5. 若函数$y=(k+3)x^{k^{2}-10}$是反比例函数,则k的值为.

5. 3

【分析】要确定反比例函数中k的值，需紧扣反比例函数的定义：形如$y = ax^{-1}$（$a≠0$）的函数是反比例函数，因此该函数需同时满足两个条件：①$x$的指数为$-1$；②系数不为$0$。先根据指数条件求出$k$的可能取值，再根据系数不为$0$的条件排除不符合的取值，即可得到最终的$k$值。
【解析】因为函数$y=(k+3)x^{k^{2}-10}$是反比例函数，所以：
1. 满足指数条件：$k^2 - 10 = -1$，移项得$k^2 = 9$，解得$k = 3$或$k = -3$；
2. 满足系数不为0的条件：$k + 3 ≠ 0$，解得$k ≠ -3$；
综合上述两个条件，$k$的值只能为$3$。
【答案】3
【知识点】反比例函数的定义
【点评】本题考查反比例函数定义的应用，核心是牢记反比例函数的形式及系数不为0的限制，解题时需注意解出$k$后要检验系数是否符合要求，避免遗漏条件出错。
【难度系数】0.4

6. 已知$y=y_{1}+y_{2}$,若$y_{1}$与$x-1$成正比例,$y_{2}$与$x+1$成反比例,当$x=0$时,$y=-5$;当$x=2$时,$y=1$.
(1) 求y与x的函数关系式;
(2) 求当$x=-2$时,y的值.

6. (1) $y=2(x-1)-\frac{3}{x+1}$ (2) $-3$

【分析】
要解决本题，需先根据正比例、反比例的函数定义设出$ y_1 $和$ y_2 $的表达式，结合$ y=y_1+y_2 $得到$ y $与$ x $的关系式；再代入已知的$ x $、$ y $值，通过待定系数法求出未知系数，进而得到函数关系式，最后代入$ x=-2 $计算$ y $的值。
【解析】
(1) 设$ y_1 = k_1(x - 1) $（$ k_1 ≠ 0 $），$ y_2 = \frac{k_2}{x + 1} $（$ k_2 ≠ 0 $），则$ y = k_1(x - 1) + \frac{k_2}{x + 1} $。
将$ x=0 $，$ y=-5 $代入得：$ -5 = -k_1 + k_2 $；
将$ x=2 $，$ y=1 $代入得：$ 1 = k_1 + \frac{k_2}{3} $。
联立方程组$\begin{cases} -k_1 + k_2 = -5 \\ k_1 + \frac{k_2}{3} = 1 \end{cases}$，
由第一个方程得$ k_2 = k_1 - 5 $，代入第二个方程：
$ k_1 + \frac{k_1 - 5}{3} = 1 $，两边乘3得$ 3k_1 + k_1 -5 = 3 $，解得$ k_1=2 $，则$ k_2=2-5=-3 $。
因此，y与x的函数关系式为$ y = 2(x - 1) - \frac{3}{x + 1} $。
(2) 当$ x=-2 $时，代入函数关系式：
$ y = 2(-2 -1) - \frac{3}{-2 +1} = 2×(-3) - \frac{3}{-1} = -6 + 3 = -3 $。
【答案】
(1) $ y=2(x-1)-\frac{3}{x+1} $；(2) $ -3 $
【知识点】
正比例函数、反比例函数、待定系数法求函数关系式
【点评】
本题考查正比例函数与反比例函数的综合应用，核心是利用待定系数法确定函数关系式，步骤清晰，属于基础题型，需掌握函数表达式的设定方法。
【难度系数】
0.6

7. 如果y是x的反比例函数,那么当x增加它的$\frac{1}{2}$时,y将 ()
A. 减少它的$\frac{1}{2}$
B. 减少它的$\frac{1}{3}$
C. 增加它的$\frac{1}{2}$
D. 增加它的$\frac{1}{3}$

7. B

【分析】
要解决该问题，需先明确反比例函数的解析式形式，再根据x的变化求出新的自变量，进而计算对应函数值，最后对比原函数值得到y的变化情况。具体步骤为：1. 设反比例函数的解析式；2. 表示x增加$\frac{1}{2}$后的新自变量；3. 代入解析式计算新的函数值；4. 对比原函数值，得出y的变化量。
【解析】
设反比例函数的解析式为 $ y = \frac{k}{x} $（$ k ≠ 0 $，$ k $ 为常数）。
当x增加它的$\frac{1}{2}$时，新的自变量为：
$ x' = x + \frac{1}{2}x = \frac{3}{2}x $
将$ x' $代入反比例函数，得到对应的新函数值：
$ y' = \frac{k}{x'} = \frac{k}{\frac{3}{2}x} = \frac{2k}{3x} $
原函数值为$ y = \frac{k}{x} $，因此：
$ y' = \frac{2}{3}y $
y的变化量为：$ y - y' = y - \frac{2}{3}y = \frac{1}{3}y $，即y减少了它的$\frac{1}{3}$。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数定义，函数值计算
【点评】
本题考查反比例函数的基础应用，核心是掌握反比例函数的解析式，正确处理自变量变化并计算对应函数值，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】
0.6

8. 将$x=\frac{2}{3}$代入反比例函数$y=-\frac{1}{x}$中,所得函数值记为$y_{1}$,又将$x=y_{1}+1$代入反比例函数中,所得函数值记为$y_{2}$,再把$x=y_{2}+1$代入反比例函数中,所得函数值记为$y_{3}$,$···$,如此继续下去,则$y_{2026}=$.

8. $-\frac{3}{2}$

【分析】
要解决这道题，需先根据题目给定的代入规则依次计算前几个函数值，观察函数值的循环规律，确定周期后，用2026除以周期得到余数，进而确定$y_{2026}$对应的函数值。
【解析】
1. 计算$y_1$：将$x=\frac{2}{3}$代入$y=-\frac{1}{x}$，得$y_1=-\frac{1}{\frac{2}{3}}=-\frac{3}{2}$；
2. 计算$y_2$：$x=y_1+1=-\frac{3}{2}+1=-\frac{1}{2}$，代入$y=-\frac{1}{x}$，得$y_2=-\frac{1}{-\frac{1}{2}}=2$；
3. 计算$y_3$：$x=y_2+1=2+1=3$，代入$y=-\frac{1}{x}$，得$y_3=-\frac{1}{3}$；
4. 计算$y_4$：$x=y_3+1=-\frac{1}{3}+1=\frac{2}{3}$，代入$y=-\frac{1}{x}$，得$y_4=-\frac{1}{\frac{2}{3}}=-\frac{3}{2}$；
由此可知，函数值每3个为一个循环周期，周期为3。
因为$2026÷3=675······1$，余数为1，所以$y_{2026}$与周期中第1个函数值相同，即$y_{2026}=-\frac{3}{2}$。
【答案】
$-\frac{3}{2}$
【知识点】
反比例函数、找规律
【点评】
本题通过递推计算函数值，核心是发现函数值的循环周期，利用周期解决大数序号的问题，是函数规律类的基础题型，需掌握递推计算和周期分析方法。
【难度系数】
0.5

9. 已知函数$y=(5m-3)x^{2-n}+(n+m)$.
(1) 当m,n为何值时,是一次函数?
(2) 当m,n为何值时,是正比例函数?
(3) 当m,n为何值时,是反比例函数?

9. (1) $n=1$且$m≠\frac{3}{5}$. (2) $n=1,m=-1$.
(3) $n=3,m=-3$.

【分析】要解决这道题，需先明确一次函数、正比例函数、反比例函数的定义，再根据各函数的形式特征列出对应条件，求解m、n的值：①一次函数要求x的次数为1，且x的系数不为0；②正比例函数是特殊的一次函数，除满足一次函数条件外，还需常数项为0；③反比例函数要求x的次数为-1，x的系数不为0，且常数项为0。
【解析】
（1）对于一次函数，需满足：
x的次数为1，即$2 - n = 1$，解得$n = 1$；
x的系数不为0，即$5m - 3 ≠ 0$，解得$m ≠ \frac{3}{5}$；
常数项无额外要求，故当$n=1$且$m≠\frac{3}{5}$时，函数为一次函数。
（2）对于正比例函数，需满足一次函数的条件，同时常数项为0：
由（1）知$n=1$，常数项$n + m = 0$，代入得$1 + m = 0$，解得$m = -1$；
此时$m=-1≠\frac{3}{5}$，满足系数不为0的条件，故当$n=1,m=-1$时，函数为正比例函数。
（3）对于反比例函数，需满足：
x的次数为-1，即$2 - n = -1$，解得$n=3$；
常数项为0，即$n + m =0$，代入$n=3$得$3 + m=0$，解得$m=-3$；
此时x的系数$5m -3=5×(-3)-3=-18≠0$，满足条件，故当$n=3,m=-3$时，函数为反比例函数。
【答案】(1) $n=1$且$m≠\frac{3}{5}$；(2) $n=1,m=-1$；(3) $n=3,m=-3$
【知识点】一次函数定义，正比例函数定义，反比例函数定义
【点评】本题考查三类基本函数的定义应用，核心是准确把握各类函数的形式特征，尤其注意系数不为0的隐含条件，属于基础题型，需熟练掌握函数的一般形式。
【难度系数】0.8

10. (2026安徽芜湖)若$xy≠0,x+y≠0,\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$与$x+y$成反比,则$(x+y)^{2}$与$x^{2}+y^{2}$ ()
A. 成正比
B. 成反比
C. 既不成正比,也不成反比
D. 关系不确定

10. A

【分析】首先明确：若两个量成反比，则它们的乘积为非零常数。先对$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$通分，结合“$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$与$x+y$成反比”的条件建立等式，推导$(x+y)^2$与$xy$的关系；再将$x^2+y^2$用$(x+y)^2$和$xy$表示，通过比值是否为常数判断两者的比例关系。
【解析】解：因为$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$与$x+y$成反比，根据反比例定义，设它们的乘积为非零常数$k$（$k≠0$），则：
$(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})(x+y)=k$
对左边通分计算：
$\frac{y+x}{xy}·(x+y)=\frac{(x+y)^2}{xy}=k$
整理得：$(x+y)^2 = kxy$，即$xy=\frac{(x+y)^2}{k}$（由$xy≠0$、$x+y≠0$可知$k≠0$）。
利用完全平方公式变形$x^2+y^2$：
$x^2+y^2=(x+y)^2 - 2xy$
将$xy=\frac{(x+y)^2}{k}$代入上式：
$x^2+y^2=(x+y)^2 - 2·\frac{(x+y)^2}{k}=(x+y)^2(1-\frac{2}{k})$
则$\frac{(x+y)^2}{x^2+y^2}=\frac{(x+y)^2}{(x+y)^2(1-\frac{2}{k})}=\frac{1}{1-\frac{2}{k}}$，该结果为常数，说明$(x+y)^2$与$x^2+y^2$的比值为定值，因此两者成正比。
【答案】A
【知识点】反比例关系、代数式恒等变形
【点评】本题需结合反比例定义建立等式，通过分式通分、完全平方公式变形推导比例关系，核心考查代数变形能力，属于中等难度的代数题。
【难度系数】0.5