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1.(教材P70T6变式)下列命题中,其逆命题是真命题的是(
A.若$a=b$,则$a^2=b^2$
B.全等三角形对应角相等
C.角平分线上点到角两边的距离相等
D.邻补角互补
C
)A.若$a=b$,则$a^2=b^2$
B.全等三角形对应角相等
C.角平分线上点到角两边的距离相等
D.邻补角互补
答案
C
解析
【分析】
解题思路分为三步：第一步，回忆逆命题的定义，即把原命题的题设和结论互换位置得到的命题就是原命题的逆命题；第二步，逐一拆分每个选项原命题的题设和结论，写出对应的逆命题；第三步，结合所学代数、几何知识判断逆命题的真假，选出符合要求的选项。
【解析】
将原命题的题设和结论互换即可得到逆命题，正确的命题为真命题，错误的命题为假命题，逐一分析选项：
A. 原命题题设为$a=b$，结论为$a^2=b^2$，逆命题为“若$a^2=b^2$，则$a=b$”。举反例：$a=2$，$b=-2$时$a^2=b^2=4$，但$a≠b$，因此逆命题是假命题，不符合要求；
B. 原命题题设为“两个三角形是全等三角形”，结论为“对应角相等”，逆命题为“对应角相等的两个三角形是全等三角形”。举反例：大小不同的两个等边三角形对应角都相等，但不全等，因此逆命题是假命题，不符合要求；
C. 原命题题设为“点在角的平分线上”，结论为“点到角两边的距离相等”，逆命题为“到角两边距离相等的点在这个角的平分线上”，这是角平分线的判定定理，属于真命题，符合要求；
D. 原命题题设为“两个角是邻补角”，结论为“两个角互补”，逆命题为“互补的两个角是邻补角”。互补仅要求两个角和为$180°$，不要求位置相邻，因此逆命题是假命题，不符合要求。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
逆命题的定义；真假命题判断；角平分线的判定
【点评】
本题核心考查逆命题的改写和真假判断，解题关键是准确区分命题的题设和结论，同时要注意区分常见几何定理的性质和判定，避免二者混淆。
【难度系数】
0.7
解题思路分为三步：第一步，回忆逆命题的定义，即把原命题的题设和结论互换位置得到的命题就是原命题的逆命题；第二步，逐一拆分每个选项原命题的题设和结论，写出对应的逆命题；第三步，结合所学代数、几何知识判断逆命题的真假，选出符合要求的选项。
【解析】
将原命题的题设和结论互换即可得到逆命题，正确的命题为真命题，错误的命题为假命题，逐一分析选项：
A. 原命题题设为$a=b$，结论为$a^2=b^2$，逆命题为“若$a^2=b^2$，则$a=b$”。举反例：$a=2$，$b=-2$时$a^2=b^2=4$，但$a≠b$，因此逆命题是假命题，不符合要求；
B. 原命题题设为“两个三角形是全等三角形”，结论为“对应角相等”，逆命题为“对应角相等的两个三角形是全等三角形”。举反例：大小不同的两个等边三角形对应角都相等，但不全等，因此逆命题是假命题，不符合要求；
C. 原命题题设为“点在角的平分线上”，结论为“点到角两边的距离相等”，逆命题为“到角两边距离相等的点在这个角的平分线上”，这是角平分线的判定定理，属于真命题，符合要求；
D. 原命题题设为“两个角是邻补角”，结论为“两个角互补”，逆命题为“互补的两个角是邻补角”。互补仅要求两个角和为$180°$，不要求位置相邻，因此逆命题是假命题，不符合要求。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
逆命题的定义；真假命题判断；角平分线的判定
【点评】
本题核心考查逆命题的改写和真假判断，解题关键是准确区分命题的题设和结论，同时要注意区分常见几何定理的性质和判定，避免二者混淆。
【难度系数】
0.7
2.(教材 P70T5 改编)如图，$AB=AC$，$DB=DC$，$E$ 在直线 $AD$ 上，求证：$BE=CE$ 
答案
证明:
∵AB=AC,
∴点A在BC的垂直平分线上,
又
∵DB=DC,
∴点D在BC的垂直平分线上,
∴AD为BC的垂直平分线,
∴BE=CE.
∵AB=AC,
∴点A在BC的垂直平分线上,
又
∵DB=DC,
∴点D在BC的垂直平分线上,
∴AD为BC的垂直平分线,
∴BE=CE.
解析
【分析】
要证明BE=CE，可结合线段垂直平分线的性质推导：若能证明点E在BC的垂直平分线上，即可得到E到B、C的距离相等。首先根据“到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”，由已知AB=AC可得点A在BC的垂直平分线上，由DB=DC可得点D也在BC的垂直平分线上；再根据两点确定一条直线，可知直线AD就是BC的垂直平分线，已知E在AD上，因此可推出BE=CE。
【解析】
证明：
∵AB=AC，
∴点A在BC的垂直平分线上，
又
∵DB=DC，
∴点D在BC的垂直平分线上，
∴AD为BC的垂直平分线，
∴BE=CE。
【答案】
BE=CE
【知识点】
线段垂直平分线的判定；线段垂直平分线的性质
【点评】
本题考查线段垂直平分线相关知识的基础应用，无需证明三角形全等，利用垂直平分线的判定和性质可简化证明过程，解题核心是先确定直线AD是BC的垂直平分线。
【难度系数】
0.8
要证明BE=CE，可结合线段垂直平分线的性质推导：若能证明点E在BC的垂直平分线上，即可得到E到B、C的距离相等。首先根据“到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”，由已知AB=AC可得点A在BC的垂直平分线上，由DB=DC可得点D也在BC的垂直平分线上；再根据两点确定一条直线，可知直线AD就是BC的垂直平分线，已知E在AD上，因此可推出BE=CE。
【解析】
证明：
∵AB=AC，
∴点A在BC的垂直平分线上，
又
∵DB=DC，
∴点D在BC的垂直平分线上，
∴AD为BC的垂直平分线，
∴BE=CE。
【答案】
BE=CE
【知识点】
线段垂直平分线的判定；线段垂直平分线的性质
【点评】
本题考查线段垂直平分线相关知识的基础应用，无需证明三角形全等，利用垂直平分线的判定和性质可简化证明过程，解题核心是先确定直线AD是BC的垂直平分线。
【难度系数】
0.8
3.(教材P67T1改编)如图,在△ABE中,AD⊥BE于D,C是BE上一点,BD=DC,且点C在AE的垂直平分线上,若△ABC的周长为22cm,求DE的长.
答案
解:$DE=CD+CE=CD+AC=\frac{1}{2}×22=11$(cm).
解析
【分析】
解题时首先梳理已知条件：①AD⊥BE，BD=DC，可判定AD是BC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得AB=AC；②点C在AE的垂直平分线上，再用垂直平分线性质得AC=CE。接下来分析待求线段DE，DE=DC+CE，将CE替换为AC，可得DE=DC+AC。再结合△ABC的周长条件，周长为AB+BC+AC，将AB替换为AC、BC替换为2DC，可得周长=2(AC+DC)，即周长是DE的2倍，因此DE为周长的一半，代入数值即可求解。
【解析】
解：
∵AD⊥BE，BD=DC，
∴AD是线段BC的垂直平分线，
∴AB=AC。
∵点C在AE的垂直平分线上，
∴AC=CE。
已知△ABC的周长为22cm，即：
$AB + BC + AC = 22\mathrm{cm}$，
又
∵$BC=BD+DC=2DC$，$AB=AC=CE$，
代入得：$AC + 2DC + AC = 22\mathrm{cm}$，
即$2(AC + DC)=22\mathrm{cm}$，
∴$AC + DC = 11\mathrm{cm}$。
∵$DE = DC + CE$，且$CE=AC$，
∴$DE = DC + AC = 11\mathrm{cm}$。
【答案】
DE的长为11cm。
【知识点】
线段垂直平分线的性质、等量代换、三角形周长计算
【点评】
本题重点考查线段垂直平分线性质的应用，解题的核心是通过垂直平分线的性质建立不同线段之间的等量关系，再结合三角形周长完成待求线段的转化，是几何中线段转化类的基础题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先梳理已知条件：①AD⊥BE，BD=DC，可判定AD是BC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得AB=AC；②点C在AE的垂直平分线上，再用垂直平分线性质得AC=CE。接下来分析待求线段DE，DE=DC+CE，将CE替换为AC，可得DE=DC+AC。再结合△ABC的周长条件，周长为AB+BC+AC，将AB替换为AC、BC替换为2DC，可得周长=2(AC+DC)，即周长是DE的2倍，因此DE为周长的一半，代入数值即可求解。
【解析】
解：
∵AD⊥BE，BD=DC，
∴AD是线段BC的垂直平分线，
∴AB=AC。
∵点C在AE的垂直平分线上，
∴AC=CE。
已知△ABC的周长为22cm，即：
$AB + BC + AC = 22\mathrm{cm}$，
又
∵$BC=BD+DC=2DC$，$AB=AC=CE$，
代入得：$AC + 2DC + AC = 22\mathrm{cm}$，
即$2(AC + DC)=22\mathrm{cm}$，
∴$AC + DC = 11\mathrm{cm}$。
∵$DE = DC + CE$，且$CE=AC$，
∴$DE = DC + AC = 11\mathrm{cm}$。
【答案】
DE的长为11cm。
【知识点】
线段垂直平分线的性质、等量代换、三角形周长计算
【点评】
本题重点考查线段垂直平分线性质的应用，解题的核心是通过垂直平分线的性质建立不同线段之间的等量关系，再结合三角形周长完成待求线段的转化，是几何中线段转化类的基础题型。
【难度系数】
0.7
4.如图,四边形ABCD中,CE垂直平分AD,CF垂直平分AB.
(1)求证:CD=CB;
(2)若∠DAB=110°,求∠DCB的度数.
(1)求证:CD=CB;
(2)若∠DAB=110°,求∠DCB的度数.
答案
(1)证明:连接AC.
∵CE为AD的垂直平分线,
CF为AB的垂直平分线,
∴CD=CA,CB=CA,
∴CD=CB;
(2)解:由轴对称知∠CAD=∠D,
∠CAB=∠B,
设∠D=α,∠B=β,
∴α+β=110°,
∠DCB=2(90°−α)+2(90°−β)
=360°−2(α+β)=140°.
解析
【分析】
(1)要证明CD=CB，已知CE、CF分别是AD、AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，可通过连接辅助线AC，将CD、CB分别与AC建立等量关系，通过等量代换即可证明结论；
(2)求∠DCB的度数，先根据垂直平分线的性质得到△ACD、△ACB均为等腰三角形，利用等腰三角形等边对等角的性质，可得∠CAD=∠D、∠CAB=∠B，结合已知∠DAB=∠CAD+∠CAB=110°，可推出∠D+∠B=110°，再结合三角形内角和定理分别表示出∠ACD和∠ACB，二者相加即为∠DCB的度数，代入数值计算即可。
【解析】
(1)证明：连接AC。
∵CE为AD的垂直平分线，CF为AB的垂直平分线，
根据线段垂直平分线的性质可得：CD=CA，CB=CA，
∴CD=CB。
(2)解：由线段垂直平分线的性质可得CD=CA、CB=CA，即△ACD和△ACB均为等腰三角形，
∴∠CAD=∠D，∠CAB=∠B，
设∠D=α，∠B=β，
则∠DAB=∠CAD+∠CAB=α+β=110°，
根据三角形内角和定理：
在△ACD中，∠ACD=180°-∠D-∠CAD=180°-2α，
在△ACB中，∠ACB=180°-∠B-∠CAB=180°-2β，
∴∠DCB=∠ACD+∠ACB=(180°-2α)+(180°-2β)=360°-2(α+β)，
将α+β=110°代入得：∠DCB=360°-2×110°=140°。
【答案】
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是线段垂直平分线相关的基础典型题，解题的突破口是连接AC构造等腰三角形，既用到了垂直平分线的核心性质，也结合了等腰三角形和三角形内角和的相关知识，需要熟练掌握此类辅助线的构造思路。
【难度系数】
0.7
(1)要证明CD=CB，已知CE、CF分别是AD、AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，可通过连接辅助线AC，将CD、CB分别与AC建立等量关系，通过等量代换即可证明结论；
(2)求∠DCB的度数，先根据垂直平分线的性质得到△ACD、△ACB均为等腰三角形，利用等腰三角形等边对等角的性质，可得∠CAD=∠D、∠CAB=∠B，结合已知∠DAB=∠CAD+∠CAB=110°，可推出∠D+∠B=110°，再结合三角形内角和定理分别表示出∠ACD和∠ACB，二者相加即为∠DCB的度数，代入数值计算即可。
【解析】
(1)证明：连接AC。
∵CE为AD的垂直平分线，CF为AB的垂直平分线，
根据线段垂直平分线的性质可得：CD=CA，CB=CA，
∴CD=CB。
(2)解：由线段垂直平分线的性质可得CD=CA、CB=CA，即△ACD和△ACB均为等腰三角形，
∴∠CAD=∠D，∠CAB=∠B，
设∠D=α，∠B=β，
则∠DAB=∠CAD+∠CAB=α+β=110°，
根据三角形内角和定理：
在△ACD中，∠ACD=180°-∠D-∠CAD=180°-2α，
在△ACB中，∠ACB=180°-∠B-∠CAB=180°-2β，
∴∠DCB=∠ACD+∠ACB=(180°-2α)+(180°-2β)=360°-2(α+β)，
将α+β=110°代入得：∠DCB=360°-2×110°=140°。
【答案】
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是线段垂直平分线相关的基础典型题，解题的突破口是连接AC构造等腰三角形，既用到了垂直平分线的核心性质，也结合了等腰三角形和三角形内角和的相关知识，需要熟练掌握此类辅助线的构造思路。
【难度系数】
0.7
5.如图,点 A 为$∠ MON$ 的角平分线上一点,过 A 点任作一直线分别与$∠ MON$ 的两边交于B,C,P 为 BC 的中点,过点 P 作 BC 的垂线交OA 于点 D.
(1)如图 1,若$∠ MON=90°$,则$∠ BDC=$
(2)如图 2,若$∠ BDC=100°$,则$∠ BOD=$
(3)如图 3,若$∠ MON=α$,则$∠ BDC=$
(1)如图 1,若$∠ MON=90°$,则$∠ BDC=$
90°
;(2)如图 2,若$∠ BDC=100°$,则$∠ BOD=$
40°
;(3)如图 3,若$∠ MON=α$,则$∠ BDC=$
180°−α
,请给予证明.答案
(1)$90°$ (2)$40°$ (3)$180°−α$
解:(3)过 D 作$DH⊥OM$于点 H,
$DG⊥ON$于点 G,则$DH=DG$,
∵DP 垂直平分BC,
∴DB=DC,
在$\mathrm{Rt}△DBH$和$\mathrm{Rt}△DCG$中,
$\begin{cases} DB=DC, \\ DH=DG, \end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△DBH≌\mathrm{Rt}△DCG(\mathrm{HL})$,
∴$∠BDH=∠CDG$,
∴$∠BDC=∠HDG=180°−α.$
解析
【分析】
解题时可从已知条件的性质入手思考：①已知OA是∠MON的角平分线，可联想到“角平分线上的点到角两边的距离相等”，因此过D作OM、ON的垂线，得到相等的垂线段；②已知DP垂直平分BC，可联想到“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”，得到DB=DC。此时可通过HL证明两个直角三角形全等，得到角的等量关系，进而推导∠BDC与∠MON的互补关系，利用该关系即可求解三小问：第一问代入∠MON=90°直接计算；第二问先由∠BDC反推∠MON的度数，再结合角平分线的定义求∠BOD；第三问直接推导通用结论并证明。
【解析】
(1) 过D作DH⊥OM于H，DG⊥ON于G，由角平分线性质得DH=DG，由DP垂直平分BC得DB=DC，可证$\mathrm{Rt}△DBH≌\mathrm{Rt}△DCG(\mathrm{HL})$，得$∠BDH=∠CDG$，因此$∠BDC=∠HDG$，在四边形OHDG中，$∠OHD=∠OGD=90°$，$∠MON=90°$，故$∠HDG=360°-90°-90°-90°=90°$，即$∠BDC=90°$。
(2) 由上述推导可知$∠BDC=180°-∠MON$，当$∠BDC=100°$时，$∠MON=180°-100°=80°$，又OA平分$∠MON$，因此$∠BOD=\frac{1}{2}∠MON=\frac{1}{2}×80°=40°$。
(3) 证明：过D作$DH⊥OM$于点H，$DG⊥ON$于点G，
∵点D在$∠MON$的角平分线上，$DH⊥OM$，$DG⊥ON$，
∴$DH=DG$，
∵P为BC中点，$DP⊥BC$，
∴DP垂直平分BC，
∴$DB=DC$，
在$\mathrm{Rt}△DBH$和$\mathrm{Rt}△DCG$中，
$\begin{cases} DB=DC \\ DH=DG \end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△DBH≌\mathrm{Rt}△DCG(\mathrm{HL})$，
∴$∠BDH=∠CDG$，
∴$∠BDC=∠HDG$，
在四边形OHDG中，$∠HDG=360°-∠OHD-∠OGD-∠MON=360°-90°-90°-α=180°-α$，
∴$∠BDC=180°-α$。
【答案】
(1)$90°$ (2)$40°$ (3)$180°−α$
解:(3)过 D 作$DH⊥OM$于点 H,
$DG⊥ON$于点 G,则$DH=DG$,
∵DP 垂直平分BC,
∴DB=DC,
在$\mathrm{Rt}△DBH$和$\mathrm{Rt}△DCG$中,
$\begin{cases} DB=DC, \\ DH=DG, \end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△DBH≌\mathrm{Rt}△DCG(\mathrm{HL})$,
∴$∠BDH=∠CDG$,
∴$∠BDC=∠HDG=180°−α.$
【知识点】
角平分线的性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是典型的几何综合题，将角平分线、垂直平分线的性质与全等三角形的判定相结合，解题核心是通过作两条垂线构造全等三角形，实现角度的转化，掌握相关基础性质即可理清解题逻辑。
【难度系数】
0.65
解题时可从已知条件的性质入手思考：①已知OA是∠MON的角平分线，可联想到“角平分线上的点到角两边的距离相等”，因此过D作OM、ON的垂线，得到相等的垂线段；②已知DP垂直平分BC，可联想到“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”，得到DB=DC。此时可通过HL证明两个直角三角形全等，得到角的等量关系，进而推导∠BDC与∠MON的互补关系，利用该关系即可求解三小问：第一问代入∠MON=90°直接计算；第二问先由∠BDC反推∠MON的度数，再结合角平分线的定义求∠BOD；第三问直接推导通用结论并证明。
【解析】
(1) 过D作DH⊥OM于H，DG⊥ON于G，由角平分线性质得DH=DG，由DP垂直平分BC得DB=DC，可证$\mathrm{Rt}△DBH≌\mathrm{Rt}△DCG(\mathrm{HL})$，得$∠BDH=∠CDG$，因此$∠BDC=∠HDG$，在四边形OHDG中，$∠OHD=∠OGD=90°$，$∠MON=90°$，故$∠HDG=360°-90°-90°-90°=90°$，即$∠BDC=90°$。
(2) 由上述推导可知$∠BDC=180°-∠MON$，当$∠BDC=100°$时，$∠MON=180°-100°=80°$，又OA平分$∠MON$，因此$∠BOD=\frac{1}{2}∠MON=\frac{1}{2}×80°=40°$。
(3) 证明：过D作$DH⊥OM$于点H，$DG⊥ON$于点G，
∵点D在$∠MON$的角平分线上，$DH⊥OM$，$DG⊥ON$，
∴$DH=DG$，
∵P为BC中点，$DP⊥BC$，
∴DP垂直平分BC，
∴$DB=DC$，
在$\mathrm{Rt}△DBH$和$\mathrm{Rt}△DCG$中，
$\begin{cases} DB=DC \\ DH=DG \end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△DBH≌\mathrm{Rt}△DCG(\mathrm{HL})$，
∴$∠BDH=∠CDG$，
∴$∠BDC=∠HDG$，
在四边形OHDG中，$∠HDG=360°-∠OHD-∠OGD-∠MON=360°-90°-90°-α=180°-α$，
∴$∠BDC=180°-α$。
【答案】
(1)$90°$ (2)$40°$ (3)$180°−α$
解:(3)过 D 作$DH⊥OM$于点 H,
$DG⊥ON$于点 G,则$DH=DG$,
∵DP 垂直平分BC,
∴DB=DC,
在$\mathrm{Rt}△DBH$和$\mathrm{Rt}△DCG$中,
$\begin{cases} DB=DC, \\ DH=DG, \end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△DBH≌\mathrm{Rt}△DCG(\mathrm{HL})$,
∴$∠BDH=∠CDG$,
∴$∠BDC=∠HDG=180°−α.$
【知识点】
角平分线的性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是典型的几何综合题，将角平分线、垂直平分线的性质与全等三角形的判定相结合，解题核心是通过作两条垂线构造全等三角形，实现角度的转化，掌握相关基础性质即可理清解题逻辑。
【难度系数】
0.65
