【例1】如图，△ABC中，AB的垂直平分线交BC于D，交AB于E。若AC＝4，BC＝6，则△ACD的周长为。

解:
∵DE为AB的垂直平分线，
∴BD=AD，
∴△ACD周长为AD+CD+AC=BD+CD+4=10.

【分析】
解题时首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。观察图形可知点D在AB的垂直平分线上，因此可得AD=BD。要求△ACD的周长，先写出周长的组成：AD+CD+AC，将其中的AD替换为等量的BD，就可以把周长转化为BD+CD+AC，而BD+CD刚好是BC的长度，代入已知的BC和AC的数值即可求出结果。
【解析】
∵DE是AB的垂直平分线，
∴根据线段垂直平分线的性质可得AD=BD，
△ACD的周长 = AD + CD + AC，
将AD替换为BD，可得：
△ACD的周长 = BD + CD + AC = BC + AC，
已知AC=4，BC=6，代入得：
△ACD的周长 = 6 + 4 = 10。
【答案】
10
【知识点】
线段垂直平分线的性质；三角形周长计算
【点评】
本题是基础题型，解题的核心是利用线段垂直平分线的性质完成线段的等量转化，将未知周长的线段和转化为已知长度的线段和，进而快速求解，熟练掌握相关性质即可轻松解答。
【难度系数】
0.85

练习.如图,在$△ ABC$中,BE平分$∠ ABC$,交AC于E,DE垂直平分AB于D,
(1)若$∠ C=90°$,求证:$BE+DE=AC$;
(2)若$△ ABC$的周长是20,$△ BCE$的周长是12,求AB的长.

(1)证明:易证DE=CE,AE=BE,
∴BE+DE=AC;
(2)解:
∵AC+BC+AB=20,
AC+BC=12,
∴AB=8.

【分析】
(1)要证$BE+DE=AC$，观察$AC$是$AE$与$CE$的和，可通过线段等量代换推导：首先根据线段垂直平分线的性质可得$AE=BE$；再结合角平分线的性质，由$∠ C=90°$、$DE⊥ AB$可推出$DE=CE$，将$AE$、$CE$分别替换为$BE$、$DE$即可得证。
(2)要求$AB$的长，先写出两个三角形的周长表达式：$△ ABC$周长$=AB+BC+AC=20$，$△ BCE$周长$=BC+CE+BE=12$；再利用垂直平分线性质$BE=AE$，可得$CE+BE=CE+AE=AC$，即$△ BCE$的周长等于$BC+AC=12$，将其代入$△ ABC$的周长表达式，两式相减即可求出$AB$的长度。
【解析】
(1)证明：
$\because DE$垂直平分$AB$，
$\therefore AE=BE$（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等），
$\because BE$平分$∠ ABC$，$∠ C=90°$，$DE⊥ AB$，
$\therefore DE=CE$（角平分线上的点到角两边的距离相等），
$\because AC=AE+CE$，
将$AE=BE$、$CE=DE$代入得：$AC=BE+DE$，即$BE+DE=AC$。
(2)解：
$\because △ ABC$的周长为$20$，
$\therefore AB+BC+AC=20$ ①，
$\because △ BCE$的周长为$12$，
$\therefore BC+CE+BE=12$，
又$\because BE=AE$，
$\therefore BC+CE+AE=BC+AC=12$ ②，
将②代入①得：$AB+12=20$，
解得$AB=8$。
【答案】
(1)证明成立；
(2)$AB$的长为$8$。
【知识点】
角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，三角形周长计算
【点评】
本题侧重考查几何基础性质的应用，解题核心是利用角平分线和线段垂直平分线的性质完成线段的等量代换，第二问通过周长公式建立关系即可快速求解，是几何部分的典型基础题，需熟练掌握相关性质的应用场景。
【难度系数】
0.7

【例2】点 P 是△ABC 内的一点,若 PB=PC,则()

A.点 P 在∠ABC 的平分线上
B.点 P 在∠ACB 的平分线上
C.点 P 在边 AB 的垂直平分线上
D.点 P 在边 BC 的垂直平分线上

D

【分析】
解题时首先回忆相关几何判定定理：明确线段垂直平分线的判定是“到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”，角平分线的判定是“到角两边距离相等的点在角的平分线上”。题目给出条件PB=PC，即点P到点B、点C的距离相等，结合各选项对应的判定条件逐一验证即可。
【解析】
根据线段垂直平分线的判定定理：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
已知PB=PC，说明点P到线段BC的两个端点B、C的距离相等，因此点P在边BC的垂直平分线上。
对各选项逐一分析：
A选项：点在∠ABC的平分线上需要满足该点到AB、BC的距离相等，题中无相关条件，错误；
B选项：点在∠ACB的平分线上需要满足该点到AC、BC的距离相等，题中无相关条件，错误；
C选项：点在AB的垂直平分线上需要满足PA=PB，与题中PB=PC的条件不符，错误；
D选项符合判定结论，正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 线段垂直平分线的判定
2. 角平分线的判定
【点评】
本题主要考查线段垂直平分线判定定理的应用，解题关键是区分线段垂直平分线判定和角平分线判定的不同适用条件，熟记定理即可快速解题。
【难度系数】
0.9

练习1.如图，已知$AC=AD$，$BC=BD$，则（）

A.AB 垂直平分CD
B.CD 垂直平分AB
C.AB 与CD 互相垂直平分
D.CD 平分$∠ ACB$

A

【分析】
解题时先回忆线段垂直平分线的判定定理：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。首先根据已知条件AC=AD，可推出点A在CD的垂直平分线上；再根据BC=BD，可推出点B也在CD的垂直平分线上。结合“两点确定一条直线”的原理，就能判断AB和CD的位置关系，进而选出正确选项。
【解析】
解：
∵AC=AD，
∴点A在线段CD的垂直平分线上（到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上），
又
∵BC=BD，
∴点B在线段CD的垂直平分线上，
∵两点确定一条直线，
∴直线AB是线段CD的垂直平分线，即AB垂直平分CD。
其余选项判断：B选项，题干未给出C、D到A、B的距离相等，无法证明CD垂直平分AB，错误；C选项，由B的分析可知CD不一定平分AB，故互相垂直平分不成立，错误；D选项，无相关条件证明CD平分∠ACB，错误。
【答案】
A
【知识点】
线段垂直平分线的判定，两点确定一条直线
【点评】
本题是线段垂直平分线判定的基础应用题，解题核心是熟练掌握线段垂直平分线的判定定理，结合两点确定一条直线即可快速得出结论，做题时注意不要随意添加题干未给出的条件。
【难度系数】
0.8

练习2.如图,在四边形ABCD中,AB=AD,BC边的垂直平分线MN经过A点,连接AC,求证:点A在CD的垂直平分线上.

证明:MN垂直平分BC,
∴AB=AC,
∵AB=AD,
∴AC=AD,
∴点A在CD的垂直平分线上.

【分析】
要证明点A在CD的垂直平分线上，根据线段垂直平分线的判定定理，只需证明AC=AD即可。首先利用线段垂直平分线的性质，结合点A在BC的垂直平分线MN上，可推出AB=AC，再结合已知AB=AD，通过等量代换得到AC=AD，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵MN垂直平分BC，
∴AB=AC（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
又
∵AB=AD，
∴AC=AD（等量代换），
∴点A在CD的垂直平分线上（到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）。
【答案】
证明：MN垂直平分BC,
∴AB=AC,
∵AB=AD,
∴AC=AD,
∴点A在CD的垂直平分线上.
【知识点】
线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定
【点评】
本题考查线段垂直平分线的相关应用，解题关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质和判定，明确“证明点在某线段的垂直平分线上”等价于“证明该点到线段两端点的距离相等”，属于基础类题目，熟练掌握定理即可快速解答。
【难度系数】
0.8

【例3】(教材P67T3变式)下列说法正确的是（）

A.真命题的逆命题是真命题
B.原命题是假命题,则它的逆命题也是假命题
C.任何命题一定有逆命题
D.任何定理一定有逆定理

C

【分析】
解答本题需先明确命题、逆命题、定理、逆定理的基本概念，再通过举反例的方式逐一验证每个选项的正误，最终确定正确答案。首先回忆：将命题的题设和结论互换即可得到它的逆命题，因此所有命题都有逆命题；而定理是经过证明的真命题，只有其逆命题也为真命题时，才存在逆定理。
【解析】
首先明确相关概念：
1. 命题由题设和结论两部分组成，把一个命题的题设和结论互换，就能得到它的逆命题，因此任何命题都有逆命题；
2. 定理是经过推理证实的真命题，只有定理的逆命题经过证明也为真命题时，才称其为原定理的逆定理，因此不是所有定理都有逆定理。
逐一分析选项：
A. 举反例：真命题“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”，是假命题，因此真命题的逆命题不一定是真命题，A错误；
B. 举反例：假命题“相等的角是对顶角”的逆命题是“对顶角相等”，是真命题，因此假命题的逆命题不一定是假命题，B错误；
C. 任何命题都可以通过互换题设和结论得到逆命题，因此任何命题一定有逆命题，C正确；
D. 举反例：定理“对顶角相等”的逆命题是假命题，因此该定理没有逆定理，不是任何定理都有逆定理，D错误。
【答案】
C
【知识点】
1. 命题与逆命题
2. 定理与逆定理
【点评】
本题属于概念辨析类基础题，重点考查对命题、逆命题、定理、逆定理关系的理解，解题时通过举反例判断命题真假的方法可以快速排除错误选项，需要注意的是定理一定是真命题，但它的逆命题不一定为真，因此不一定存在逆定理。
【难度系数】
0.8

练习1.下列命题中,逆命题是真命题的是()

A.直角三角形两锐角互余
B.对顶角相等
C.若两直线垂直,则两直线有交点
D.若$x=1$,则$x^2=1$

A

【分析】
要解决这道题，首先需要明确逆命题的定义：将原命题的题设（条件）和结论互换位置，得到的新命题就是原命题的逆命题。解题步骤应为：先依次写出每个选项中原命题的逆命题，再结合已学的数学定理、性质判断逆命题是否为真命题（即是否成立），假命题可以通过举反例快速验证。
【解析】
我们逐个分析各选项：
A. 原命题“直角三角形两锐角互余”的题设是“一个三角形是直角三角形”，结论是“三角形的两个锐角互余”，逆命题为“若一个三角形的两个锐角互余，则这个三角形是直角三角形”。根据三角形内角和为180°，两个锐角和为90°，则第三个角为90°，确实是直角三角形，该逆命题为真命题。
B. 原命题“对顶角相等”的逆命题为“若两个角相等，则这两个角是对顶角”。比如平行线被截得到的同位角相等，但同位角不是对顶角，该逆命题为假命题。
C. 原命题“若两直线垂直，则两直线有交点”的逆命题为“若两直线有交点，则两直线垂直”。两直线相交但夹角不是90°时也有交点，此时不垂直，该逆命题为假命题。
D. 原命题“若$x=1$，则$x^2=1$”的逆命题为“若$x^2=1$，则$x=1$”。当$x=-1$时，$x^2=1$也成立，所以x不一定等于1，该逆命题为假命题。
综上，只有A选项的逆命题是真命题。
【答案】
A
【知识点】
逆命题的概念；真假命题判断；直角三角形判定
【点评】
本题核心考查逆命题的改写方法和真假命题的判断逻辑，解题的关键是准确拆分原命题的条件和结论，改写后结合相关基础数学性质判断正误，遇到假命题时可通过举反例快速排除选项，是对命题相关基础概念的典型考查。
【难度系数】
0.75

练习2.写出下列命题的逆命题，并指出逆命题的真假性：
(1)同位角相等，两直线平行；
(2)全等三角形的对应角相等。

(1)两直线平行,同位角相等,逆命题是真命题;
(2)对应角相等的两个三角形全等,逆命题是假命题.

【分析】
解这道题首先要明确逆命题的构造规则：任何命题都可以拆分为题设（条件）和结论两部分，逆命题就是将原命题的题设和结论互换位置得到的新命题。得到逆命题后，结合已学几何知识判断真假：符合公理、定理的是真命题，能举出反例（满足题设但不满足结论）的是假命题。具体解题时先分别拆分两个原命题的题设和结论，互换得到逆命题后再逐一判断真假即可。
【解析】
(1) 原命题“同位角相等，两直线平行”中，题设是“同位角相等”，结论是“两直线平行”。将题设和结论互换，得到逆命题：两直线平行，同位角相等。该命题是平行线的性质定理，符合几何事实，因此是真命题。
(2) 原命题“全等三角形的对应角相等”中，题设是“两个三角形是全等三角形”，结论是“两个三角形的对应角相等”。将题设和结论互换，得到逆命题：对应角相等的两个三角形全等。举反例：两个边长不同的等边三角形，对应角都为60°（对应角相等），但边长不相等，两个三角形不全等，因此该命题不成立，是假命题。
【答案】
(1)两直线平行,同位角相等,逆命题是真命题;(2)对应角相等的两个三角形全等,逆命题是假命题.
【知识点】
逆命题的构造，真假命题判断，全等三角形的性质
【点评】
本题是命题相关的基础题型，重点考查逆命题的改写方法和真假命题的判断逻辑，易错点是改写逆命题时找不准原命题的题设和结论，判断假命题时只需举出1个符合题设但不符合结论的反例即可。
【难度系数】
0.8