疑难点拨
如图,某同学画的反比例函数 $y=\frac{6}{x}$ 的图象如图所示,请写出图象中的错误.

点拨 根据反比例函数图象的特征,应该从图象形状、函数定义、与坐标轴的交点、
图象上对应点的位置等方面进行分析.

观察图象,主要错误有:①图象形状错误:反比例
函数的图象是双曲线,不是折线;②不满足函数定义:有一个x
值,对应两个y值;③与y轴有交点:$\because y=\frac{6}{x}$中,$x≠0,y≠0,$
∴图象不可能与坐标轴相交;④对应点的位置不正确:比如,当
$x=-6$时,$y=-1$,即图象需经过点$(-6,-1).$

【分析】
要找出反比例函数$y=\frac{6}{x}$图象的错误，需结合反比例函数的定义、图象特征逐一分析：首先回忆反比例函数的图象是双曲线，函数要求一个自变量对应唯一函数值，且x、y都不能为0，图象不能与坐标轴相交，同时图象上的点需满足函数解析式，据此判断图象的错误。
【解析】
根据反比例函数$y=\frac{6}{x}$的性质，分析图象错误如下：
1. 图象形状错误：反比例函数的图象是双曲线，而图中是折线，不符合双曲线的特征；
2. 不满足函数定义：函数要求一个x值只能对应一个y值，图中存在一个x对应两个y值的情况，违反函数定义；
3. 与坐标轴相交错误：反比例函数中$x≠0$，$y≠0$，因此图象不可能与x轴、y轴相交，图中图象与y轴有交点，错误；
4. 对应点位置错误：当$x=-6$时，代入解析式得$y=\frac{6}{-6}=-1$，即图象应经过点$(-6,-1)$，但图中对应点不符合，错误。
【答案】
①图象形状错误，应为双曲线而非折线；②不满足函数定义，存在一个x对应两个y值；③与y轴相交，反比例函数图象不与坐标轴相交；④对应点位置错误，如$x=-6$时应经过$(-6,-1)$。
【知识点】
反比例函数图象、函数定义
【点评】
本题考查反比例函数的基础性质，需掌握反比例函数的图象特征、函数定义及自变量和函数值的取值范围，是常见的基础题型，需注意识别这类典型错误。
【难度系数】
0.5

1. 根据下列步骤,在平面直角坐标系中画出反比例函数 $y=\frac{6}{x}$ 的图象.
(1) 列表.根据表中 x 的取值,求出对应的 y 值,填入表内.观察 x 值的取法,从中你能获得哪些经验?

(2) 以表中各组对应值为点的坐标,在平面直角坐标系中描出相应的点.
(3) 先在第一象限内,按自变量由小到大的顺序,将点用光滑曲线连接,得到图象的一个分支;再在第三象限内画出图象的另一个分支.

1. (1) $-1,-\frac{6}{5},-\frac{3}{2},-3,-6,6,3,2,\frac{3}{2},\frac{6}{5},1$;选取的自变
量的值,既要易于计算,又要便于描点,尽量多取一些数值,
必须具有代表性,兼顾正、负数.
(2) 描点如图1.


(3) 连线如图2.

【分析】
要画出反比例函数$y=\frac{6}{x}$的图象，需遵循反比例函数图象的绘制步骤：第一步列表，要选取合适的自变量$x$的值，注意$x≠0$，兼顾正负数，多取数值便于描点；第二步描点，将列表得到的$(x,y)$对应点标注在平面直角坐标系中；第三步连线，分第一、第三象限，用光滑曲线连接对应点，形成双曲线的两个分支。
【解析】
(1) 列表：根据$y=\frac{6}{x}$，选取$x$的取值为$-6,-5,-4,-2,-1,1,2,3,4,5,6$，计算对应的$y$值：
当$x=-6$时，$y=\frac{6}{-6}=-1$；$x=-5$时，$y=-\frac{6}{5}$；$x=-4$时，$y=-\frac{3}{2}$；$x=-2$时，$y=-3$；$x=-1$时，$y=-6$；
当$x=1$时，$y=6$；$x=2$时，$y=3$；$x=3$时，$y=2$；$x=4$时，$y=\frac{3}{2}$；$x=5$时，$y=\frac{6}{5}$；$x=6$时，$y=1$。
选取$x$值的经验：自变量取值不能为0，兼顾正、负数，取值要易于计算，尽量多取数值，保证代表性，便于准确描点。
(2) 描点：将上述各组$(x,y)$作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出对应点，如图1所示。
(3) 连线：在第一象限内，按自变量$x$由小到大的顺序，用光滑曲线连接第一象限的点；再在第三象限内，用光滑曲线连接第三象限的点，得到反比例函数$y=\frac{6}{x}$的图象，如图2所示。
【答案】
1. (1) $-1,-\frac{6}{5},-\frac{3}{2},-3,-6,6,3,2,\frac{3}{2},\frac{6}{5},1$；选取的自变量的值，既要易于计算，又要便于描点，尽量多取一些数值，必须具有代表性，兼顾正、负数。
(2) 描点如图1。

(3) 连线如图2。

【知识点】
反比例函数图象、函数列表描点连线
【点评】
本题考查反比例函数图象的绘制，是函数学习的基础操作，步骤清晰，重点掌握列表选值的原则和连线的要求，属于基础题型。
【难度系数】
0.3

2. (1) 在同一平面直角坐标系中,画出下面3个函数的图象:$y=\frac{1}{x},y=\frac{5}{x},y=\frac{9}{x}$;
(2) 观察图象可归纳:反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 的图象的特征有:
图象有个分支;图象关于成中心对称,关于直线或成轴对称;图象无限逼近坐标轴,但不与坐标轴;当$k＞0$时,图象在第象限;
(3) 观察并猜想:对于两个不同的反比例函数 $y=\frac{k_{1}}{x}$ 和 $y=\frac{k_{2}}{x}(k_{1}≠k_{2})$,它们的图象会不会相交?

2. (1) 画函数图象略. (2) 2 原点 $y=x$ $y=-x$ 相交
一、三 (3) 不会相交.

【分析】
本题围绕反比例函数的图象与性质设置问题，分三小问解答：
1. 第(1)题：绘制反比例函数图象时，需根据反比例函数的图象特征（k＞0时图象在一、三象限，为双曲线），选取合适的x值计算对应y值，描点后用平滑曲线连接即可。
2. 第(2)题：通过观察绘制的反比例函数图象，归纳其分支数量、对称性、与坐标轴的关系及k＞0时的象限分布。
3. 第(3)题：判断两个不同反比例函数图象是否相交，可通过联立函数解析式，根据方程解的情况推导结论。
【解析】
(1) 画函数图象：
对于$y=\frac{1}{x}$、$y=\frac{5}{x}$、$y=\frac{9}{x}$，均满足k＞0，图象为位于第一、三象限的双曲线。分别取x的正负值，计算对应的y值，描点后用平滑曲线连接，即可得到三个函数的图象，画图略。
(2) 归纳反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象特征：
图象是双曲线，有2个分支；关于原点成中心对称，关于直线$y=x$或$y=-x$成轴对称；图象无限逼近坐标轴，但不与坐标轴相交；当$k＞0$时，图象在第一、三象限。
(3) 判断两个不同反比例函数的图象是否相交：
假设$y=\frac{k_1}{x}$和$y=\frac{k_2}{x}(k_1≠k_2)$的图象相交，则$\frac{k_1}{x}=\frac{k_2}{x}$，两边同乘$x$（$x≠0$）得$k_1=k_2$，与$k_1≠k_2$矛盾，因此方程无解，故它们的图象不会相交。
【答案】
(1) 画图略；(2) 2；原点；$y=x$；$y=-x$；相交；一、三；(3) 不会相交
【知识点】
反比例函数的图象；反比例函数的性质；函数图象的对称性
【点评】
本题考查反比例函数的基础图象与性质，是反比例函数的核心知识点，需熟练掌握图象特征、对称性及象限分布，联立方程判断图象交点是常用方法，题目难度适中，侧重基础应用。
【难度系数】
0.6