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三、解答题
16. 如图7,直线AB,CD相交于点O,OE平分∠AOD,∠FOC=90°,∠1=40°,求∠2的度数.
16. 如图7,直线AB,CD相交于点O,OE平分∠AOD,∠FOC=90°,∠1=40°,求∠2的度数.
答案
16. $\because∠ FOC=90°,∠ 1=40°$ 且 $AB$ 为直线,
$\therefore∠ AOC=180°-∠ FOC-∠ 1=180°-90°-40°=50°$.
$\because CD$ 为直线,
$\therefore∠ AOD=180°-∠ AOC=180°-50°=130°$.
又$\because OE$ 平分 $∠ AOD$,
$\therefore∠ 2=\frac{1}{2}∠ AOD=65°$,即 $∠ 2=65°$.
$\therefore∠ AOC=180°-∠ FOC-∠ 1=180°-90°-40°=50°$.
$\because CD$ 为直线,
$\therefore∠ AOD=180°-∠ AOC=180°-50°=130°$.
又$\because OE$ 平分 $∠ AOD$,
$\therefore∠ 2=\frac{1}{2}∠ AOD=65°$,即 $∠ 2=65°$.
解析
【分析】
解题时先从已知条件出发，首先AB是直线，构成180°的平角，结合给出的∠FOC=90°、∠1=40°，可先计算出∠AOC的度数；其次CD也是直线，∠AOC与∠AOD互为邻补角，和为180°，由此可求出∠AOD的度数；最后根据OE平分∠AOD的条件，可知∠2是∠AOD的一半，代入计算即可得到∠2的度数。
【解析】
$\because∠ FOC=90°,∠ 1=40°$ 且 $AB$ 为直线,
$\therefore∠ AOC=180°-∠ FOC-∠ 1=180°-90°-40°=50°$.
$\because CD$ 为直线,
$\therefore∠ AOD=180°-∠ AOC=180°-50°=130°$.
又$\because OE$ 平分 $∠ AOD$,
$\therefore∠ 2=\frac{1}{2}∠ AOD=\frac{1}{2}×130°=65°$,即 $∠ 2=65°$.
【答案】
$65°$
【知识点】
平角的定义，角平分线的定义，邻补角的性质
【点评】
本题是相交线角度计算的基础题型，解题核心是梳理清楚图中各角的位置关系，结合角度和差关系、角平分线性质逐步推导，掌握基础角度性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件出发，首先AB是直线，构成180°的平角，结合给出的∠FOC=90°、∠1=40°，可先计算出∠AOC的度数；其次CD也是直线，∠AOC与∠AOD互为邻补角，和为180°，由此可求出∠AOD的度数；最后根据OE平分∠AOD的条件，可知∠2是∠AOD的一半，代入计算即可得到∠2的度数。
【解析】
$\because∠ FOC=90°,∠ 1=40°$ 且 $AB$ 为直线,
$\therefore∠ AOC=180°-∠ FOC-∠ 1=180°-90°-40°=50°$.
$\because CD$ 为直线,
$\therefore∠ AOD=180°-∠ AOC=180°-50°=130°$.
又$\because OE$ 平分 $∠ AOD$,
$\therefore∠ 2=\frac{1}{2}∠ AOD=\frac{1}{2}×130°=65°$,即 $∠ 2=65°$.
【答案】
$65°$
【知识点】
平角的定义，角平分线的定义，邻补角的性质
【点评】
本题是相交线角度计算的基础题型，解题核心是梳理清楚图中各角的位置关系，结合角度和差关系、角平分线性质逐步推导，掌握基础角度性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
17. 如图 8,已知 $AB// CD,∠A=∠BDC$.
(1)求证:$AE// BD$.
(2)若$∠AEC$的平分线交$CD$的延长线于点$F$,且$∠BDC=140°,∠F=22°$,求$∠CEF$的度数.
(1)求证:$AE// BD$.
(2)若$∠AEC$的平分线交$CD$的延长线于点$F$,且$∠BDC=140°,∠F=22°$,求$∠CEF$的度数.
答案
17. (1)$\because AB//CD,\therefore∠ BDC+∠ B=180°$.
$\because∠ A=∠ BDC$,
$\therefore∠ A+∠ B=180°.\therefore AE//BD$.
(2)如下图,过点 $E$ 作 $EG//AB$.
$\therefore∠ A+∠ AEG=180°$.
$\because∠ BDC=∠ A=140°$,
$\therefore∠ AEG=180°-∠ A=40°$.
$\because AB//CD,AB//EG,∠ F=22°$,
$\therefore CD//EG.\therefore∠ FEG=∠ F=22°$.
$\therefore∠ AEF=∠ AEG+∠ FEG=62°$.
$\because EF$ 是 $∠ AEC$ 的平分线,
$\therefore∠ CEF=∠ AEF=62°$.
解析
【分析】
(1) 要证明$AE//BD$，可通过判定定理“同旁内角互补，两直线平行”推导。首先利用$AB//CD$的性质得到$∠BDC$与$∠B$的互补关系，再结合$∠A=∠BDC$的条件，等量代换得到$∠A$与$∠B$互补，即可证得结论。
(2) 要求$∠CEF$的度数，已知$EF$平分$∠AEC$，因此只需求出$∠AEF$的度数即可。题干中有多组平行线关系，可通过过点$E$作$EG//AB$的辅助线，利用平行线的传递性得到$EG//CD$，再结合平行线的性质分别求出$∠AEG$和$∠FEG$的度数，相加得到$∠AEF$，最后利用角平分线的性质即可得到$∠CEF$的度数。
【解析】
(1) 证明：
$\because AB//CD$（已知），
$\therefore ∠BDC+∠B=180°$（两直线平行，同旁内角互补）。
$\because ∠A=∠BDC$（已知），
$\therefore ∠A+∠B=180°$（等量代换），
$\therefore AE//BD$（同旁内角互补，两直线平行）。
(2) 解：
如下图，过点$E$作$EG//AB$。
$\because EG//AB$，
$\therefore ∠A+∠AEG=180°$（两直线平行，同旁内角互补）。
$\because ∠BDC=∠A=140°$（已知），
$\therefore ∠AEG=180°-∠A=180°-140°=40°$。
$\because AB//CD$（已知），$AB//EG$（辅助线作法），
$\therefore CD//EG$（平行于同一直线的两条直线互相平行），
$\therefore ∠FEG=∠F=22°$（两直线平行，内错角相等）。
$\therefore ∠AEF=∠AEG+∠FEG=40°+22°=62°$。
$\because EF$是$∠AEC$的平分线（已知），
$\therefore ∠CEF=∠AEF=62°$（角平分线的定义）。
【答案】
(1) $AE//BD$得证；
(2) $∠CEF=62°$。
辅助线图：
【知识点】
平行线的判定与性质，角平分线的定义，平行公理推论
【点评】
本题是几何基础综合题，核心考查平行线相关定理和角平分线定义的应用，构造平行辅助线是解决平行线间角度计算问题的常用技巧，能够将分散的角度条件关联起来，侧重对基础几何推理能力的考查。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明$AE//BD$，可通过判定定理“同旁内角互补，两直线平行”推导。首先利用$AB//CD$的性质得到$∠BDC$与$∠B$的互补关系，再结合$∠A=∠BDC$的条件，等量代换得到$∠A$与$∠B$互补，即可证得结论。
(2) 要求$∠CEF$的度数，已知$EF$平分$∠AEC$，因此只需求出$∠AEF$的度数即可。题干中有多组平行线关系，可通过过点$E$作$EG//AB$的辅助线，利用平行线的传递性得到$EG//CD$，再结合平行线的性质分别求出$∠AEG$和$∠FEG$的度数，相加得到$∠AEF$，最后利用角平分线的性质即可得到$∠CEF$的度数。
【解析】
(1) 证明：
$\because AB//CD$（已知），
$\therefore ∠BDC+∠B=180°$（两直线平行，同旁内角互补）。
$\because ∠A=∠BDC$（已知），
$\therefore ∠A+∠B=180°$（等量代换），
$\therefore AE//BD$（同旁内角互补，两直线平行）。
(2) 解：
如下图，过点$E$作$EG//AB$。
$\because EG//AB$，
$\therefore ∠A+∠AEG=180°$（两直线平行，同旁内角互补）。
$\because ∠BDC=∠A=140°$（已知），
$\therefore ∠AEG=180°-∠A=180°-140°=40°$。
$\because AB//CD$（已知），$AB//EG$（辅助线作法），
$\therefore CD//EG$（平行于同一直线的两条直线互相平行），
$\therefore ∠FEG=∠F=22°$（两直线平行，内错角相等）。
$\therefore ∠AEF=∠AEG+∠FEG=40°+22°=62°$。
$\because EF$是$∠AEC$的平分线（已知），
$\therefore ∠CEF=∠AEF=62°$（角平分线的定义）。
【答案】
(1) $AE//BD$得证；
(2) $∠CEF=62°$。
辅助线图：
【知识点】
平行线的判定与性质，角平分线的定义，平行公理推论
【点评】
本题是几何基础综合题，核心考查平行线相关定理和角平分线定义的应用，构造平行辅助线是解决平行线间角度计算问题的常用技巧，能够将分散的角度条件关联起来，侧重对基础几何推理能力的考查。
【难度系数】
0.7
18. 已知$x-1$的算术平方根和$x-2y+1$的立方根都是3,求$x^2-y^2$的平方根.
答案
18. 由题意,得 $x-1=3^2=9,x-2y+1=3^3=27$.
解得 $x=10,y=-8$.
$\therefore\pm\sqrt{x^2-y^2}=\pm\sqrt{100-64}=\pm6$.
解得 $x=10,y=-8$.
$\therefore\pm\sqrt{x^2-y^2}=\pm\sqrt{100-64}=\pm6$.
解析
【分析】
解题时先回忆算术平方根和立方根的定义：①如果一个非负数的算术平方根是b，那么这个数等于b²；②如果一个数的立方根是d，那么这个数等于d³。我们可以根据这两个性质，分别列出关于x、y的方程，先解出x和y的值，再代入$x^2-y^2$求出结果，最后根据平方根的定义求出该结果的平方根即可，注意平方根有正负两个互为相反数的结果，不要漏解。
【解析】
解：由题意得：
$x-1 = 3^2 = 9$
解得：$x = 10$
又$\because x-2y+1$的立方根是3
$\therefore x - 2y + 1 = 3^3 = 27$
将$x=10$代入上式：
$10 - 2y + 1 = 27$
$11 - 2y = 27$
解得：$y = -8$
将$x=10$，$y=-8$代入得：
$x^2 - y^2 = 10^2 - (-8)^2 = 100 - 64 = 36$
$\therefore x^2-y^2$的平方根为$\pm\sqrt{36} = \pm6$
【答案】
$\pm6$
【知识点】
算术平方根的定义；立方根的定义；平方根的计算
【点评】
本题属于基础题型，核心是对根式相关定义的理解与应用，解题关键是能根据算术平方根、立方根的性质建立方程求出未知数值，需注意平方根的结果有两个，避免漏写负根。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆算术平方根和立方根的定义：①如果一个非负数的算术平方根是b，那么这个数等于b²；②如果一个数的立方根是d，那么这个数等于d³。我们可以根据这两个性质，分别列出关于x、y的方程，先解出x和y的值，再代入$x^2-y^2$求出结果，最后根据平方根的定义求出该结果的平方根即可，注意平方根有正负两个互为相反数的结果，不要漏解。
【解析】
解：由题意得：
$x-1 = 3^2 = 9$
解得：$x = 10$
又$\because x-2y+1$的立方根是3
$\therefore x - 2y + 1 = 3^3 = 27$
将$x=10$代入上式：
$10 - 2y + 1 = 27$
$11 - 2y = 27$
解得：$y = -8$
将$x=10$，$y=-8$代入得：
$x^2 - y^2 = 10^2 - (-8)^2 = 100 - 64 = 36$
$\therefore x^2-y^2$的平方根为$\pm\sqrt{36} = \pm6$
【答案】
$\pm6$
【知识点】
算术平方根的定义；立方根的定义；平方根的计算
【点评】
本题属于基础题型，核心是对根式相关定义的理解与应用，解题关键是能根据算术平方根、立方根的性质建立方程求出未知数值，需注意平方根的结果有两个，避免漏写负根。
【难度系数】
0.8
