登录
11. 飞机在空中水平飞行.某一时刻刚好飞到一个站着不动的女孩头顶正上方4 000 m处,过了20 s,飞机距离这个女孩头顶5 000 m处,则飞机飞行的速度为
540
km/h.答案
11.540
解析
【分析】
本题是勾股定理与行程问题结合的实际应用题，解题思路如下：1. 明确位置关系：女孩站立点、飞机初始位置（头顶正上方）、飞机20s后的位置可构成直角三角形，其中竖直边长4000m为直角边，飞机20s后与女孩的距离5000m为斜边，飞机水平飞行的路程为另一条直角边；2. 用勾股定理求出飞机20s飞行的水平路程；3. 结合行程公式“速度=路程÷时间”计算速度，再换算为要求的km/h单位即可。
【解析】
设飞机20s水平飞行的路程为$x$ m，根据勾股定理可得：
$x^2 + 4000^2 = 5000^2$
计算得：
$x^2 = 5000^2 - 4000^2 = 25000000 - 16000000 = 9000000$
因为路程为正数，所以$x = 3000$ m
飞机飞行速度：$v = \frac{3000\mathrm{m}}{20\mathrm{s}} = 150\mathrm{m/s}$
换算单位：$1\mathrm{m/s}=3.6\mathrm{km/h}$，因此$150\mathrm{m/s} = 150×3.6 = 540\mathrm{km/h}$
【答案】
540
【知识点】
勾股定理，行程公式，单位换算
【点评】
本题结合生活场景考查几何与行程的综合应用，解题核心是准确识别直角三角形的三边关系，计算时需注意速度单位的换算，避免因单位不符导致结果错误。
【难度系数】
0.7
本题是勾股定理与行程问题结合的实际应用题，解题思路如下：1. 明确位置关系：女孩站立点、飞机初始位置（头顶正上方）、飞机20s后的位置可构成直角三角形，其中竖直边长4000m为直角边，飞机20s后与女孩的距离5000m为斜边，飞机水平飞行的路程为另一条直角边；2. 用勾股定理求出飞机20s飞行的水平路程；3. 结合行程公式“速度=路程÷时间”计算速度，再换算为要求的km/h单位即可。
【解析】
设飞机20s水平飞行的路程为$x$ m，根据勾股定理可得：
$x^2 + 4000^2 = 5000^2$
计算得：
$x^2 = 5000^2 - 4000^2 = 25000000 - 16000000 = 9000000$
因为路程为正数，所以$x = 3000$ m
飞机飞行速度：$v = \frac{3000\mathrm{m}}{20\mathrm{s}} = 150\mathrm{m/s}$
换算单位：$1\mathrm{m/s}=3.6\mathrm{km/h}$，因此$150\mathrm{m/s} = 150×3.6 = 540\mathrm{km/h}$
【答案】
540
【知识点】
勾股定理，行程公式，单位换算
【点评】
本题结合生活场景考查几何与行程的综合应用，解题核心是准确识别直角三角形的三边关系，计算时需注意速度单位的换算，避免因单位不符导致结果错误。
【难度系数】
0.7
12. 如图所示,阴影部分是一个正方形,它的面积是
34
cm².答案
12.34
解析
【分析】
要求阴影正方形的面积，正方形面积=边长²，观察图形可知正方形的边长等于左侧直角三角形的斜边，因此只需求出该直角三角形斜边的平方即可得到正方形面积。结合已知的直角三角形两条直角边长度，运用勾股定理就能快速计算出结果，无需单独求出边长。
【解析】
已知左侧直角三角形的两条直角边长分别为3cm、5cm，根据勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，可得：
斜边的平方 = 3² + 5² = 9 + 25 = 34（cm²）
因为阴影正方形的边长与该直角三角形的斜边长度相等，所以正方形的面积=边长²=斜边的平方=34cm²。
【答案】
34
【知识点】
勾股定理；正方形面积计算
【点评】
本题将勾股定理与正方形面积计算相结合，巧妙利用斜边平方等于正方形边长平方的关系简化计算，考查对基础几何公式的灵活运用能力。
【难度系数】
0.8
要求阴影正方形的面积，正方形面积=边长²，观察图形可知正方形的边长等于左侧直角三角形的斜边，因此只需求出该直角三角形斜边的平方即可得到正方形面积。结合已知的直角三角形两条直角边长度，运用勾股定理就能快速计算出结果，无需单独求出边长。
【解析】
已知左侧直角三角形的两条直角边长分别为3cm、5cm，根据勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，可得：
斜边的平方 = 3² + 5² = 9 + 25 = 34（cm²）
因为阴影正方形的边长与该直角三角形的斜边长度相等，所以正方形的面积=边长²=斜边的平方=34cm²。
【答案】
34
【知识点】
勾股定理；正方形面积计算
【点评】
本题将勾股定理与正方形面积计算相结合，巧妙利用斜边平方等于正方形边长平方的关系简化计算，考查对基础几何公式的灵活运用能力。
【难度系数】
0.8
13.如图所示,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ B=90°$,$D,E$分别是边$AB,AC$的中点,$DE=4$,$AC=10$,则$AB=$
6
.答案
13.6
解析
【分析】
首先观察到D、E分别是AB、AC的中点，可判断DE是△ABC的中位线，根据三角形中位线的性质就能求出BC的长度；再结合△ABC是直角三角形，已知斜边AC和直角边BC的长度，用勾股定理即可计算出AB的长度。
【解析】
解：
∵D、E分别是边AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴BC = 2DE，
已知DE=4，
∴BC=2×4=8，
在Rt△ABC中，∠B=90°，由勾股定理得：
$AB^2 + BC^2 = AC^2$，
将AC=10，BC=8代入得：
$AB = \sqrt{AC^2 - BC^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6$。
【答案】
6
【知识点】
三角形中位线定理；勾股定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的关键是先通过中位线性质求出BC的长度，再结合勾股定理求解未知直角边，是几何部分的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
首先观察到D、E分别是AB、AC的中点，可判断DE是△ABC的中位线，根据三角形中位线的性质就能求出BC的长度；再结合△ABC是直角三角形，已知斜边AC和直角边BC的长度，用勾股定理即可计算出AB的长度。
【解析】
解：
∵D、E分别是边AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴BC = 2DE，
已知DE=4，
∴BC=2×4=8，
在Rt△ABC中，∠B=90°，由勾股定理得：
$AB^2 + BC^2 = AC^2$，
将AC=10，BC=8代入得：
$AB = \sqrt{AC^2 - BC^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6$。
【答案】
6
【知识点】
三角形中位线定理；勾股定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的关键是先通过中位线性质求出BC的长度，再结合勾股定理求解未知直角边，是几何部分的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
三、解答题
14. 在$△ ABC$中，$AD ⊥ BC$，若$AB=25$，$AC=30$，$AD=24$，求$BC$的长。
14. 在$△ ABC$中，$AD ⊥ BC$，若$AB=25$，$AC=30$，$AD=24$，求$BC$的长。
答案
14.25或11
解析
【分析】
首先由AD⊥BC可得△ABD和△ACD都是直角三角形，可先用勾股定理分别求出BD和CD的长度。需要注意的是，三角形的高可能在三角形内部，也可能在三角形外部，因此要分两种情况讨论计算BC的长度，避免漏解。
【解析】
解：
∵AD⊥BC，
∴△ABD和△ACD都是直角三角形。
① 当高AD在△ABC内部时，点D在线段BC上：
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
$BD^2 = AB^2 - AD^2 = 25^2 - 24^2 = 625 - 576 = 49$，
∴$BD=7$（线段长度为正，舍去负根）。
在Rt△ACD中，由勾股定理得：
$CD^2 = AC^2 - AD^2 = 30^2 - 24^2 = 900 - 576 = 324$，
∴$CD=18$（线段长度为正，舍去负根）。
此时$BC = BD + CD = 7 + 18 = 25$。
② 当高AD在△ABC外部时，点D在线段CB的延长线上：
此时$BC = CD - BD = 18 - 7 = 11$。
综上，BC的长为25或11。
【答案】
25或11
【知识点】
1.勾股定理 2.分类讨论思想 3.三角形的高
【点评】
本题的易错点是忽略三角形的高可能在外部的情况，导致漏解。解题时要结合三角形的不同形状，全面考虑高的位置，分情况计算后验证结果的合理性。
【难度系数】
0.6
首先由AD⊥BC可得△ABD和△ACD都是直角三角形，可先用勾股定理分别求出BD和CD的长度。需要注意的是，三角形的高可能在三角形内部，也可能在三角形外部，因此要分两种情况讨论计算BC的长度，避免漏解。
【解析】
解：
∵AD⊥BC，
∴△ABD和△ACD都是直角三角形。
① 当高AD在△ABC内部时，点D在线段BC上：
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
$BD^2 = AB^2 - AD^2 = 25^2 - 24^2 = 625 - 576 = 49$，
∴$BD=7$（线段长度为正，舍去负根）。
在Rt△ACD中，由勾股定理得：
$CD^2 = AC^2 - AD^2 = 30^2 - 24^2 = 900 - 576 = 324$，
∴$CD=18$（线段长度为正，舍去负根）。
此时$BC = BD + CD = 7 + 18 = 25$。
② 当高AD在△ABC外部时，点D在线段CB的延长线上：
此时$BC = CD - BD = 18 - 7 = 11$。
综上，BC的长为25或11。
【答案】
25或11
【知识点】
1.勾股定理 2.分类讨论思想 3.三角形的高
【点评】
本题的易错点是忽略三角形的高可能在外部的情况，导致漏解。解题时要结合三角形的不同形状，全面考虑高的位置，分情况计算后验证结果的合理性。
【难度系数】
0.6
15. 如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,BD=6,AD=6,S△ABC=42,求AC的长.
答案
15.10
解析
【分析】
要求AC的长，观察图形可知AC在Rt△ADC中，已知AD=6，只需要求出DC的长度，就可以用勾股定理计算AC。首先利用三角形的面积公式，结合已知的△ABC面积、AD的长度，先求出底边BC的总长度，再用BC减去BD的长度就能得到DC的长，最后代入勾股定理计算即可。
【解析】
解：已知AD⊥BC，AD是△ABC的高，根据三角形面积公式：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × BC × AD$
代入$S_{△ ABC}=42$，$AD=6$，得：
$42=\frac{1}{2} × BC × 6$
解得$BC=14$
$\therefore DC=BC-BD=14-6=8$
在$Rt△ ADC$中，由勾股定理得：
$AC^2=AD^2+DC^2=6^2+8^2=36+64=100$
$\therefore AC=\sqrt{100}=10$（边长为正数，舍去负根）
【答案】
10
【知识点】
三角形面积计算，勾股定理，线段和差计算
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题关键是先通过三角形面积公式求出未知线段DC的长度，再结合勾股定理求解目标边长，熟练掌握基础公式即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
要求AC的长，观察图形可知AC在Rt△ADC中，已知AD=6，只需要求出DC的长度，就可以用勾股定理计算AC。首先利用三角形的面积公式，结合已知的△ABC面积、AD的长度，先求出底边BC的总长度，再用BC减去BD的长度就能得到DC的长，最后代入勾股定理计算即可。
【解析】
解：已知AD⊥BC，AD是△ABC的高，根据三角形面积公式：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × BC × AD$
代入$S_{△ ABC}=42$，$AD=6$，得：
$42=\frac{1}{2} × BC × 6$
解得$BC=14$
$\therefore DC=BC-BD=14-6=8$
在$Rt△ ADC$中，由勾股定理得：
$AC^2=AD^2+DC^2=6^2+8^2=36+64=100$
$\therefore AC=\sqrt{100}=10$（边长为正数，舍去负根）
【答案】
10
【知识点】
三角形面积计算，勾股定理，线段和差计算
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题关键是先通过三角形面积公式求出未知线段DC的长度，再结合勾股定理求解目标边长，熟练掌握基础公式即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
