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19. 如图 9, 四边形 OABC 各个顶点的坐标分别是 $O(0,0),A(3,0),B(5,2),C(2,3)$. 求这个四边形的面积.
图 9
图 9
答案
19. 分别过点 $C$ 和点 $B$ 作 $x$ 轴和 $y$ 轴的平行线,如下图所示,则 $E(5,3)$.
所以 $S_{\mathrm{四边形}ABCO}=S_{\mathrm{长方形}OHEF}-S_{\mathrm{三角形}ABH}-S_{\mathrm{三角形}CBE}-S_{\mathrm{三角形}OCF}=5×3-\frac{1}{2}×2×2-\frac{1}{2}×1×3-\frac{1}{2}×3×2=\frac{17}{2}$.
解析
【分析】
本题是平面直角坐标系中不规则四边形的面积求解问题，由于四边形OABC不属于可直接套用面积公式的规则图形，因此选择补形法解题：我们可以通过作辅助线将四边形补成一个大长方形，先计算大长方形的面积，再减去周围多余的3个直角三角形的面积，即可得到四边形OABC的面积。解题时首先根据各点坐标确定补出的长方形的边长，以及各个多余直角三角形的底和高，再分别代入对应面积公式计算即可。
【解析】
解：分别过点C作x轴的平行线、过点B作y轴的平行线，两条线交于点E，所作平行线分别交y轴于点F、交x轴于点H，得到长方形OHEF，结合各点坐标可得E(5,3)。
1. 长方形OHEF的长为5，宽为3，面积为：$S_{\mathrm{长方形}OHEF}=5×3=15$
2. $△ ABH$中，底$AH=5-3=2$，高$BH=2-0=2$，面积为：$S_{△ ABH}=\frac{1}{2}×2×2=2$
3. $△ CBE$中，底$CE=5-2=3$，高$BE=3-2=1$，面积为：$S_{△ CBE}=\frac{1}{2}×3×1=\frac{3}{2}$
4. $△ OCF$中，底$OF=3-0=3$，高$CF=2-0=2$，面积为：$S_{△ OCF}=\frac{1}{2}×3×2=3$
因此四边形OABC的面积为：
$S_{\mathrm{四边形}OABC}=S_{\mathrm{长方形}OHEF}-S_{△ ABH}-S_{△ CBE}-S_{△ OCF}=15-2-\frac{3}{2}-3=\frac{17}{2}$
【答案】
分别过点 $C$ 和点 $B$ 作 $x$ 轴和 $y$ 轴的平行线,如下图所示,则 $E(5,3)$.
所以 $S_{\mathrm{四边形}ABCO}=S_{\mathrm{长方形}OHEF}-S_{\mathrm{三角形}ABH}-S_{\mathrm{三角形}CBE}-S_{\mathrm{三角形}OCF}=5×3-\frac{1}{2}×2×2-\frac{1}{2}×1×3-\frac{1}{2}×3×2=\frac{17}{2}$
【知识点】
1. 割补法求面积
2. 坐标与线段长度换算
3. 规则图形面积计算
【点评】
本题是平面直角坐标系中面积计算的典型题型，核心解题思路是通过割补将不规则图形转化为规则图形的面积和差，解题过程中需要准确根据点的坐标计算对应线段的长度，是坐标系类面积问题的基础方法，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
本题是平面直角坐标系中不规则四边形的面积求解问题，由于四边形OABC不属于可直接套用面积公式的规则图形，因此选择补形法解题：我们可以通过作辅助线将四边形补成一个大长方形，先计算大长方形的面积，再减去周围多余的3个直角三角形的面积，即可得到四边形OABC的面积。解题时首先根据各点坐标确定补出的长方形的边长，以及各个多余直角三角形的底和高，再分别代入对应面积公式计算即可。
【解析】
解：分别过点C作x轴的平行线、过点B作y轴的平行线，两条线交于点E，所作平行线分别交y轴于点F、交x轴于点H，得到长方形OHEF，结合各点坐标可得E(5,3)。
1. 长方形OHEF的长为5，宽为3，面积为：$S_{\mathrm{长方形}OHEF}=5×3=15$
2. $△ ABH$中，底$AH=5-3=2$，高$BH=2-0=2$，面积为：$S_{△ ABH}=\frac{1}{2}×2×2=2$
3. $△ CBE$中，底$CE=5-2=3$，高$BE=3-2=1$，面积为：$S_{△ CBE}=\frac{1}{2}×3×1=\frac{3}{2}$
4. $△ OCF$中，底$OF=3-0=3$，高$CF=2-0=2$，面积为：$S_{△ OCF}=\frac{1}{2}×3×2=3$
因此四边形OABC的面积为：
$S_{\mathrm{四边形}OABC}=S_{\mathrm{长方形}OHEF}-S_{△ ABH}-S_{△ CBE}-S_{△ OCF}=15-2-\frac{3}{2}-3=\frac{17}{2}$
【答案】
分别过点 $C$ 和点 $B$ 作 $x$ 轴和 $y$ 轴的平行线,如下图所示,则 $E(5,3)$.
所以 $S_{\mathrm{四边形}ABCO}=S_{\mathrm{长方形}OHEF}-S_{\mathrm{三角形}ABH}-S_{\mathrm{三角形}CBE}-S_{\mathrm{三角形}OCF}=5×3-\frac{1}{2}×2×2-\frac{1}{2}×1×3-\frac{1}{2}×3×2=\frac{17}{2}$
【知识点】
1. 割补法求面积
2. 坐标与线段长度换算
3. 规则图形面积计算
【点评】
本题是平面直角坐标系中面积计算的典型题型，核心解题思路是通过割补将不规则图形转化为规则图形的面积和差，解题过程中需要准确根据点的坐标计算对应线段的长度，是坐标系类面积问题的基础方法，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
20. 解下列二元一次方程组：
(1) $\begin{cases} 2x + y = 7, \\ 3x - y = 5; \end{cases}$
(2) $\begin{cases} \dfrac{x - y}{2} - \dfrac{x + y}{4} = -1, \\ x + y = -8. \end{cases}$
(1) $\begin{cases} 2x + y = 7, \\ 3x - y = 5; \end{cases}$
(2) $\begin{cases} \dfrac{x - y}{2} - \dfrac{x + y}{4} = -1, \\ x + y = -8. \end{cases}$
答案
20. (1) $\begin{cases}2x+y=7,①\\3x-y=5.②\end{cases}$
①+②,得 $5x=12$. 解得 $x=\frac{12}{5}$.
将 $x=\frac{12}{5}$ 代入①,得 $\frac{24}{5}+y=7$. 解得 $y=\frac{11}{5}$.
故原方程组的解为 $\begin{cases}x=\dfrac{12}{5},\\y=\dfrac{11}{5}.\end{cases}$
(2)原方程组整理,得 $\begin{cases}x-3y=-4,①\\x+y=-8.②\end{cases}$
②-①,得 $4y=-4$. 解得 $y=-1$.
将 $y=-1$ 代入①,得 $x+3=-4$. 解得 $x=-7$.
故原方程组的解为 $\begin{cases}x=-7,\\y=-1.\end{cases}$
①+②,得 $5x=12$. 解得 $x=\frac{12}{5}$.
将 $x=\frac{12}{5}$ 代入①,得 $\frac{24}{5}+y=7$. 解得 $y=\frac{11}{5}$.
故原方程组的解为 $\begin{cases}x=\dfrac{12}{5},\\y=\dfrac{11}{5}.\end{cases}$
(2)原方程组整理,得 $\begin{cases}x-3y=-4,①\\x+y=-8.②\end{cases}$
②-①,得 $4y=-4$. 解得 $y=-1$.
将 $y=-1$ 代入①,得 $x+3=-4$. 解得 $x=-7$.
故原方程组的解为 $\begin{cases}x=-7,\\y=-1.\end{cases}$
解析
【分析】
解二元一次方程组的核心思路是消元，即将二元转化为一元求解。
(1) 观察第一个方程组，两个方程中y的系数互为相反数，可直接使用加减消元法，将两式相加消去y，先求出x的值，再将x代入任意一个原方程即可求出y的值。
(2) 第二个方程组的第一个方程含有分母，首先利用等式的性质去分母，将方程整理为标准二元一次方程形式；观察整理后的方程，x的系数相同，可通过两式相减消去x，先求出y的值，再代入原方程求出x的值即可。
【解析】
(1) $\begin{cases}2x+y=7,①\\3x-y=5.②\end{cases}$
①+②,得 $5x=12$. 解得 $x=\frac{12}{5}$.
将 $x=\frac{12}{5}$ 代入①,得 $\frac{24}{5}+y=7$. 解得 $y=\frac{11}{5}$.
故原方程组的解为 $\begin{cases}x=\dfrac{12}{5},\\y=\dfrac{11}{5}.\end{cases}$
(2)原方程组整理,得 $\begin{cases}x-3y=-4,①\\x+y=-8.②\end{cases}$
②-①,得 $4y=-4$. 解得 $y=-1$.
将 $y=-1$ 代入①,得 $x+3=-4$. 解得 $x=-7$.
故原方程组的解为 $\begin{cases}x=-7,\\y=-1.\end{cases}$
【答案】
(1) $\begin{cases}x=\dfrac{12}{5},\\y=\dfrac{11}{5}.\end{cases}$
(2) $\begin{cases}x=-7,\\y=-1.\end{cases}$
【知识点】
1.加减消元法 2.等式的基本性质 3.二元一次方程组求解
【点评】
本题是二元一次方程组的基础题型，消元是解题的核心，解题时可根据方程系数的特点选择合适的消元方法，遇到含分母的方程要先化简再计算，注意运算过程中符号的准确性。
【难度系数】
0.8
解二元一次方程组的核心思路是消元，即将二元转化为一元求解。
(1) 观察第一个方程组，两个方程中y的系数互为相反数，可直接使用加减消元法，将两式相加消去y，先求出x的值，再将x代入任意一个原方程即可求出y的值。
(2) 第二个方程组的第一个方程含有分母，首先利用等式的性质去分母，将方程整理为标准二元一次方程形式；观察整理后的方程，x的系数相同，可通过两式相减消去x，先求出y的值，再代入原方程求出x的值即可。
【解析】
(1) $\begin{cases}2x+y=7,①\\3x-y=5.②\end{cases}$
①+②,得 $5x=12$. 解得 $x=\frac{12}{5}$.
将 $x=\frac{12}{5}$ 代入①,得 $\frac{24}{5}+y=7$. 解得 $y=\frac{11}{5}$.
故原方程组的解为 $\begin{cases}x=\dfrac{12}{5},\\y=\dfrac{11}{5}.\end{cases}$
(2)原方程组整理,得 $\begin{cases}x-3y=-4,①\\x+y=-8.②\end{cases}$
②-①,得 $4y=-4$. 解得 $y=-1$.
将 $y=-1$ 代入①,得 $x+3=-4$. 解得 $x=-7$.
故原方程组的解为 $\begin{cases}x=-7,\\y=-1.\end{cases}$
【答案】
(1) $\begin{cases}x=\dfrac{12}{5},\\y=\dfrac{11}{5}.\end{cases}$
(2) $\begin{cases}x=-7,\\y=-1.\end{cases}$
【知识点】
1.加减消元法 2.等式的基本性质 3.二元一次方程组求解
【点评】
本题是二元一次方程组的基础题型，消元是解题的核心，解题时可根据方程系数的特点选择合适的消元方法，遇到含分母的方程要先化简再计算，注意运算过程中符号的准确性。
【难度系数】
0.8
