登录
1. 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中$∠ C=90°,a=12,b=16$,则$c$ 的长为 $\quad (\quad)$
A.26
B.18
C.20
D.21
A.26
B.18
C.20
D.21
答案
1.C
解析
【分析】
首先观察题目已知是直角三角形，∠C=90°，因此∠C所对的边c是斜边，a、b为两条直角边，求斜边长度可直接使用勾股定理求解。解题思路为：第一步根据直角的位置确定斜边，第二步代入勾股定理公式计算，第三步结合选项选出正确答案。
【解析】
解：
∵ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$
∴ c为斜边，根据勾股定理可得：$c^2=a^2+b^2$
将$a=12$，$b=16$代入得：
$c^2=12^2+16^2=144+256=400$
∵ c为三角形边长，为正数
∴ $c=\sqrt{400}=20$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，解题的关键是先根据直角的位置准确判断斜边，再正确代入公式计算，难度较低，熟练掌握勾股定理即可快速作答。
【难度系数】
0.9
首先观察题目已知是直角三角形，∠C=90°，因此∠C所对的边c是斜边，a、b为两条直角边，求斜边长度可直接使用勾股定理求解。解题思路为：第一步根据直角的位置确定斜边，第二步代入勾股定理公式计算，第三步结合选项选出正确答案。
【解析】
解：
∵ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$
∴ c为斜边，根据勾股定理可得：$c^2=a^2+b^2$
将$a=12$，$b=16$代入得：
$c^2=12^2+16^2=144+256=400$
∵ c为三角形边长，为正数
∴ $c=\sqrt{400}=20$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，解题的关键是先根据直角的位置准确判断斜边，再正确代入公式计算，难度较低，熟练掌握勾股定理即可快速作答。
【难度系数】
0.9
2. 以直角三角形的三边为边长分别向外作正方形，已知其中两个正方形的面积分别为20和16，则第三个正方形的面积为（
A.20
B.24或36
C.16或20
D.4或36
D
）A.20
B.24或36
C.16或20
D.4或36
答案
2.D
解析
【分析】
解决本题首先要明确：直角三角形三边向外作正方形时，正方形的面积等于对应边长的平方，刚好符合勾股定理中“两直角边的平方和等于斜边的平方”的关系。由于题目未说明已知的两个正方形对应直角边还是斜边，因此需要分两种情况讨论：①已知两个正方形对应的都是直角边；②已知较大面积的正方形对应斜边，较小的对应其中一条直角边，分别计算第三个正方形的面积即可。
【解析】
设直角三角形的三边长分别为$a$、$b$、$c$（$c$为斜边），根据勾股定理可得：$a^2 + b^2 = c^2$。
因为正方形的面积等于边长的平方，所以三个正方形的面积恰好对应$a^2$、$b^2$、$c^2$，分两种情况讨论：
1. 若面积为20和16的正方形对应的是直角三角形的两条直角边：
则第三个正方形对应斜边，面积为$20 + 16 = 36$；
2. 若面积为20的正方形对应的是直角三角形的斜边，面积为16的正方形对应其中一条直角边：
则第三个正方形对应另一条直角边，面积为$20 - 16 = 4$。
综上，第三个正方形的面积为4或36，故选D。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；正方形面积计算；分类讨论思想
【点评】
本题是勾股定理的典型应用题型，易错点是容易忽略题目未明确已知正方形对应边的类型，遗漏其中一种情况，解题时要注意考虑全面，避免漏解。
【难度系数】
0.6
解决本题首先要明确：直角三角形三边向外作正方形时，正方形的面积等于对应边长的平方，刚好符合勾股定理中“两直角边的平方和等于斜边的平方”的关系。由于题目未说明已知的两个正方形对应直角边还是斜边，因此需要分两种情况讨论：①已知两个正方形对应的都是直角边；②已知较大面积的正方形对应斜边，较小的对应其中一条直角边，分别计算第三个正方形的面积即可。
【解析】
设直角三角形的三边长分别为$a$、$b$、$c$（$c$为斜边），根据勾股定理可得：$a^2 + b^2 = c^2$。
因为正方形的面积等于边长的平方，所以三个正方形的面积恰好对应$a^2$、$b^2$、$c^2$，分两种情况讨论：
1. 若面积为20和16的正方形对应的是直角三角形的两条直角边：
则第三个正方形对应斜边，面积为$20 + 16 = 36$；
2. 若面积为20的正方形对应的是直角三角形的斜边，面积为16的正方形对应其中一条直角边：
则第三个正方形对应另一条直角边，面积为$20 - 16 = 4$。
综上，第三个正方形的面积为4或36，故选D。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；正方形面积计算；分类讨论思想
【点评】
本题是勾股定理的典型应用题型，易错点是容易忽略题目未明确已知正方形对应边的类型，遗漏其中一种情况，解题时要注意考虑全面，避免漏解。
【难度系数】
0.6
3. 下列三角形中,是直角三角形的是 (
A.三边满足关系$a+b=c$
B.三边之比为$4:5:6$
C.其中一边等于另一边的一半
D.三边分别为9,40,41
D
)A.三边满足关系$a+b=c$
B.三边之比为$4:5:6$
C.其中一边等于另一边的一半
D.三边分别为9,40,41
答案
3.D
解析
【分析】
要判断三角形是否为直角三角形，首先要确认三边能构成三角形（满足任意两边之和大于第三边），再用勾股定理的逆定理验证：若两条短边的平方和等于最长边的平方，就是直角三角形。我们按照这个逻辑逐个分析选项即可。
【解析】
我们对每个选项逐一判断：
A选项：根据三角形三边关系，任意两边之和必须大于第三边，若$a+b=c$，无法构成三角形，自然不是直角三角形，排除；
B选项：设三边长度分别为$4k、5k、6k（k＞0）$，计算得$(4k)^2+(5k)^2=16k^2+25k^2=41k^2$，而$(6k)^2=36k^2$，两者不相等，不符合勾股定理逆定理，不是直角三角形，排除；
C选项：举反例，如三角形三边长为2、3、4，边长2是边长4的一半，但$2^2+3^2=13≠16=4^2$，不是直角三角形，该描述不成立，排除；
D选项：计算两条短边的平方和：$9^2+40^2=81+1600=1681$，最长边的平方：$41^2=1681$，满足$9^2+40^2=41^2$，符合勾股定理逆定理，是直角三角形。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理的逆定理；三角形三边关系
【点评】
本题核心考查直角三角形的判定方法，解题时要注意先验证三边能否构成三角形，再用勾股定理的逆定理判断，避免忽略前提条件出错。
【难度系数】
0.8
要判断三角形是否为直角三角形，首先要确认三边能构成三角形（满足任意两边之和大于第三边），再用勾股定理的逆定理验证：若两条短边的平方和等于最长边的平方，就是直角三角形。我们按照这个逻辑逐个分析选项即可。
【解析】
我们对每个选项逐一判断：
A选项：根据三角形三边关系，任意两边之和必须大于第三边，若$a+b=c$，无法构成三角形，自然不是直角三角形，排除；
B选项：设三边长度分别为$4k、5k、6k（k＞0）$，计算得$(4k)^2+(5k)^2=16k^2+25k^2=41k^2$，而$(6k)^2=36k^2$，两者不相等，不符合勾股定理逆定理，不是直角三角形，排除；
C选项：举反例，如三角形三边长为2、3、4，边长2是边长4的一半，但$2^2+3^2=13≠16=4^2$，不是直角三角形，该描述不成立，排除；
D选项：计算两条短边的平方和：$9^2+40^2=81+1600=1681$，最长边的平方：$41^2=1681$，满足$9^2+40^2=41^2$，符合勾股定理逆定理，是直角三角形。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理的逆定理；三角形三边关系
【点评】
本题核心考查直角三角形的判定方法，解题时要注意先验证三边能否构成三角形，再用勾股定理的逆定理判断，避免忽略前提条件出错。
【难度系数】
0.8
4. 三角形三边长分别为$a^2 + b^2, 2ab, a^2 - b^2(a ＞ b ＞ 0)$，则这个三角形是（
A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.不能确定
A
）A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.不能确定
答案
4.A
解析
【分析】
要判断三角形的形状，可利用勾股定理的逆定理：若三角形两条短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形。解题第一步先比较三边的大小，确定最长边；第二步计算两条短边的平方和，与最长边的平方对比，即可得出结论。
【解析】
∵ $a＞b＞0$，
∴ 先通过作差法比较三边大小：
① $(a^2 + b^2) - 2ab = (a - b)^2 ＞ 0$，故$a^2 + b^2 ＞ 2ab$；
② $(a^2 + b^2) - (a^2 - b^2) = 2b^2 ＞ 0$，故$a^2 + b^2 ＞ a^2 - b^2$；
由此可得最长边为$a^2 + b^2$。
接下来计算两条短边的平方和：
$(2ab)^2 + (a^2 - b^2)^2$
$=4a^2b^2 + a^4 - 2a^2b^2 + b^4$
$=a^4 + 2a^2b^2 + b^4$
再计算最长边的平方：
$(a^2 + b^2)^2 = a^4 + 2a^2b^2 + b^4$
∴ $(2ab)^2 + (a^2 - b^2)^2 = (a^2 + b^2)^2$，符合勾股定理的逆定理，因此这个三角形是直角三角形。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理逆定理，完全平方公式，整式大小比较
【点评】
本题核心是利用勾股定理的逆定理判断三角形形状，解题的关键是先通过作差法确定最长边，再结合完全平方公式完成整式运算验证，计算完全平方时要注意不要漏项或弄错符号。
【难度系数】
0.7
要判断三角形的形状，可利用勾股定理的逆定理：若三角形两条短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形。解题第一步先比较三边的大小，确定最长边；第二步计算两条短边的平方和，与最长边的平方对比，即可得出结论。
【解析】
∵ $a＞b＞0$，
∴ 先通过作差法比较三边大小：
① $(a^2 + b^2) - 2ab = (a - b)^2 ＞ 0$，故$a^2 + b^2 ＞ 2ab$；
② $(a^2 + b^2) - (a^2 - b^2) = 2b^2 ＞ 0$，故$a^2 + b^2 ＞ a^2 - b^2$；
由此可得最长边为$a^2 + b^2$。
接下来计算两条短边的平方和：
$(2ab)^2 + (a^2 - b^2)^2$
$=4a^2b^2 + a^4 - 2a^2b^2 + b^4$
$=a^4 + 2a^2b^2 + b^4$
再计算最长边的平方：
$(a^2 + b^2)^2 = a^4 + 2a^2b^2 + b^4$
∴ $(2ab)^2 + (a^2 - b^2)^2 = (a^2 + b^2)^2$，符合勾股定理的逆定理，因此这个三角形是直角三角形。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理逆定理，完全平方公式，整式大小比较
【点评】
本题核心是利用勾股定理的逆定理判断三角形形状，解题的关键是先通过作差法确定最长边，再结合完全平方公式完成整式运算验证，计算完全平方时要注意不要漏项或弄错符号。
【难度系数】
0.7
5. 在$△ ABC$中，$AB=15$，$AC=13$，高$AD=12$，则$BC$的长为（
A.14
B.4
C.14或4
D.16
C
）A.14
B.4
C.14或4
D.16
答案
5.C
解析
【分析】
题目未明确△ABC的形状，高AD既可能在三角形内部，也可能在三角形外部，因此需要分两种情况讨论。解题时先利用勾股定理分别求出Rt△ABD和Rt△ACD中BD、CD的长度，再结合高的位置计算BC的长度即可。
【解析】
分两种情况计算：
1. 当高AD在△ABC内部时（△ABC为锐角三角形）：
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{15^2-12^2}=\sqrt{225-144}=\sqrt{81}=9$
在Rt△ACD中，由勾股定理得：
$CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{169-144}=\sqrt{25}=5$
此时$BC=BD+CD=9+5=14$
2. 当高AD在△ABC外部时（△ABC为钝角三角形，D在BC的延长线上）：
同理可得BD=9，CD=5，此时$BC=BD-CD=9-5=4$
综上，BC的长为14或4，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；分类讨论思想
【点评】
本题易错点是仅考虑高在三角形内部的情况，忽略钝角三角形的高可在外部的特点，解题时要结合图形的多种可能性分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
题目未明确△ABC的形状，高AD既可能在三角形内部，也可能在三角形外部，因此需要分两种情况讨论。解题时先利用勾股定理分别求出Rt△ABD和Rt△ACD中BD、CD的长度，再结合高的位置计算BC的长度即可。
【解析】
分两种情况计算：
1. 当高AD在△ABC内部时（△ABC为锐角三角形）：
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{15^2-12^2}=\sqrt{225-144}=\sqrt{81}=9$
在Rt△ACD中，由勾股定理得：
$CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{169-144}=\sqrt{25}=5$
此时$BC=BD+CD=9+5=14$
2. 当高AD在△ABC外部时（△ABC为钝角三角形，D在BC的延长线上）：
同理可得BD=9，CD=5，此时$BC=BD-CD=9-5=4$
综上，BC的长为14或4，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；分类讨论思想
【点评】
本题易错点是仅考虑高在三角形内部的情况，忽略钝角三角形的高可在外部的特点，解题时要结合图形的多种可能性分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
6. CD是Rt△ABC斜边AB上的高，若AB=1，AC:BC=4:1，则CD长为 （
A.$\frac{4}{17}$
B.$\frac{3}{17}$
C.$\frac{2}{17}$
D.$\frac{1}{17}$
A
）A.$\frac{4}{17}$
B.$\frac{3}{17}$
C.$\frac{2}{17}$
D.$\frac{1}{17}$
答案
6.A
解析
【分析】
本题为直角三角形的边长计算问题，解题思路如下：第一步，根据两条直角边的比例关系设未知数，结合勾股定理求出两条直角边的乘积；第二步，利用直角三角形面积的两种计算方法（直角边乘积的一半、斜边与斜边上高乘积的一半）建立等量关系，代入数值即可求出CD的长度。
【解析】
设BC的长度为$ x $，由$ AC:BC=4:1 $可得$ AC=4x $。
∵$ △ ABC $是直角三角形，AB为斜边
∴根据勾股定理可得：$ AC^2 + BC^2 = AB^2 $
代入$ AB=1 $、$ AC=4x $、$ BC=x $得：
$ (4x)^2 + x^2 = 1^2 $
$ 16x^2 + x^2 = 1 $
$ 17x^2 = 1 $，即$ x^2 = \frac{1}{17} $
∵CD是斜边AB上的高，三角形面积可表示为两种形式：
$ S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × AC × BC $，也可表示为$ S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × AB × CD $
∴$ AC × BC = AB × CD $
将$ AC=4x $、$ BC=x $、$ AB=1 $代入得：
$ 4x × x = 1 × CD $
$ CD = 4x^2 = 4 × \frac{1}{17} = \frac{4}{17} $
所以本题选A。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理，等面积法，比例的应用
【点评】
本题是直角三角形计算的经典题型，解题关键是熟练运用等面积法建立斜边上的高与边长的关系，计算时采用整体代入$ x^2 $的方法可简化运算，避免不必要的开方计算。
【难度系数】
0.7
本题为直角三角形的边长计算问题，解题思路如下：第一步，根据两条直角边的比例关系设未知数，结合勾股定理求出两条直角边的乘积；第二步，利用直角三角形面积的两种计算方法（直角边乘积的一半、斜边与斜边上高乘积的一半）建立等量关系，代入数值即可求出CD的长度。
【解析】
设BC的长度为$ x $，由$ AC:BC=4:1 $可得$ AC=4x $。
∵$ △ ABC $是直角三角形，AB为斜边
∴根据勾股定理可得：$ AC^2 + BC^2 = AB^2 $
代入$ AB=1 $、$ AC=4x $、$ BC=x $得：
$ (4x)^2 + x^2 = 1^2 $
$ 16x^2 + x^2 = 1 $
$ 17x^2 = 1 $，即$ x^2 = \frac{1}{17} $
∵CD是斜边AB上的高，三角形面积可表示为两种形式：
$ S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × AC × BC $，也可表示为$ S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × AB × CD $
∴$ AC × BC = AB × CD $
将$ AC=4x $、$ BC=x $、$ AB=1 $代入得：
$ 4x × x = 1 × CD $
$ CD = 4x^2 = 4 × \frac{1}{17} = \frac{4}{17} $
所以本题选A。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理，等面积法，比例的应用
【点评】
本题是直角三角形计算的经典题型，解题关键是熟练运用等面积法建立斜边上的高与边长的关系，计算时采用整体代入$ x^2 $的方法可简化运算，避免不必要的开方计算。
【难度系数】
0.7
7.已知$ x,y $为正数，且$ |x^2 - 4| + (y^2 - 3)^2 = 0 $，如果以$ x,y $的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（
A.5
B.25
C.7
D.15
C
）A.5
B.25
C.7
D.15
答案
7.C
解析
【分析】
解题时首先回忆非负数的性质：绝对值和平方数都是非负数，若两个非负数的和为0，则这两个非负数各自等于0，据此可直接求出x²和y²的值；再结合勾股定理，直角三角形斜边的平方等于两条直角边的平方和，也就是等于x²+y²；最后根据正方形面积等于边长的平方，可知所求正方形的面积就是斜边的平方，无需单独计算x、y的具体值，可简化运算过程。
【解析】
解：
∵ 绝对值和平方数均为非负数，即$|x^2 - 4|≥0$，$(y^2 - 3)^2≥0$，且二者之和为0，
∴ 根据非负数的性质可得：
$x^2 - 4=0$，$y^2 - 3=0$，
即$x^2=4$，$y^2=3$。
∵ x、y为直角三角形的两条直角边长，根据勾股定理，
∴ 直角三角形斜边的平方$=x^2+y^2=4+3=7$。
∵ 以斜边为边长的正方形的面积等于边长的平方（即斜边的平方），
∴ 正方形的面积为7。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
非负数的性质、勾股定理、正方形面积计算
【点评】
本题属于基础综合题，将代数中非负数的性质和几何中勾股定理、正方形面积计算结合考查，解题时直接利用x²、y²的结果运算，可避免开方再平方的冗余步骤，降低计算失误的概率。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆非负数的性质：绝对值和平方数都是非负数，若两个非负数的和为0，则这两个非负数各自等于0，据此可直接求出x²和y²的值；再结合勾股定理，直角三角形斜边的平方等于两条直角边的平方和，也就是等于x²+y²；最后根据正方形面积等于边长的平方，可知所求正方形的面积就是斜边的平方，无需单独计算x、y的具体值，可简化运算过程。
【解析】
解：
∵ 绝对值和平方数均为非负数，即$|x^2 - 4|≥0$，$(y^2 - 3)^2≥0$，且二者之和为0，
∴ 根据非负数的性质可得：
$x^2 - 4=0$，$y^2 - 3=0$，
即$x^2=4$，$y^2=3$。
∵ x、y为直角三角形的两条直角边长，根据勾股定理，
∴ 直角三角形斜边的平方$=x^2+y^2=4+3=7$。
∵ 以斜边为边长的正方形的面积等于边长的平方（即斜边的平方），
∴ 正方形的面积为7。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
非负数的性质、勾股定理、正方形面积计算
【点评】
本题属于基础综合题，将代数中非负数的性质和几何中勾股定理、正方形面积计算结合考查，解题时直接利用x²、y²的结果运算，可避免开方再平方的冗余步骤，降低计算失误的概率。
【难度系数】
0.8
8.如图是某地的长方形大理石广场示意图,小琴从A点走到C点,至少走 (
A.90 m
B.100 m
C.120 m
D.140 m
B
)A.90 m
B.100 m
C.120 m
D.140 m
答案
8.B
解析
【分析】
要找到从A点到C点的最短路径，首先根据“两点之间线段最短”，可知最短路径是长方形的对角线AC。由于长方形的内角都是直角，因此△ABC是直角三角形，两条直角边长度已知，用勾股定理即可求出斜边AC的长度，也就是最短行走距离。
【解析】
根据两点之间线段最短，小琴从A点走到C点的最短路径为线段AC。
∵ 四边形ABCD是长方形，
∴ ∠B=90°，即△ABC是直角三角形。
已知AB=60m，BC=80m，根据勾股定理：
$AC^2 = AB^2 + BC^2$
代入数值计算：
$AC^2 = 60^2 + 80^2 = 3600 + 6400 = 10000$
∴ $AC = \sqrt{10000} = 100\ \mathrm{m}$
即小琴至少走100m。
【答案】
B
【知识点】
两点之间线段最短；勾股定理；长方形的性质
【点评】
本题结合生活场景考查最短路径的判断和基础几何计算，解题关键是先确定最短路径为长方形对角线，再利用直角三角形的性质求解，属于基础应用题。
【难度系数】
0.8
要找到从A点到C点的最短路径，首先根据“两点之间线段最短”，可知最短路径是长方形的对角线AC。由于长方形的内角都是直角，因此△ABC是直角三角形，两条直角边长度已知，用勾股定理即可求出斜边AC的长度，也就是最短行走距离。
【解析】
根据两点之间线段最短，小琴从A点走到C点的最短路径为线段AC。
∵ 四边形ABCD是长方形，
∴ ∠B=90°，即△ABC是直角三角形。
已知AB=60m，BC=80m，根据勾股定理：
$AC^2 = AB^2 + BC^2$
代入数值计算：
$AC^2 = 60^2 + 80^2 = 3600 + 6400 = 10000$
∴ $AC = \sqrt{10000} = 100\ \mathrm{m}$
即小琴至少走100m。
【答案】
B
【知识点】
两点之间线段最短；勾股定理；长方形的性质
【点评】
本题结合生活场景考查最短路径的判断和基础几何计算，解题关键是先确定最短路径为长方形对角线，再利用直角三角形的性质求解，属于基础应用题。
【难度系数】
0.8
9. 直角三角形两直角边的边长分别为8和6,则斜边长为
10
,斜边上的高为$\frac{24}{5}$
.答案
9.10 $\frac{24}{5}$
解析
【分析】
这是直角三角形的边长与高的计算问题，解题思路分两步：第一步求斜边，已知直角三角形两条直角边，直接用勾股定理（直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方）计算即可；第二步求斜边上的高，用等面积法：直角三角形的面积既可以用两条直角边乘积的一半计算，也可以用斜边乘斜边上高的一半计算，两种方式求得的面积相等，列等式就能求出斜边上的高。
【解析】
1. 计算斜边长：
已知两直角边长度为6和8，根据勾股定理，斜边长为：
$\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$
2. 计算斜边上的高：
设斜边上的高为$h$，根据三角形面积公式：
用直角边计算面积：$S=\frac{1}{2}×6×8=24$
用斜边和斜边上的高计算面积：$S=\frac{1}{2}×10× h$
两种方式面积相等，可得：$\frac{1}{2}×10× h=24$，解得$h=\frac{24}{5}$
【答案】
10；$\frac{24}{5}$
【知识点】
勾股定理；三角形面积计算；等面积法求高
【点评】
本题是直角三角形相关计算的基础常考题，既考查了勾股定理的直接应用，也考查了等面积法的灵活使用，掌握两种面积计算的等量关系是求解斜边上高的核心。
【难度系数】
0.7
这是直角三角形的边长与高的计算问题，解题思路分两步：第一步求斜边，已知直角三角形两条直角边，直接用勾股定理（直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方）计算即可；第二步求斜边上的高，用等面积法：直角三角形的面积既可以用两条直角边乘积的一半计算，也可以用斜边乘斜边上高的一半计算，两种方式求得的面积相等，列等式就能求出斜边上的高。
【解析】
1. 计算斜边长：
已知两直角边长度为6和8，根据勾股定理，斜边长为：
$\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$
2. 计算斜边上的高：
设斜边上的高为$h$，根据三角形面积公式：
用直角边计算面积：$S=\frac{1}{2}×6×8=24$
用斜边和斜边上的高计算面积：$S=\frac{1}{2}×10× h$
两种方式面积相等，可得：$\frac{1}{2}×10× h=24$，解得$h=\frac{24}{5}$
【答案】
10；$\frac{24}{5}$
【知识点】
勾股定理；三角形面积计算；等面积法求高
【点评】
本题是直角三角形相关计算的基础常考题，既考查了勾股定理的直接应用，也考查了等面积法的灵活使用，掌握两种面积计算的等量关系是求解斜边上高的核心。
【难度系数】
0.7
10.已知△ABC的三边长为a,b,c,且满足$a+b=10$,$ab=18$,$c=8$,则此三角形是
直角
三角形.答案
10.直角
解析
【分析】
要判断三角形的形状，已知三边相关条件，可结合勾股定理的逆定理判断，即验证两短边的平方和是否等于最长边的平方。已知a+b和ab的值，我们可以利用完全平方公式的变形求出a²+b²的值，再与c²进行比较即可得出结论。
【解析】
已知a+b=10，ab=18，根据完全平方公式可得：
$a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$
代入数值计算：
$a^2 + b^2 = 10^2 - 2×18 = 100 - 36 = 64$
又已知c=8，因此$c^2 = 8^2 = 64$
可得$a^2 + b^2 = c^2$，根据勾股定理的逆定理，可知此三角形是直角三角形。
【答案】
直角
【知识点】
完全平方公式；勾股定理的逆定理
【点评】
本题核心考查公式的灵活应用和三角形形状的判定，解题关键是熟练运用完全平方公式的变形求出两短边的平方和，再结合勾股定理逆定理判断即可，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
要判断三角形的形状，已知三边相关条件，可结合勾股定理的逆定理判断，即验证两短边的平方和是否等于最长边的平方。已知a+b和ab的值，我们可以利用完全平方公式的变形求出a²+b²的值，再与c²进行比较即可得出结论。
【解析】
已知a+b=10，ab=18，根据完全平方公式可得：
$a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$
代入数值计算：
$a^2 + b^2 = 10^2 - 2×18 = 100 - 36 = 64$
又已知c=8，因此$c^2 = 8^2 = 64$
可得$a^2 + b^2 = c^2$，根据勾股定理的逆定理，可知此三角形是直角三角形。
【答案】
直角
【知识点】
完全平方公式；勾股定理的逆定理
【点评】
本题核心考查公式的灵活应用和三角形形状的判定，解题关键是熟练运用完全平方公式的变形求出两短边的平方和，再结合勾股定理逆定理判断即可，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
