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八、张老师和李老师总是相隔不同的天数到体育场跑步运动，张老师每3天到体育场跑步运动，李老师每5天到体育场跑步运动，他们8月8日同时到体育场跑步运动，下一次他们两人同一天到体育场跑步运动是8月几日？
答案
8月23日
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要明确两人下一次同时到体育场的间隔天数，这个天数既要符合张老师每3天去一次的规律，也要符合李老师每5天去一次的规律，也就是要找3和5的最小公倍数。算出间隔天数后，在8月8日的基础上加上间隔天数，就能得到下次两人同去的日期。
【解析】
1. 求3和5的最小公倍数：
3和5的公因数只有1，是互质数，因此它们的最小公倍数为 $3×5=15$，即两人每隔15天会同时到体育场跑步。
2. 计算下次同去的日期：
已知8月8日两人同时到体育场，再过15天的日期为 $8+15=23$，对应8月23日。
【答案】
8月23日
【知识点】
最小公倍数计算，日期推算
【点评】
本题结合生活场景考查公倍数的实际应用，解题核心是理解两人同去的间隔天数是两个出行周期的最小公倍数，掌握最小公倍数的基础求法就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先需要明确两人下一次同时到体育场的间隔天数，这个天数既要符合张老师每3天去一次的规律，也要符合李老师每5天去一次的规律，也就是要找3和5的最小公倍数。算出间隔天数后，在8月8日的基础上加上间隔天数，就能得到下次两人同去的日期。
【解析】
1. 求3和5的最小公倍数：
3和5的公因数只有1，是互质数，因此它们的最小公倍数为 $3×5=15$，即两人每隔15天会同时到体育场跑步。
2. 计算下次同去的日期：
已知8月8日两人同时到体育场，再过15天的日期为 $8+15=23$，对应8月23日。
【答案】
8月23日
【知识点】
最小公倍数计算，日期推算
【点评】
本题结合生活场景考查公倍数的实际应用，解题核心是理解两人同去的间隔天数是两个出行周期的最小公倍数，掌握最小公倍数的基础求法就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
九、小明和小亮进行长跑比赛，看图回答。
谁离终点更近一些？说一说你的想法。
谁离终点更近一些？说一说你的想法。
答案
小明离终点更近。因为$\frac{5}{8}＞\frac{1}{2}$，所以小明跑的路程更长。
解析
【分析】
要判断谁离终点更近，首先要明确：长跑比赛中，已跑路程占全程的比例越大，剩下没跑的路程就越少，距离终点就越近。所以我们只需要比较小明和小亮已跑路程占全程的分率大小即可。比较异分母分数大小时，先通分转化为同分母分数，再比较分子大小，分子大的分数更大。
【解析】
1. 先将两个分数通分，统一为同分母分数方便比较：
$\frac{1}{2}=\frac{1×4}{2×4}=\frac{4}{8}$
2. 比较两个分数的大小：
因为$\frac{5}{8}＞\frac{4}{8}$，所以$\frac{5}{8}＞\frac{1}{2}$，说明小明跑的路程占全程的比例更大，已跑路程更长，剩余路程更短，因此小明离终点更近。
【答案】
小明离终点更近。因为$\frac{5}{8}＞\frac{1}{2}$，所以小明跑的路程更长。
【知识点】
异分母分数比较大小，分数的实际应用
【点评】
本题结合长跑比赛的生活场景，将分数大小比较的知识融入实际问题，需要先理解“离终点更近”的数学含义，再通过分数比较得出结论，有助于提升学生结合生活场景运用数学知识的能力。
【难度系数】
0.8
要判断谁离终点更近，首先要明确：长跑比赛中，已跑路程占全程的比例越大，剩下没跑的路程就越少，距离终点就越近。所以我们只需要比较小明和小亮已跑路程占全程的分率大小即可。比较异分母分数大小时，先通分转化为同分母分数，再比较分子大小，分子大的分数更大。
【解析】
1. 先将两个分数通分，统一为同分母分数方便比较：
$\frac{1}{2}=\frac{1×4}{2×4}=\frac{4}{8}$
2. 比较两个分数的大小：
因为$\frac{5}{8}＞\frac{4}{8}$，所以$\frac{5}{8}＞\frac{1}{2}$，说明小明跑的路程占全程的比例更大，已跑路程更长，剩余路程更短，因此小明离终点更近。
【答案】
小明离终点更近。因为$\frac{5}{8}＞\frac{1}{2}$，所以小明跑的路程更长。
【知识点】
异分母分数比较大小，分数的实际应用
【点评】
本题结合长跑比赛的生活场景，将分数大小比较的知识融入实际问题，需要先理解“离终点更近”的数学含义，再通过分数比较得出结论，有助于提升学生结合生活场景运用数学知识的能力。
【难度系数】
0.8
1. 先找规律，再填一填。
$\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{2} × \frac{1}{3} = \frac{1 × 1}{2 × 3}$
$\frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{1}{3} × \frac{1}{4} = \frac{1 × 1}{3 × 4}$
$\frac{1}{4} - \frac{1}{(\quad)} = \frac{1}{(\quad)} × \frac{1}{(\quad)} = \frac{1 × 1}{(\quad) × (\quad)}$
$\frac{1}{5} - \frac{1}{(\quad)} = \frac{1}{(\quad)} × \frac{1}{(\quad)} = \frac{1 × 1}{(\quad) × (\quad)}$
$\frac{1}{(\quad)} - \frac{1}{(\quad)} = \frac{1}{(\quad)} × \frac{1}{(\quad)} = \frac{1 × 1}{(\quad) × (\quad)}$
$\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{2} × \frac{1}{3} = \frac{1 × 1}{2 × 3}$
$\frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{1}{3} × \frac{1}{4} = \frac{1 × 1}{3 × 4}$
$\frac{1}{4} - \frac{1}{(\quad)} = \frac{1}{(\quad)} × \frac{1}{(\quad)} = \frac{1 × 1}{(\quad) × (\quad)}$
$\frac{1}{5} - \frac{1}{(\quad)} = \frac{1}{(\quad)} × \frac{1}{(\quad)} = \frac{1 × 1}{(\quad) × (\quad)}$
$\frac{1}{(\quad)} - \frac{1}{(\quad)} = \frac{1}{(\quad)} × \frac{1}{(\quad)} = \frac{1 × 1}{(\quad) × (\quad)}$
答案
$\frac{1}{4} - \frac{1}{5} = \frac{1}{4} × \frac{1}{5} = \frac{1 × 1}{4 × 5}$；$\frac{1}{5} - \frac{1}{6} = \frac{1}{5} × \frac{1}{6} = \frac{1 × 1}{5 × 6}$；$\frac{1}{6} - \frac{1}{7} = \frac{1}{6} × \frac{1}{7} = \frac{1 × 1}{6 × 7}$（最后一题答案不唯一，符合规律即可）
解析
【分析】
先观察给出的两组等式，总结规律：两个分子都是1、分母是相邻非0自然数的分数（前一个分数的分母比后一个小1），它们的差等于它们的乘积，计算结果的分子是1×1，分母是两个相邻分母的乘积。接下来按照这个规律依次填空即可，最后一道题只要满足分母为相邻自然数即可，答案不唯一。
【解析】
1. 第一个式子：前一个分数是$\frac{1}{4}$，根据规律，后一个分数的分母是$4+1=5$，因此：$\frac{1}{4} - \frac{1}{5} = \frac{1}{4} × \frac{1}{5} = \frac{1 × 1}{4 × 5}$
2. 第二个式子：前一个分数是$\frac{1}{5}$，根据规律，后一个分数的分母是$5+1=6$，因此：$\frac{1}{5} - \frac{1}{6} = \frac{1}{5} × \frac{1}{6} = \frac{1 × 1}{5 × 6}$
3. 第三个式子：我们可选取前一个分数的分母为6，后一个分数的分母为$6+1=7$，因此：$\frac{1}{6} - \frac{1}{7} = \frac{1}{6} × \frac{1}{7} = \frac{1 × 1}{6 × 7}$（答案不唯一，符合规律即可）
【答案】
$\frac{1}{4} - \frac{1}{5} = \frac{1}{4} × \frac{1}{5} = \frac{1 × 1}{4 × 5}$；$\frac{1}{5} - \frac{1}{6} = \frac{1}{5} × \frac{1}{6} = \frac{1 × 1}{5 × 6}$；$\frac{1}{6} - \frac{1}{7} = \frac{1}{6} × \frac{1}{7} = \frac{1 × 1}{6 × 7}$（最后一题答案不唯一，符合规律即可）
【知识点】
分数减法，分数乘法，算式找规律
【点评】
本题重点考查观察、归纳算式规律的能力，解题关键是总结出“分子为1、分母是相邻自然数的两个分数的差等于它们的乘积”这一规律，最后一题为开放性题目，只要符合规律均正确。
【难度系数】
0.8
先观察给出的两组等式，总结规律：两个分子都是1、分母是相邻非0自然数的分数（前一个分数的分母比后一个小1），它们的差等于它们的乘积，计算结果的分子是1×1，分母是两个相邻分母的乘积。接下来按照这个规律依次填空即可，最后一道题只要满足分母为相邻自然数即可，答案不唯一。
【解析】
1. 第一个式子：前一个分数是$\frac{1}{4}$，根据规律，后一个分数的分母是$4+1=5$，因此：$\frac{1}{4} - \frac{1}{5} = \frac{1}{4} × \frac{1}{5} = \frac{1 × 1}{4 × 5}$
2. 第二个式子：前一个分数是$\frac{1}{5}$，根据规律，后一个分数的分母是$5+1=6$，因此：$\frac{1}{5} - \frac{1}{6} = \frac{1}{5} × \frac{1}{6} = \frac{1 × 1}{5 × 6}$
3. 第三个式子：我们可选取前一个分数的分母为6，后一个分数的分母为$6+1=7$，因此：$\frac{1}{6} - \frac{1}{7} = \frac{1}{6} × \frac{1}{7} = \frac{1 × 1}{6 × 7}$（答案不唯一，符合规律即可）
【答案】
$\frac{1}{4} - \frac{1}{5} = \frac{1}{4} × \frac{1}{5} = \frac{1 × 1}{4 × 5}$；$\frac{1}{5} - \frac{1}{6} = \frac{1}{5} × \frac{1}{6} = \frac{1 × 1}{5 × 6}$；$\frac{1}{6} - \frac{1}{7} = \frac{1}{6} × \frac{1}{7} = \frac{1 × 1}{6 × 7}$（最后一题答案不唯一，符合规律即可）
【知识点】
分数减法，分数乘法，算式找规律
【点评】
本题重点考查观察、归纳算式规律的能力，解题关键是总结出“分子为1、分母是相邻自然数的两个分数的差等于它们的乘积”这一规律，最后一题为开放性题目，只要符合规律均正确。
【难度系数】
0.8
2. 根据上面的规律，想一想，填一填。
$\frac{1}{a} - \frac{1}{a + 1} = \frac{1}{(\quad)} × \frac{1}{(\mathrm{图1})} = \frac{1 × 1}{(\quad) × (\quad)}$
$\frac{1}{a} - \frac{1}{a + 1} = \frac{1}{(\quad)} × \frac{1}{(\mathrm{图1})} = \frac{1 × 1}{(\quad) × (\quad)}$
答案
提示：$\frac{1}{a} - \frac{1}{a+1} = \frac{1}{a} × \frac{1}{a+1} = \frac{1×1}{a×(a+1)}$
解析
【分析】
要计算异分母分数$\frac{1}{a}$减$\frac{1}{a+1}$的结果，我们可以按照异分母分数减法的计算逻辑思考：首先要通分把两个分数转化为同分母分数，a和a+1是相邻的数，最小公倍数是$a×(a+1)$，通分后计算分子的差，再把结果按照分数乘法的规则拆分，就能得到对应空的答案。
【解析】
1. 先计算异分母分数的差：
异分母分数相减先通分，取a和a+1的最小公倍数$a(a+1)$作为公分母：
$\frac{1}{a} - \frac{1}{a+1} = \frac{a+1}{a(a+1)} - \frac{a}{a(a+1)}$
同分母分数相减，分母不变，分子相减：
$=\frac{(a+1)-a}{a(a+1)}=\frac{1}{a(a+1)}$
2. 拆分结果为乘法形式：
根据分数乘法“分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母”的规则，$\frac{1}{a(a+1)}$可以拆分为$\frac{1}{a}×\frac{1}{a+1}$，也可以写成$\frac{1×1}{a×(a+1)}$。
【答案】
$a$；$a+1$；$a$；$a+1$，即$\frac{1}{a} - \frac{1}{a + 1} = \frac{1}{(a)} × \frac{1}{(a+1)} = \frac{1 × 1}{(a) × (a+1)}$
【知识点】
异分母分数减法、分数乘法运算、通分
【点评】
这道题是分数裂项的基础规律，熟练掌握该推导过程后，可用于快速解决多种分数简便运算题目，需要牢牢掌握通分方法和分数四则运算规则。
【难度系数】
0.7
要计算异分母分数$\frac{1}{a}$减$\frac{1}{a+1}$的结果，我们可以按照异分母分数减法的计算逻辑思考：首先要通分把两个分数转化为同分母分数，a和a+1是相邻的数，最小公倍数是$a×(a+1)$，通分后计算分子的差，再把结果按照分数乘法的规则拆分，就能得到对应空的答案。
【解析】
1. 先计算异分母分数的差：
异分母分数相减先通分，取a和a+1的最小公倍数$a(a+1)$作为公分母：
$\frac{1}{a} - \frac{1}{a+1} = \frac{a+1}{a(a+1)} - \frac{a}{a(a+1)}$
同分母分数相减，分母不变，分子相减：
$=\frac{(a+1)-a}{a(a+1)}=\frac{1}{a(a+1)}$
2. 拆分结果为乘法形式：
根据分数乘法“分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母”的规则，$\frac{1}{a(a+1)}$可以拆分为$\frac{1}{a}×\frac{1}{a+1}$，也可以写成$\frac{1×1}{a×(a+1)}$。
【答案】
$a$；$a+1$；$a$；$a+1$，即$\frac{1}{a} - \frac{1}{a + 1} = \frac{1}{(a)} × \frac{1}{(a+1)} = \frac{1 × 1}{(a) × (a+1)}$
【知识点】
异分母分数减法、分数乘法运算、通分
【点评】
这道题是分数裂项的基础规律，熟练掌握该推导过程后，可用于快速解决多种分数简便运算题目，需要牢牢掌握通分方法和分数四则运算规则。
【难度系数】
0.7
