。第(1)问中，两种折扣下服装的成本是固定的，因此可通过“成本相等”建立等量关系，设标价为未知数，列一元一次方程求解；第(2)问中“不亏本”意味着售价等于成本，据此设折扣为未知数，再次利用等量关系列方程计算。
【解析】
(1)设每件服装的标价为$ x $元。
按五折出售亏损20元，因此成本为$ 0.5x + 20 $元；按八折出售盈利40元，因此成本也可表示为$ 0.8x - 40 $元。
根据成本相等列方程：$ 0.5x + 20 = 0.8x - 40 $
移项合并得：$ 0.3x = 60 $
解得：$ x = 200 $
(2)先计算服装成本：$ 0.5×200 + 20 = 120 $元。
设每件服装最多能打$ y $折，此时售价为$ 200×\frac{y}{10} $元，不亏本即售价等于成本，列方程：
$ 200×\frac{y}{10} = 120 $
化简得：$ 20y = 120 $
解得：$ y = 6 $
【答案】
(1)每件服装的标价为200元；
(2)每件服装最多能打六折。
【知识点】
一元一次方程应用、打折销售问题
【点评】
本题是一元一次方程在实际销售场景的基础应用，核心是抓住“成本不变”“不亏本即售价等于成本”的等量关系，步骤清晰，属于常规题型，能有效考察学生对一元一次方程应用的掌握程度。
【难度系数】
0.7
要解决这道销售问题，需明确核心量：标价、售价、成本、折扣。第(1)问中，两种折扣下服装的成本是固定的，因此可通过“成本相等”建立等量关系，设标价为未知数，列一元一次方程求解；第(2)问中“不亏本”意味着售价等于成本，据此设折扣为未知数，再次利用等量关系列方程计算。
【解析】
(1)设每件服装的标价为$ x $元。
按五折出售亏损20元，因此成本为$ 0.5x + 20 $元；按八折出售盈利40元，因此成本也可表示为$ 0.8x - 40 $元。
根据成本相等列方程：$ 0.5x + 20 = 0.8x - 40 $
移项合并得：$ 0.3x = 60 $
解得：$ x = 200 $
(2)先计算服装成本：$ 0.5×200 + 20 = 120 $元。
设每件服装最多能打$ y $折，此时售价为$ 200×\frac{y}{10} $元，不亏本即售价等于成本，列方程：
$ 200×\frac{y}{10} = 120 $
化简得：$ 20y = 120 $
解得：$ y = 6 $
【答案】
(1)每件服装的标价为200元；
(2)每件服装最多能打六折。
【知识点】
一元一次方程应用、打折销售问题
【点评】
本题是一元一次方程在实际销售场景的基础应用，核心是抓住“成本不变”“不亏本即售价等于成本”的等量关系，步骤清晰，属于常规题型，能有效考察学生对一元一次方程应用的掌握程度。
【难度系数】
0.7
11. 小明每天早上要赶到距家1200米的学校上学.一天,他以80米/分的速度出发,5分钟后,小明的爸爸发现他忘了带语文书,爸爸以180米/分的速度去追小明,并且在途中追上了他.
(1)爸爸追上小明用了多少分钟?
(2)爸爸追上小明时,小明距离学校还有多少米?
(1)爸爸追上小明用了多少分钟?
(2)爸爸追上小明时,小明距离学校还有多少米?
答案
11.解:(1)设爸爸追上小明用了x分钟,
根据题意,得$80(x+5)=180x$,解得$x=4$.
答:爸爸追上小明用了4分钟.
(2)小明行走的路程为$80×(5+4)=720$(米),
到学校的距离为$1200-720=480$(米).
答:爸爸追上小明时,小明距离学校还有480米.
根据题意,得$80(x+5)=180x$,解得$x=4$.
答:爸爸追上小明用了4分钟.
(2)小明行走的路程为$80×(5+4)=720$(米),
到学校的距离为$1200-720=480$(米).
答:爸爸追上小明时,小明距离学校还有480米.
解析
【分析】
本题为行程中的追及问题，核心等量关系是“爸爸追上小明时，两人行走的路程相等”。第(1)问，设爸爸追上小明的时间为x分钟，小明已提前走5分钟，故小明总行走时间为(x+5)分钟，根据“路程=速度×时间”分别表示两人路程，利用路程相等列一元一次方程求解；第(2)问，先计算小明被追上时的总路程，再用家到学校的总距离减去该路程，得到小明距学校的剩余距离。
【解析】
(1)设爸爸追上小明用了$ x $分钟，
根据题意，两人路程相等，可得方程：
$ 80(x + 5) = 180x $
展开得：$ 80x + 400 = 180x $
移项合并同类项：$ 100x = 400 $
解得：$ x = 4 $
答：爸爸追上小明用了4分钟。
(2)爸爸追上小明时，小明一共行走的时间为$ 5 + 4 = 9 $分钟，
小明行走的路程为：$ 80×9 = 720 $（米）
此时小明距离学校的距离为：$ 1200 - 720 = 480 $（米）
答：爸爸追上小明时，小明距离学校还有480米。
【答案】
11.解:(1)设爸爸追上小明用了x分钟,根据题意,得$80(x+5)=180x$,解得$x=4$.答:爸爸追上小明用了4分钟.(2)小明行走的路程为$80×(5+4)=720$(米),到学校的距离为$1200-720=480$(米).答:爸爸追上小明时,小明距离学校还有480米.
【知识点】
一元一次方程的应用，追及问题
【点评】
本题是初中数学基础的行程追及应用题，通过建立一元一次方程解决实际问题，考查学生对行程问题中路程、速度、时间关系的理解与应用，难度适中，是学生需掌握的典型题型。
【难度系数】
0.6
本题为行程中的追及问题，核心等量关系是“爸爸追上小明时，两人行走的路程相等”。第(1)问，设爸爸追上小明的时间为x分钟，小明已提前走5分钟，故小明总行走时间为(x+5)分钟，根据“路程=速度×时间”分别表示两人路程，利用路程相等列一元一次方程求解；第(2)问，先计算小明被追上时的总路程，再用家到学校的总距离减去该路程，得到小明距学校的剩余距离。
【解析】
(1)设爸爸追上小明用了$ x $分钟，
根据题意，两人路程相等，可得方程：
$ 80(x + 5) = 180x $
展开得：$ 80x + 400 = 180x $
移项合并同类项：$ 100x = 400 $
解得：$ x = 4 $
答：爸爸追上小明用了4分钟。
(2)爸爸追上小明时，小明一共行走的时间为$ 5 + 4 = 9 $分钟，
小明行走的路程为：$ 80×9 = 720 $（米）
此时小明距离学校的距离为：$ 1200 - 720 = 480 $（米）
答：爸爸追上小明时，小明距离学校还有480米。
【答案】
11.解:(1)设爸爸追上小明用了x分钟,根据题意,得$80(x+5)=180x$,解得$x=4$.答:爸爸追上小明用了4分钟.(2)小明行走的路程为$80×(5+4)=720$(米),到学校的距离为$1200-720=480$(米).答:爸爸追上小明时,小明距离学校还有480米.
【知识点】
一元一次方程的应用，追及问题
【点评】
本题是初中数学基础的行程追及应用题，通过建立一元一次方程解决实际问题，考查学生对行程问题中路程、速度、时间关系的理解与应用，难度适中，是学生需掌握的典型题型。
【难度系数】
0.6
12. 某航空母舰始终以 40 千米/时的速度由西向东航行,飞机以 800 千米/时的速度从舰上起飞,向西航行执行任务.如果飞机在空中最多能连续飞行 4 小时,那么它在起飞多少小时后就必须返航,才能安全停在舰上?
答案
12.解:设飞机在起飞x小时后就必须返航,
根据题意,得$800(4-x)=800x+40×4$,解得$x=1.9$.
答:飞机在起飞1.9小时后就必须返航,才能安全停在舰上.
根据题意,得$800(4-x)=800x+40×4$,解得$x=1.9$.
答:飞机在起飞1.9小时后就必须返航,才能安全停在舰上.
解析
【分析】
要解决这个问题，需明确飞机往返时与航空母舰的路程关系：飞机向西执行任务时，航空母舰向东航行，两者背向而行，飞机起飞$ x $小时后，两者的相对距离为飞机向西的路程与航母向东的路程之和；飞机返航向东时，需在剩余时间内追上继续向东航行的航空母舰，此时飞机返航的路程等于初始相对距离加上航母在总飞行时间内的总路程。设起飞$ x $小时后返航，根据路程等量关系列一元一次方程即可求解。
【解析】
设飞机在起飞$ x $小时后必须返航，才能安全停在舰上。
根据题意，飞机向西飞行$ x $小时的路程为$ 800x $千米，航空母舰4小时向东航行的总路程为$ 40×4 $千米；飞机返航时间为$ (4 - x) $小时，返航飞行的路程为$ 800(4 - x) $千米，该路程需等于飞机去程路程与航母总路程之和，据此列方程：
$800(4 - x) = 800x + 40×4$
解方程：
$3200 - 800x = 800x + 160$
$1600x = 3040$
$x = 1.9$
【答案】
飞机在起飞1.9小时后就必须返航，才能安全停在舰上。
【知识点】
一元一次方程的应用、行程问题
【点评】
本题是行程类一元一次方程应用题，核心是找准飞机往返路程与航母行驶路程的等量关系，属于基础实际应用题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，需明确飞机往返时与航空母舰的路程关系：飞机向西执行任务时，航空母舰向东航行，两者背向而行，飞机起飞$ x $小时后，两者的相对距离为飞机向西的路程与航母向东的路程之和；飞机返航向东时，需在剩余时间内追上继续向东航行的航空母舰，此时飞机返航的路程等于初始相对距离加上航母在总飞行时间内的总路程。设起飞$ x $小时后返航，根据路程等量关系列一元一次方程即可求解。
【解析】
设飞机在起飞$ x $小时后必须返航，才能安全停在舰上。
根据题意，飞机向西飞行$ x $小时的路程为$ 800x $千米，航空母舰4小时向东航行的总路程为$ 40×4 $千米；飞机返航时间为$ (4 - x) $小时，返航飞行的路程为$ 800(4 - x) $千米，该路程需等于飞机去程路程与航母总路程之和，据此列方程：
$800(4 - x) = 800x + 40×4$
解方程：
$3200 - 800x = 800x + 160$
$1600x = 3040$
$x = 1.9$
【答案】
飞机在起飞1.9小时后就必须返航，才能安全停在舰上。
【知识点】
一元一次方程的应用、行程问题
【点评】
本题是行程类一元一次方程应用题，核心是找准飞机往返路程与航母行驶路程的等量关系，属于基础实际应用题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
13. 某船从 A 码头顺流而下到达 B 码头,然后原路逆流返回,到达 A,B 两码头之间的 C 码头,一共航行了7小时,已知此船在静水中的速度为7.5千米/时,水流速度为2.5千米/时.A,C两码头之间的航程为 10 千米,求 A,B 两码头之间的航程.
答案
13.解:设A,B两码头之间的航程为x千米,则B,C间的航程为$(x-10)$千米,
根据题意,得$\frac{x}{7.5+2.5}+\frac{x-10}{7.5-2.5}=7$,解得$x=30$.
答:A,B两码头之间的航程为30千米.
根据题意,得$\frac{x}{7.5+2.5}+\frac{x-10}{7.5-2.5}=7$,解得$x=30$.
答:A,B两码头之间的航程为30千米.
解析
【分析】
本题属于流水行船的行程问题，解题关键是明确顺流、逆流速度的计算公式：顺流速度=船在静水中的速度+水流速度，逆流速度=船在静水中的速度-水流速度。题目中总航行时间为7小时，分为A到B的顺流段和B到C的逆流段，已知A、C间航程为10千米，设A、B间航程为x千米，则B、C间航程为$(x-10)$千米。根据“顺流航行时间+逆流航行时间=总航行时间”的等量关系，结合“时间=路程÷速度”，即可列出一元一次方程求解。
【解析】
解：设A、B两码头之间的航程为$x$千米，则B、C两码头之间的航程为$(x-10)$千米。
船的顺流速度为：$7.5 + 2.5 = 10$（千米/时），逆流速度为：$7.5 - 2.5 = 5$（千米/时）。
根据总航行时间为7小时，可列方程：
$\frac{x}{10} + \frac{x - 10}{5} = 7$
解方程：
两边同乘10消去分母得：$x + 2(x - 10) = 70$
展开括号：$x + 2x - 20 = 70$
合并同类项：$3x = 90$
解得：$x = 30$
答：A、B两码头之间的航程为30千米。
【答案】
30千米
【知识点】
一元一次方程应用、流水行船问题
【点评】
本题是流水行船中的基础行程应用题，核心是掌握顺、逆流速度的计算方法，通过设未知数，利用总时间的等量关系列方程求解，步骤清晰，适合学生巩固一元一次方程的应用。
【难度系数】
0.7
本题属于流水行船的行程问题，解题关键是明确顺流、逆流速度的计算公式：顺流速度=船在静水中的速度+水流速度，逆流速度=船在静水中的速度-水流速度。题目中总航行时间为7小时，分为A到B的顺流段和B到C的逆流段，已知A、C间航程为10千米，设A、B间航程为x千米，则B、C间航程为$(x-10)$千米。根据“顺流航行时间+逆流航行时间=总航行时间”的等量关系，结合“时间=路程÷速度”，即可列出一元一次方程求解。
【解析】
解：设A、B两码头之间的航程为$x$千米，则B、C两码头之间的航程为$(x-10)$千米。
船的顺流速度为：$7.5 + 2.5 = 10$（千米/时），逆流速度为：$7.5 - 2.5 = 5$（千米/时）。
根据总航行时间为7小时，可列方程：
$\frac{x}{10} + \frac{x - 10}{5} = 7$
解方程：
两边同乘10消去分母得：$x + 2(x - 10) = 70$
展开括号：$x + 2x - 20 = 70$
合并同类项：$3x = 90$
解得：$x = 30$
答：A、B两码头之间的航程为30千米。
【答案】
30千米
【知识点】
一元一次方程应用、流水行船问题
【点评】
本题是流水行船中的基础行程应用题，核心是掌握顺、逆流速度的计算方法，通过设未知数，利用总时间的等量关系列方程求解，步骤清晰，适合学生巩固一元一次方程的应用。
【难度系数】
0.7
