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3. 如图,在所给的平面直角坐标系中,画出反比例函数 $y=\frac{4}{x}$ 的图象.如果$A(-2,y_{1}),B(-1,y_{2}),C(1,y_{3})$三点都在反比例函数 $y=\frac{4}{x}$ 的图象上,试利用图象比较 $y_{1},y_{2},y_{3}$ 的大小.
答案
$y_{2}＜y_{1}＜y_{3}.$
解析
【分析】
要比较三点对应的函数值大小，可结合反比例函数的性质或代入计算函数值来分析。首先，反比例函数$y=\frac{4}{x}$中$k=4＞0$，图像分布在一、三象限，且在每个象限内$y$随$x$的增大而减小。先确定三点所在象限：$A(-2,y_1)$、$B(-1,y_2)$在第三象限，函数值为负；$C(1,y_3)$在第一象限，函数值为正，再结合第三象限内的增减性即可比较大小。
【解析】
1. 计算各点的函数值：
将$A(-2,y_1)$代入$y=\frac{4}{x}$，得$y_1=\frac{4}{-2}=-2$；
将$B(-1,y_2)$代入$y=\frac{4}{x}$，得$y_2=\frac{4}{-1}=-4$；
将$C(1,y_3)$代入$y=\frac{4}{x}$，得$y_3=\frac{4}{1}=4$。
2. 比较函数值大小：
因为$-4 ＜ -2 ＜ 4$，所以$y_2 ＜ y_1 ＜ y_3$。
【答案】
$y_{2}＜y_{1}＜y_{3}$
【知识点】
反比例函数的图像、反比例函数的性质
【点评】
本题考查反比例函数的基本性质，通过代入计算函数值或利用图像的象限及增减性比较大小，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】
0.7
要比较三点对应的函数值大小，可结合反比例函数的性质或代入计算函数值来分析。首先，反比例函数$y=\frac{4}{x}$中$k=4＞0$，图像分布在一、三象限，且在每个象限内$y$随$x$的增大而减小。先确定三点所在象限：$A(-2,y_1)$、$B(-1,y_2)$在第三象限，函数值为负；$C(1,y_3)$在第一象限，函数值为正，再结合第三象限内的增减性即可比较大小。
【解析】
1. 计算各点的函数值：
将$A(-2,y_1)$代入$y=\frac{4}{x}$，得$y_1=\frac{4}{-2}=-2$；
将$B(-1,y_2)$代入$y=\frac{4}{x}$，得$y_2=\frac{4}{-1}=-4$；
将$C(1,y_3)$代入$y=\frac{4}{x}$，得$y_3=\frac{4}{1}=4$。
2. 比较函数值大小：
因为$-4 ＜ -2 ＜ 4$，所以$y_2 ＜ y_1 ＜ y_3$。
【答案】
$y_{2}＜y_{1}＜y_{3}$
【知识点】
反比例函数的图像、反比例函数的性质
【点评】
本题考查反比例函数的基本性质，通过代入计算函数值或利用图像的象限及增减性比较大小，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】
0.7
4. (2026 北京)在平面直角坐标系中,点$A(3,2),B(-4,1),C(-6,m)$分别在三个不同的象限,若反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k≠0)$ 的图象经过其中两点,则 m 的值为
-1
.答案
4. $-1$
解析
【分析】首先确定各点所在象限：点A(3,2)的横、纵坐标均为正，在第一象限；点B(-4,1)横坐标为负、纵坐标为正，在第二象限；因三个点分别在三个不同象限，故点C(-6,m)必在第三象限，即m＜0。再根据反比例函数上的点满足“横纵坐标乘积为定值k”的性质，分析哪两点的乘积相等，结合象限要求排除不符合的组合，进而求出m的值。
【解析】1. 确定点C的象限：A在第一象限、B在第二象限，三点分属三个不同象限，故C在第三象限，得m＜0；
2. 反比例函数性质：若两点在反比例函数$y=\frac{k}{x}$上，则两点横纵坐标乘积相等（即$k=xy$）；
3. 分析可能的两点组合：
若过A、B：A的$xy=3×2=6$，B的$xy=(-4)×1=-4$，乘积不等，排除；
若过A、C：则$(-6)×m=3×2=6$，解得$m=-1$，此时C(-6,-1)在第三象限，符合三点分属三个象限的条件；
若过B、C：则$(-6)×m=(-4)×1=-4$，解得$m=\frac{2}{3}$，此时C在第二象限，与B同象限，不符合要求，排除；
综上，m的值为-1。
【答案】-1
【知识点】反比例函数的性质、平面直角坐标系中点的象限特征
【点评】本题结合平面直角坐标系中点的象限分布和反比例函数的核心性质解题，关键是先确定各点的象限，再利用反比例函数上点的横纵坐标乘积为定值的特点，排除不符合条件的组合，属于中等难度的综合题。
【难度系数】0.5
【解析】1. 确定点C的象限：A在第一象限、B在第二象限，三点分属三个不同象限，故C在第三象限，得m＜0；
2. 反比例函数性质：若两点在反比例函数$y=\frac{k}{x}$上，则两点横纵坐标乘积相等（即$k=xy$）；
3. 分析可能的两点组合：
若过A、B：A的$xy=3×2=6$，B的$xy=(-4)×1=-4$，乘积不等，排除；
若过A、C：则$(-6)×m=3×2=6$，解得$m=-1$，此时C(-6,-1)在第三象限，符合三点分属三个象限的条件；
若过B、C：则$(-6)×m=(-4)×1=-4$，解得$m=\frac{2}{3}$，此时C在第二象限，与B同象限，不符合要求，排除；
综上，m的值为-1。
【答案】-1
【知识点】反比例函数的性质、平面直角坐标系中点的象限特征
【点评】本题结合平面直角坐标系中点的象限分布和反比例函数的核心性质解题，关键是先确定各点的象限，再利用反比例函数上点的横纵坐标乘积为定值的特点，排除不符合条件的组合，属于中等难度的综合题。
【难度系数】0.5
5. 如表是反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k≠0)$ 关于自变量 x 与函数值 y的部分对应值:
(1) 直接写出 k,m,n 的值;
(2) 根据表中的数值画出反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k≠0)$ 的图象;
(3) 根据图象,当$y＞4$时,直接写出自变量 x 的取值范围.
(1) 直接写出 k,m,n 的值;
(2) 根据表中的数值画出反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k≠0)$ 的图象;
(3) 根据图象,当$y＞4$时,直接写出自变量 x 的取值范围.
答案
5. (1) $k=8,m=-2,n=4$. (2) 画函数图象略.
(3) $0＜x＜2$.
(3) $0＜x＜2$.
解析
【分析】
要解决这道题，可按以下思路分步进行：
1. 求k、m、n：利用反比例函数的核心性质“xy=k”，只需找到一组已知的x、y值就能求出k；再将其他对应的x或y代入y=k/x，即可算出未知的m和n。
2. 画反比例函数图象：先根据k值确定函数上的若干点，再用平滑曲线连接，注意k＞0时反比例函数是双曲线，分第一、第三象限两支。
3. 求y＞4时x的范围：结合k＞0时反比例函数“在每个象限内y随x增大而减小”的性质，找到y=4对应的x值，再根据y＞4为正数，确定仅在第一象限内的x取值范围。
【解析】
(1) 对于反比例函数y=k/x，由xy=k，选取表中一组对应值（如x=2，y=4），可得k=2×4=8；
当x=-4时，代入得m=8/(-4)=-2；
当x=2时，代入得n=8/2=4；
(2) 画函数图象：根据k=8，确定函数上的点如(1,8)、(2,4)、(4,2)、(-1,-8)、(-2,-4)、(-4,-2)，在平面直角坐标系中描点后，用平滑曲线分别连接第一、第三象限的点，得到双曲线；
(3) 由图象可知，当y=4时，对应的x=2，因k=8＞0，第一象限内y随x增大而减小，故当y＞4时，x的取值范围是0＜x＜2。
【答案】
(1)k=8，m=-2，n=4；(2)画函数图象略；(3)0＜x＜2
【知识点】
反比例函数的性质，反比例函数的图象，待定系数法求反比例函数解析式
【点评】
本题是反比例函数的基础应用题型，考察了反比例函数解析式求解、图象绘制及图象性质的应用，知识点常规，难度较低，适合巩固反比例函数的核心基础。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，可按以下思路分步进行：
1. 求k、m、n：利用反比例函数的核心性质“xy=k”，只需找到一组已知的x、y值就能求出k；再将其他对应的x或y代入y=k/x，即可算出未知的m和n。
2. 画反比例函数图象：先根据k值确定函数上的若干点，再用平滑曲线连接，注意k＞0时反比例函数是双曲线，分第一、第三象限两支。
3. 求y＞4时x的范围：结合k＞0时反比例函数“在每个象限内y随x增大而减小”的性质，找到y=4对应的x值，再根据y＞4为正数，确定仅在第一象限内的x取值范围。
【解析】
(1) 对于反比例函数y=k/x，由xy=k，选取表中一组对应值（如x=2，y=4），可得k=2×4=8；
当x=-4时，代入得m=8/(-4)=-2；
当x=2时，代入得n=8/2=4；
(2) 画函数图象：根据k=8，确定函数上的点如(1,8)、(2,4)、(4,2)、(-1,-8)、(-2,-4)、(-4,-2)，在平面直角坐标系中描点后，用平滑曲线分别连接第一、第三象限的点，得到双曲线；
(3) 由图象可知，当y=4时，对应的x=2，因k=8＞0，第一象限内y随x增大而减小，故当y＞4时，x的取值范围是0＜x＜2。
【答案】
(1)k=8，m=-2，n=4；(2)画函数图象略；(3)0＜x＜2
【知识点】
反比例函数的性质，反比例函数的图象，待定系数法求反比例函数解析式
【点评】
本题是反比例函数的基础应用题型，考察了反比例函数解析式求解、图象绘制及图象性质的应用，知识点常规，难度较低，适合巩固反比例函数的核心基础。
【难度系数】
0.7
6. 如图,已知$A(1,m),B(5,1)$是一次函数$y_{1}=kx+b$的图象和反比例函数 $y_{2}=\frac{a}{x}$ 的图象的两个交点.
(1) 求反比例函数和一次函数的表达式并在平面直角坐标系中画出图象;
(2) 连接 AO,BO,求$△ AOB$的面积;
(3) 直接写出当$y_{2}≥y_{1}$时 x 的取值范围.
(1) 求反比例函数和一次函数的表达式并在平面直角坐标系中画出图象;
(2) 连接 AO,BO,求$△ AOB$的面积;
(3) 直接写出当$y_{2}≥y_{1}$时 x 的取值范围.
答案
6. (1) 反比例函数的表达式为$y_{2}=\frac{5}{x}$. 一次函数的表达式
为$y_{1}=-x+6$.画函数图象略.
答案
(2) $S_{△ AOB}=12.$
(3) $0＜x≤1$或$x≥5.$
为$y_{1}=-x+6$.画函数图象略.
答案
(2) $S_{△ AOB}=12.$
(3) $0＜x≤1$或$x≥5.$
解析
【分析】
要解决这道题，分三步思考：
1. 求函数表达式：利用反比例函数过点B，先求反比例函数的参数，再通过反比例函数求A点坐标，最后用待定系数法求一次函数表达式；
2. 求△AOB面积：通过找直线AB与y轴的交点，用割补法（两个三角形面积差）计算；
3. 解不等式：结合两个函数的图像，观察交点处及两侧的函数值大小，确定x的范围。
【解析】
(1) 求反比例函数表达式：
已知反比例函数$y_2=\frac{a}{x}$过点$B(5,1)$，将$B(5,1)$代入得：$1=\frac{a}{5}$，解得$a=5$，因此反比例函数表达式为$y_2=\frac{5}{x}$。
因为点$A(1,m)$在反比例函数$y_2=\frac{5}{x}$上，代入得$m=\frac{5}{1}=5$，即$A(1,5)$。
求一次函数表达式：
一次函数$y_1=kx+b$过$A(1,5)$和$B(5,1)$，代入得方程组：
$\begin{cases}k + b =5 \\5k + b=1\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程：$4k=-4$，解得$k=-1$，将$k=-1$代入$k + b=5$，得$b=6$，因此一次函数表达式为$y_1=-x+6$。
(2) 求$△ AOB$的面积：
设直线$AB$与$y$轴交于点$C$，令$x=0$，代入$y_1=-x+6$得$y=6$，即$C(0,6)$，$OC=6$。
$△ COB$的面积：$S_{△ COB}=\frac{1}{2} × OC × |x_B|=\frac{1}{2} ×6×5=15$；
$△ COA$的面积：$S_{△ COA}=\frac{1}{2} × OC × |x_A|=\frac{1}{2} ×6×1=3$；
因此$S_{△ AOB}=S_{△ COB}-S_{△ COA}=15-3=12$。
(3) 求$y_2≥ y_1$时$x$的取值范围：
观察两个函数的图像，交点为$A(1,5)$和$B(5,1)$，在第一象限内，当$0＜x≤1$时，反比例函数图像在一次函数上方；当$x≥5$时，反比例函数图像也在一次函数上方，因此$x$的取值范围是$0＜x≤1$或$x≥5$。
【答案】
(1) 反比例函数表达式为$y_2=\frac{5}{x}$，一次函数表达式为$y_1=-x+6$；(2) $S_{△ AOB}=12$；(3) $0＜x≤1$或$x≥5$。
【知识点】
反比例函数表达式，一次函数表达式，三角形面积，函数图像与不等式
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的综合题，考查待定系数法求函数解析式、三角形面积的计算及利用函数图像解不等式，重点体现数形结合思想，需要学生掌握函数交点与不等式解集的对应关系，难度适中。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，分三步思考：
1. 求函数表达式：利用反比例函数过点B，先求反比例函数的参数，再通过反比例函数求A点坐标，最后用待定系数法求一次函数表达式；
2. 求△AOB面积：通过找直线AB与y轴的交点，用割补法（两个三角形面积差）计算；
3. 解不等式：结合两个函数的图像，观察交点处及两侧的函数值大小，确定x的范围。
【解析】
(1) 求反比例函数表达式：
已知反比例函数$y_2=\frac{a}{x}$过点$B(5,1)$，将$B(5,1)$代入得：$1=\frac{a}{5}$，解得$a=5$，因此反比例函数表达式为$y_2=\frac{5}{x}$。
因为点$A(1,m)$在反比例函数$y_2=\frac{5}{x}$上，代入得$m=\frac{5}{1}=5$，即$A(1,5)$。
求一次函数表达式：
一次函数$y_1=kx+b$过$A(1,5)$和$B(5,1)$，代入得方程组：
$\begin{cases}k + b =5 \\5k + b=1\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程：$4k=-4$，解得$k=-1$，将$k=-1$代入$k + b=5$，得$b=6$，因此一次函数表达式为$y_1=-x+6$。
(2) 求$△ AOB$的面积：
设直线$AB$与$y$轴交于点$C$，令$x=0$，代入$y_1=-x+6$得$y=6$，即$C(0,6)$，$OC=6$。
$△ COB$的面积：$S_{△ COB}=\frac{1}{2} × OC × |x_B|=\frac{1}{2} ×6×5=15$；
$△ COA$的面积：$S_{△ COA}=\frac{1}{2} × OC × |x_A|=\frac{1}{2} ×6×1=3$；
因此$S_{△ AOB}=S_{△ COB}-S_{△ COA}=15-3=12$。
(3) 求$y_2≥ y_1$时$x$的取值范围：
观察两个函数的图像，交点为$A(1,5)$和$B(5,1)$，在第一象限内，当$0＜x≤1$时，反比例函数图像在一次函数上方；当$x≥5$时，反比例函数图像也在一次函数上方，因此$x$的取值范围是$0＜x≤1$或$x≥5$。
【答案】
(1) 反比例函数表达式为$y_2=\frac{5}{x}$，一次函数表达式为$y_1=-x+6$；(2) $S_{△ AOB}=12$；(3) $0＜x≤1$或$x≥5$。
【知识点】
反比例函数表达式，一次函数表达式，三角形面积，函数图像与不等式
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的综合题，考查待定系数法求函数解析式、三角形面积的计算及利用函数图像解不等式，重点体现数形结合思想，需要学生掌握函数交点与不等式解集的对应关系，难度适中。
【难度系数】
0.6
