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1. 如图,小航同学在超市帮妈妈买回一袋纸杯,他把纸杯整齐地叠放在一起,请根据图中信息计算,把50个这样的纸杯整齐地叠放在一起时,它的高度为 （
A.56 cm
B.57 cm
C.58 cm
D.59 cm
B
）A.56 cm
B.57 cm
C.58 cm
D.59 cm
答案
1.B
解析
【分析】本题是利用一次函数模型解决实际问题的典型题型。解题思路：先根据不同数量纸杯叠放的高度，推导每增加1个纸杯增加的高度，以及单个纸杯的基础高度，进而得到n个纸杯叠放的高度公式，最后代入n=50计算结果。
【解析】设n个纸杯整齐叠放的总高度为$ H $ cm，单个纸杯的基础高度为$ y $ cm，每增加1个纸杯，高度增加$ x $ cm，则总高度公式为：$ H = y + (n-1)x $。
根据题图信息：
当$ n=3 $时，$ H=10 $ cm，代入得：$ y + 2x = 10 $；
当$ n=8 $时，$ H=15 $ cm，代入得：$ y + 7x = 15 $。
用第二个方程减去第一个方程：$(y+7x)-(y+2x)=15-10$，化简得$5x=5$，解得$x=1$。
将$x=1$代入$y+2x=10$，得$y=10-2×1=8$。
因此，n个纸杯叠放的高度公式为：$ H=8 + (n-1)×1 = n+7 $。
当$n=50$时，$H=50+7=57$ cm。
【答案】B
【知识点】一次函数的应用
【点评】本题结合生活实际考查一次函数模型的建立与应用，核心是找到纸杯数量与总高度的线性关系，难度适中，属于常见的实际应用类题目。
【难度系数】0.5
【解析】设n个纸杯整齐叠放的总高度为$ H $ cm，单个纸杯的基础高度为$ y $ cm，每增加1个纸杯，高度增加$ x $ cm，则总高度公式为：$ H = y + (n-1)x $。
根据题图信息：
当$ n=3 $时，$ H=10 $ cm，代入得：$ y + 2x = 10 $；
当$ n=8 $时，$ H=15 $ cm，代入得：$ y + 7x = 15 $。
用第二个方程减去第一个方程：$(y+7x)-(y+2x)=15-10$，化简得$5x=5$，解得$x=1$。
将$x=1$代入$y+2x=10$，得$y=10-2×1=8$。
因此，n个纸杯叠放的高度公式为：$ H=8 + (n-1)×1 = n+7 $。
当$n=50$时，$H=50+7=57$ cm。
【答案】B
【知识点】一次函数的应用
【点评】本题结合生活实际考查一次函数模型的建立与应用，核心是找到纸杯数量与总高度的线性关系，难度适中，属于常见的实际应用类题目。
【难度系数】0.5
2. 如图,表中给出的是某月的日历,任意选取“U”型框中的7个数(如阴影部分所示),请你运用所学的数学知识来研究,此月这7个数的和可能是（
A.106
B.98
C.84
D.78
B
）A.106
B.98
C.84
D.78
答案
2.B
解析
【分析】
首先明确日历的数字规律：每行共7个数，相邻两行同一列的数相差7，同一行相邻数相差1。观察U型框的结构，可设底部中间的数为y，进而表示出框内7个数，通过求和推导和的特征，再结合选项验证是否符合日历的排列要求。
【解析】
设U型框底部中间的数为y，则框内7个数分别为：最上方两个数$y-14$、$y-12$，中间行两个数$y-7$、$y-5$，底部三个数$y$、$y+1$、$y+2$。
计算7个数的和：
$\begin{aligned}&(y-14)+(y-12)+(y-7)+(y-5)+y+(y+1)+(y+2)\\=&7y + (-14-12-7-5+1+2)\\=&7y -35\\=&7(y-5)\end{aligned}$
由此可知，7个数的和必为7的倍数，选项中78、106不是7的倍数，排除A、D；
若和为98（选项B）：$7(y-5)=98$，解得$y=19$，对应7个数为5、7、12、14、19、20、21，在日历中可找到对应位置，符合U型框结构；
若和为84（选项C）：$7(y-5)=84$，解得$y=17$，对应7个数中，$y-7=10$所在行的列数为5，$y-5=12$需在列7（超出日历的7列），无法构成U型框，排除。
综上，答案为B。
【答案】
B
【知识点】
日历数字规律、整式加减
【点评】
本题通过分析日历数字的排列特征，用整式表示U型框内的数并求和，结合选项验证合理性，考查了逻辑推理与运算能力，关键是准确推导U型框内数的表达式。
【难度系数】
0.5
首先明确日历的数字规律：每行共7个数，相邻两行同一列的数相差7，同一行相邻数相差1。观察U型框的结构，可设底部中间的数为y，进而表示出框内7个数，通过求和推导和的特征，再结合选项验证是否符合日历的排列要求。
【解析】
设U型框底部中间的数为y，则框内7个数分别为：最上方两个数$y-14$、$y-12$，中间行两个数$y-7$、$y-5$，底部三个数$y$、$y+1$、$y+2$。
计算7个数的和：
$\begin{aligned}&(y-14)+(y-12)+(y-7)+(y-5)+y+(y+1)+(y+2)\\=&7y + (-14-12-7-5+1+2)\\=&7y -35\\=&7(y-5)\end{aligned}$
由此可知，7个数的和必为7的倍数，选项中78、106不是7的倍数，排除A、D；
若和为98（选项B）：$7(y-5)=98$，解得$y=19$，对应7个数为5、7、12、14、19、20、21，在日历中可找到对应位置，符合U型框结构；
若和为84（选项C）：$7(y-5)=84$，解得$y=17$，对应7个数中，$y-7=10$所在行的列数为5，$y-5=12$需在列7（超出日历的7列），无法构成U型框，排除。
综上，答案为B。
【答案】
B
【知识点】
日历数字规律、整式加减
【点评】
本题通过分析日历数字的排列特征，用整式表示U型框内的数并求和，结合选项验证合理性，考查了逻辑推理与运算能力，关键是准确推导U型框内数的表达式。
【难度系数】
0.5
3.一个两位数,个位数字与十位数字的和是9,如果将个位数字与十位数字对调后,所得的新数比原数大9,那么原来的两位数是
45
.答案
3.45
解析
【分析】首先明确两位数的表示方法：两位数=十位数字×10 + 个位数字。设原两位数的十位数字为未知数，根据“个位与十位数字和为9”表示出个位数字，再分别写出原数和对调后的新数，利用“新数比原数大9”的等量关系列方程，求解后确定原两位数。
【解析】设原两位数的十位数字为$x$，则个位数字为$9 - x$。
原两位数可表示为：$10x + (9 - x) = 9x + 9$；
对调后的新两位数可表示为：$10(9 - x) + x = 90 - 9x$；
根据“新数比原数大9”列方程：
$(90 - 9x) - (9x + 9) = 9$
去括号得：$90 - 9x - 9x - 9 = 9$
合并同类项得：$81 - 18x = 9$
移项得：$-18x = 9 - 81$
计算得：$-18x = -72$
解得：$x = 4$
则个位数字为$9 - 4 = 5$，因此原来的两位数是$45$。
【答案】45
【知识点】一元一次方程的应用、两位数的表示
【点评】本题是典型的数字问题应用题，核心是掌握两位数的表示方法，通过设未知数建立方程求解，步骤清晰，难度较低，适合基础阶段学生练习。
【难度系数】0.6
【解析】设原两位数的十位数字为$x$，则个位数字为$9 - x$。
原两位数可表示为：$10x + (9 - x) = 9x + 9$；
对调后的新两位数可表示为：$10(9 - x) + x = 90 - 9x$；
根据“新数比原数大9”列方程：
$(90 - 9x) - (9x + 9) = 9$
去括号得：$90 - 9x - 9x - 9 = 9$
合并同类项得：$81 - 18x = 9$
移项得：$-18x = 9 - 81$
计算得：$-18x = -72$
解得：$x = 4$
则个位数字为$9 - 4 = 5$，因此原来的两位数是$45$。
【答案】45
【知识点】一元一次方程的应用、两位数的表示
【点评】本题是典型的数字问题应用题，核心是掌握两位数的表示方法，通过设未知数建立方程求解，步骤清晰，难度较低，适合基础阶段学生练习。
【难度系数】0.6
4. 有这样一列数，按一定规律排列成$-1,2,-4,8,-16,···$. 其中某三个相邻数的和是$-768$，求这三个数中最小的数.
答案
解:设相邻的三个数中最前面的数为x,则另外两个数分别为-2x,4x,
根据题意,得x-2x+4x=-768,解得x=-256,
所以-2x=512,4x=-1024,
所以三个数中最小的数是-1024.
答:这三个数中最小的数为-1024.
根据题意,得x-2x+4x=-768,解得x=-256,
所以-2x=512,4x=-1024,
所以三个数中最小的数是-1024.
答:这三个数中最小的数为-1024.
解析
【分析】首先观察数列$-1,2,-4,8,-16,\dots$，发现规律为后一个数是前一个数的$-2$倍，因此相邻三个数中，若设第一个数为$x$，则第二个数为$-2x$，第三个数为$4x$。题目给出这三个相邻数的和是$-768$，据此可通过列一元一次方程求解，进而确定三个数中最小的数。
【解析】解：设相邻三个数中最前面的数为$x$，则另外两个数分别为$-2x$、$4x$。
根据题意，列方程得：
$x - 2x + 4x = -768$
合并同类项得：$3x = -768$
解得：$x = -256$
则另外两个数为：$-2x = -2×(-256)=512$，$4x = 4×(-256)=-1024$
比较三个数$-256$、$512$、$-1024$，最小的数是$-1024$。
【答案】$-1024$
【知识点】一元一次方程的应用、有理数的规律探索
【点评】本题是规律探索类的一元一次方程应用题，关键在于先发现数列相邻数的倍数关系，再通过设未知数列方程求解，考查学生的规律观察能力和方程应用能力。
【难度系数】0.5
【解析】解：设相邻三个数中最前面的数为$x$，则另外两个数分别为$-2x$、$4x$。
根据题意，列方程得：
$x - 2x + 4x = -768$
合并同类项得：$3x = -768$
解得：$x = -256$
则另外两个数为：$-2x = -2×(-256)=512$，$4x = 4×(-256)=-1024$
比较三个数$-256$、$512$、$-1024$，最小的数是$-1024$。
【答案】$-1024$
【知识点】一元一次方程的应用、有理数的规律探索
【点评】本题是规律探索类的一元一次方程应用题，关键在于先发现数列相邻数的倍数关系，再通过设未知数列方程求解，考查学生的规律观察能力和方程应用能力。
【难度系数】0.5
5. 已知有大、小两种纸杯与甲、乙两桶果汁，其中小纸杯与大纸杯的容量比为$2:3$，甲桶果汁与乙桶果汁的体积比为$4:5$，若甲桶内的果汁刚好装满小纸杯120个，则乙桶内的果汁最多可装满个大纸杯. （
A.64
B.100
C.144
D.225
B
）A.64
B.100
C.144
D.225
答案
5.B
解析
【分析】
这是一道比例应用题，解题思路为：先根据小、大纸杯的容量比设出容量参数，结合甲桶装满小纸杯的数量算出甲桶果汁体积；再利用甲、乙桶的体积比求出乙桶果汁体积；最后用乙桶体积除以大纸杯容量，得到乙桶可装大纸杯的数量。
【解析】
设小纸杯容量为$2k$，大纸杯容量为$3k$（$k≠0$）。
1. 甲桶果汁体积：甲桶刚好装满120个小纸杯，因此甲桶体积为$2k×120 = 240k$。
2. 乙桶果汁体积：已知甲、乙桶果汁体积比为$4:5$，则乙桶体积为$240k×\frac{5}{4} = 300k$。
3. 乙桶可装大纸杯数量：用乙桶体积除以大纸杯容量，即$300k÷3k = 100$。
因此乙桶内的果汁最多可装满100个大纸杯，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
比例的应用
【点评】
本题通过实际场景考查比例关系的运用，核心是理清各量间的比例联系，逐步推导求解，属于基础比例应用题，难度适中。
【难度系数】
0.6
这是一道比例应用题，解题思路为：先根据小、大纸杯的容量比设出容量参数，结合甲桶装满小纸杯的数量算出甲桶果汁体积；再利用甲、乙桶的体积比求出乙桶果汁体积；最后用乙桶体积除以大纸杯容量，得到乙桶可装大纸杯的数量。
【解析】
设小纸杯容量为$2k$，大纸杯容量为$3k$（$k≠0$）。
1. 甲桶果汁体积：甲桶刚好装满120个小纸杯，因此甲桶体积为$2k×120 = 240k$。
2. 乙桶果汁体积：已知甲、乙桶果汁体积比为$4:5$，则乙桶体积为$240k×\frac{5}{4} = 300k$。
3. 乙桶可装大纸杯数量：用乙桶体积除以大纸杯容量，即$300k÷3k = 100$。
因此乙桶内的果汁最多可装满100个大纸杯，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
比例的应用
【点评】
本题通过实际场景考查比例关系的运用，核心是理清各量间的比例联系，逐步推导求解，属于基础比例应用题，难度适中。
【难度系数】
0.6
6. 一个三角形三条边长的比是 $2:4:5$，最长的边比最短的边长 6 cm，则这个三角形的周长为
22
cm.答案
6.22
解析
【分析】本题给出三角形三边的比例关系及最长边与最短边的长度差，可通过设“每份长度为x cm”将三边转化为含x的代数式，再根据长度差列方程求解x，最后计算三边之和得到周长。
【解析】设该三角形三条边的长度分别为2x cm、4x cm、5x cm（x＞0）。根据题意，最长边比最短边长6 cm，列方程得：5x - 2x = 6，解得3x=6，即x=2。则三条边的长度分别为2×2=4 cm、4×2=8 cm、5×2=10 cm，周长为4+8+10=22 cm。
【答案】22
【知识点】一元一次方程的应用、比例的应用
【点评】本题是初中数学基础应用题，核心是利用比例设未知数结合方程求解，步骤清晰，主要考察学生对比例关系和一元一次方程的基本应用能力。
【难度系数】0.7
【解析】设该三角形三条边的长度分别为2x cm、4x cm、5x cm（x＞0）。根据题意，最长边比最短边长6 cm，列方程得：5x - 2x = 6，解得3x=6，即x=2。则三条边的长度分别为2×2=4 cm、4×2=8 cm、5×2=10 cm，周长为4+8+10=22 cm。
【答案】22
【知识点】一元一次方程的应用、比例的应用
【点评】本题是初中数学基础应用题，核心是利用比例设未知数结合方程求解，步骤清晰，主要考察学生对比例关系和一元一次方程的基本应用能力。
【难度系数】0.7
