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7. (2024·江西改编)如图,书架宽 84 cm,在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书,已知每本数学书厚 0.8 cm,每本语文书厚 1.2 cm.
(1)数学书和语文书共 90 本恰好摆满该书架,求书架上摆了数学书和语文书各多少本;
(2)如果书架上已摆放了 10 本语文书,那么数学书最多还可以摆放多少本?
(1)数学书和语文书共 90 本恰好摆满该书架,求书架上摆了数学书和语文书各多少本;
(2)如果书架上已摆放了 10 本语文书,那么数学书最多还可以摆放多少本?
答案
7.解:(1)设书架上摆了数学书x本,语文书(90-x)本,
根据题意,得0.8x+1.2(90-x)=84,解得x=60,
所以90-x=30.
答:书架上摆了数学书60本,语文书30本.
(2)84-1.2×10=72(cm),
72÷0.8=90(本)
答:数学书最多还可以摆放90本.
根据题意,得0.8x+1.2(90-x)=84,解得x=60,
所以90-x=30.
答:书架上摆了数学书60本,语文书30本.
(2)84-1.2×10=72(cm),
72÷0.8=90(本)
答:数学书最多还可以摆放90本.
解析
【分析】
第(1)问属于一元一次方程的实际应用问题，已知两种书的总本数、书架总宽度及单本厚度，通过设未知数表示两种书的数量，根据“两种书总厚度之和等于书架宽度”的等量关系列方程求解；第(2)问先算出已放语文书占用的宽度，再求剩余宽度，用剩余宽度除以数学书单本厚度，即可得到最多可摆放的数学书数量。
【解析】
(1) 设书架上摆了数学书$x$本，则语文书有$(90 - x)$本。
根据题意列方程：
$0.8x + 1.2(90 - x) = 84$
展开得：$0.8x + 108 - 1.2x = 84$
移项合并：$-0.4x = -24$
解得：$x = 60$
则语文书数量为$90 - 60 = 30$本。
(2) 10本语文书占用宽度：$1.2×10 = 12$cm
剩余可摆放数学书的宽度：$84 - 12 = 72$cm
最多可摆放数学书数量：$72÷0.8 = 90$本。
【答案】
(1) 数学书60本，语文书30本；(2) 90本
【知识点】
一元一次方程应用、实际数量计算
【点评】
本题是结合生活场景的基础应用题，考查学生将实际问题转化为数学方程的能力，解题关键是找准等量关系，步骤清晰易懂。
【难度系数】
0.7
第(1)问属于一元一次方程的实际应用问题，已知两种书的总本数、书架总宽度及单本厚度，通过设未知数表示两种书的数量，根据“两种书总厚度之和等于书架宽度”的等量关系列方程求解；第(2)问先算出已放语文书占用的宽度，再求剩余宽度，用剩余宽度除以数学书单本厚度，即可得到最多可摆放的数学书数量。
【解析】
(1) 设书架上摆了数学书$x$本，则语文书有$(90 - x)$本。
根据题意列方程：
$0.8x + 1.2(90 - x) = 84$
展开得：$0.8x + 108 - 1.2x = 84$
移项合并：$-0.4x = -24$
解得：$x = 60$
则语文书数量为$90 - 60 = 30$本。
(2) 10本语文书占用宽度：$1.2×10 = 12$cm
剩余可摆放数学书的宽度：$84 - 12 = 72$cm
最多可摆放数学书数量：$72÷0.8 = 90$本。
【答案】
(1) 数学书60本，语文书30本；(2) 90本
【知识点】
一元一次方程应用、实际数量计算
【点评】
本题是结合生活场景的基础应用题，考查学生将实际问题转化为数学方程的能力，解题关键是找准等量关系，步骤清晰易懂。
【难度系数】
0.7
8.生活中处处有数学,如图,表一是某月的日历表,用一个长方形框出了9个数.
(1)若一个长方形框内9个数字之和是108,求出它中间的数字;
(2)将自然数1至2024按表二的方式排列,框出9个数其和能为2025吗?若能,求出该长方形框中的最小数;若不能,请说明理由.
(1)若一个长方形框内9个数字之和是108,求出它中间的数字;
(2)将自然数1至2024按表二的方式排列,框出9个数其和能为2025吗?若能,求出该长方形框中的最小数;若不能,请说明理由.
答案
8.解:(1)设中间的数字为a,则9a=108,解得a=12.
(2)不能.理由:设长方形框的中间数字为x,
根据题意,得9x=2025,解得x=225.
因为225÷7=32……1,所以225在第1列,
故这样的9个数不存在.
(2)不能.理由:设长方形框的中间数字为x,
根据题意,得9x=2025,解得x=225.
因为225÷7=32……1,所以225在第1列,
故这样的9个数不存在.
解析
【分析】
本题的核心是利用日历中数字的排列规律：上下相邻数差7，左右相邻数差1，因此框出的9个数的和等于中间数的9倍。对于第一问，直接利用该规律设中间数列方程求解；对于第二问，需先求出中间数，再结合表二每行7个数的排列特点，判断中间数的位置是否能框出9个数（中间数不能在第1列或第7列，否则无法形成3行3列的框）。
【解析】
(1) 设中间的数字为$ a $，根据9个数的和是中间数的9倍，列方程：
$ 9a = 108 $
解得：$ a = 12 $
(2) 设长方形框的中间数字为$ x $，若能框出9个数，则和为$ 9x $，根据题意列方程：
$ 9x = 2025 $
解得：$ x = 225 $
判断225的位置：表二每行7个数，计算$ 225 ÷ 7 = 32······1 $，即225是第33行第1个数，在第1列。
要框出9个数，中间数左边需有1个数，因此中间数不能在第1列，故无法框出符合条件的9个数，和不能为2025。
【答案】
(1) 中间数字为12；(2) 不能，理由：设中间数为$ x $，解得$ x=225 $，225在第1列，无法框出9个数，故和不能为2025。
【知识点】
日历数字规律，一元一次方程应用，数的排列规律
【点评】
本题考查规律型的数字问题，关键是掌握9个数与中间数的关系，以及判断数的位置是否符合框数要求，是一道基础的规律应用题目。
【难度系数】
0.5
本题的核心是利用日历中数字的排列规律：上下相邻数差7，左右相邻数差1，因此框出的9个数的和等于中间数的9倍。对于第一问，直接利用该规律设中间数列方程求解；对于第二问，需先求出中间数，再结合表二每行7个数的排列特点，判断中间数的位置是否能框出9个数（中间数不能在第1列或第7列，否则无法形成3行3列的框）。
【解析】
(1) 设中间的数字为$ a $，根据9个数的和是中间数的9倍，列方程：
$ 9a = 108 $
解得：$ a = 12 $
(2) 设长方形框的中间数字为$ x $，若能框出9个数，则和为$ 9x $，根据题意列方程：
$ 9x = 2025 $
解得：$ x = 225 $
判断225的位置：表二每行7个数，计算$ 225 ÷ 7 = 32······1 $，即225是第33行第1个数，在第1列。
要框出9个数，中间数左边需有1个数，因此中间数不能在第1列，故无法框出符合条件的9个数，和不能为2025。
【答案】
(1) 中间数字为12；(2) 不能，理由：设中间数为$ x $，解得$ x=225 $，225在第1列，无法框出9个数，故和不能为2025。
【知识点】
日历数字规律，一元一次方程应用，数的排列规律
【点评】
本题考查规律型的数字问题，关键是掌握9个数与中间数的关系，以及判断数的位置是否符合框数要求，是一道基础的规律应用题目。
【难度系数】
0.5
9. 用同样规格的灰白两种颜色的正方形瓷砖，按如图的方式铺地面。
(1) 观察图形，填写下表：
(2) 依上表可推测，第$n$个图形中灰色瓷砖的数量为
(3) 白色瓷砖与灰色瓷砖的总数量可能是 2024 块吗？若能，求出是第几个图形；若不能，请说明理由。
(1) 观察图形，填写下表：
(2) 依上表可推测，第$n$个图形中灰色瓷砖的数量为
(3n+1)
块，灰白两种瓷砖的总数量为 (6n+3)
块；(用含$n$的代数式表示)(3) 白色瓷砖与灰色瓷砖的总数量可能是 2024 块吗？若能，求出是第几个图形；若不能，请说明理由。
答案
9.(1)10 21 (2)(3n+1) (6n+3)
(3)解:不能.理由如下:
令6n+3=2024,解得n=336$\frac{5}{6}$,
又因为n为正整数,所以白色瓷砖与灰色瓷砖的总数量不能是2024块.
(3)解:不能.理由如下:
令6n+3=2024,解得n=336$\frac{5}{6}$,
又因为n为正整数,所以白色瓷砖与灰色瓷砖的总数量不能是2024块.
解析
【分析】
本题为图形规律探究问题，解题思路：①观察图形，数出对应图形的灰色瓷砖数和总瓷砖数，完成表格；②分析灰色瓷砖、总瓷砖数随图形序号n的变化，归纳出含n的代数式；③假设总瓷砖数为2024，列方程求解，结合n为正整数的实际意义判断是否存在对应图形。
【解析】
(1) 观察图形，第3个图形中灰色瓷砖数量为10块，灰白总瓷砖数量为21块，故表格填写10、21；
(2) 灰色瓷砖数量：第1个图形为$4=3×1+1$，第2个为$7=3×2+1$，第3个为$10=3×3+1$，因此第n个图形灰色瓷砖数为$(3n+1)$块；总瓷砖数量：第1个为$9=6×1+3$，第2个为$15=6×2+3$，第3个为$21=6×3+3$，因此第n个图形总瓷砖数为$(6n+3)$块；
(3) 假设总瓷砖数为2024块，令$6n+3=2024$，解得$n=336\frac{5}{6}$，因n为图形序号，必须是正整数，而$336\frac{5}{6}$不是正整数，故总数量不可能为2024块。
【答案】
9.(1)10 21 (2)$(3n+1)$ $(6n+3)$ (3)不能，理由：令$6n+3=2024$，解得$n=336\frac{5}{6}$，n不是正整数，故总数量不能为2024块。
【知识点】
图形规律探索、代数式表示、一元一次方程应用
【点评】
本题通过图形数量变化探究规律，考查观察归纳能力与方程应用能力，需注意n为正整数的实际约束，属于中等难度的规律探究题。
【难度系数】
0.5
本题为图形规律探究问题，解题思路：①观察图形，数出对应图形的灰色瓷砖数和总瓷砖数，完成表格；②分析灰色瓷砖、总瓷砖数随图形序号n的变化，归纳出含n的代数式；③假设总瓷砖数为2024，列方程求解，结合n为正整数的实际意义判断是否存在对应图形。
【解析】
(1) 观察图形，第3个图形中灰色瓷砖数量为10块，灰白总瓷砖数量为21块，故表格填写10、21；
(2) 灰色瓷砖数量：第1个图形为$4=3×1+1$，第2个为$7=3×2+1$，第3个为$10=3×3+1$，因此第n个图形灰色瓷砖数为$(3n+1)$块；总瓷砖数量：第1个为$9=6×1+3$，第2个为$15=6×2+3$，第3个为$21=6×3+3$，因此第n个图形总瓷砖数为$(6n+3)$块；
(3) 假设总瓷砖数为2024块，令$6n+3=2024$，解得$n=336\frac{5}{6}$，因n为图形序号，必须是正整数，而$336\frac{5}{6}$不是正整数，故总数量不可能为2024块。
【答案】
9.(1)10 21 (2)$(3n+1)$ $(6n+3)$ (3)不能，理由：令$6n+3=2024$，解得$n=336\frac{5}{6}$，n不是正整数，故总数量不能为2024块。
【知识点】
图形规律探索、代数式表示、一元一次方程应用
【点评】
本题通过图形数量变化探究规律，考查观察归纳能力与方程应用能力，需注意n为正整数的实际约束，属于中等难度的规律探究题。
【难度系数】
0.5
