7. 如图4，$l// m$，等边三角形$ABC$的顶点$B$在直线$m$上，$∠ 1=20°$，则$∠ 2$的度数为 （）


A.$60°$
B.$45°$
C.$40°$
D.$30°$

7.C 提示:如下图,过点 C 作 $CD//l$,则 $CD//m$.

$\because$ 三角形 $ABC$ 是等边三角形,
$\therefore∠ ACB=60°$.
$\because CD//l,CD//m$,则 $∠ 2=∠ 4,∠ 1=∠ 3$.
又$\because∠ 1=20°,\therefore∠ 3=20°$.
$\therefore∠ 2=∠ ACB-∠ 3=60°-20°=40°$.

【分析】
本题已知直线$l// m$，$△ ABC$是等边三角形，要求$∠ 2$的度数。解题时首先考虑平行线的性质，由于$∠ 1$和$∠ 2$没有直接的位置关系，可通过作辅助线建立二者的关联：过点$C$作$CD$平行于$l$，根据平行公理的推论可得$CD$也平行于$m$，这样就能利用“两直线平行，内错角相等”，将$∠ 1$转化为$∠ 3$，$∠ 2$转化为$∠ 4$，而$∠ 3$和$∠ 4$的和正好是等边三角形的内角$∠ ACB=60°$，代入已知$∠ 1=20°$即可求出$∠ 2$的度数。
【解析】
过点$C$作$CD// l$，
$\because l// m$，
$\therefore CD// m$（平行于同一条直线的两条直线互相平行）。
$\because △ ABC$是等边三角形，
$\therefore ∠ ACB=60°$。
$\because CD// l$，
$\therefore ∠ 2=∠ 4$（两直线平行，内错角相等）。
$\because CD// m$，
$\therefore ∠ 1=∠ 3$（两直线平行，内错角相等）。
已知$∠ 1=20°$，
$\therefore ∠ 3=20°$，
$\therefore ∠ 2=∠ 4=∠ ACB-∠ 3=60°-20°=40°$。
【答案】
C
提示:如下图,过点 C 作 $CD//l$,则 $CD//m$.

【知识点】
平行线的性质，等边三角形的性质，平行公理推论
【点评】
本题是平行线性质与等边三角形性质的综合基础题，解题的关键是掌握“过平行线间的拐点作平行线”这一常用辅助线作法，通过角度转化即可快速求解，是平行线章节的常考题型。
【难度系数】
0.7

8. 有下列命题:①因为对顶角相等,所以相等的两个角是对顶角;②在同一平面内,不相交的两条直线叫作平行线;③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.其中真命题的个数是 ()

A.0
B.1
C.2
D.3

8.B

【分析】解题时需逐一判断每个命题的真假，再统计真命题的个数。首先回忆相关几何概念和性质：①明确对顶角的性质，注意性质的逆命题不一定成立；②对照平行线的定义判断对错；③注意垂直相关公理的前提条件，缺少前提的命题不成立。
【解析】逐个分析3个命题：
1. 命题①：对顶角相等是正确的性质，但相等的两个角不一定是对顶角，例如两直线平行时的同位角相等，但同位角不属于对顶角，因此①是假命题；
2. 命题②：平行线的定义为“在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线”，该命题完全符合定义，是真命题；
3. 命题③：完整的公理是“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”，命题未说明“同一平面内”的前提，因此③是假命题。
综上，真命题共有1个，答案选B。
【答案】B
【知识点】对顶角的性质、平行线的定义、垂直公理
【点评】本题考查基础几何概念的辨析，解题的关键是准确记忆概念的完整内容，区分性质本身和它的逆命题，不要遗漏概念的前提条件。
【难度系数】0.7

9.《九章算术》成书于1世纪左右,是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著.书中有一题:"今有甲、乙二人持钱不知有多少,甲得到乙所有钱的一半而有钱数为 50,乙得到甲所有钱的$\frac{2}{3}$而也有钱 50. 问:甲、乙持钱各是多少?"设甲、乙持钱数各为$x$钱、$y$钱,可列出方程组为
( )

A.$\begin{cases}x+\dfrac{1}{2}y=50, \\y+\dfrac{2}{3}x=50\end{cases}$
B.$\begin{cases}\dfrac{1}{2}y=50, \\\dfrac{2}{3}x=50\end{cases}$
C.$\begin{cases}x+y=50, \\y+\dfrac{2}{3}x=50\end{cases}$
D.$\begin{cases}x+\dfrac{1}{2}y=50, \\y+x=50\end{cases}$

9.A

【分析】
解题时先明确题目已给出的未知数：设甲持钱x，乙持钱y。接下来从题中提取两个独立的等量关系：①甲原有的钱加上乙所有钱的一半，总钱数等于50；②乙原有的钱加上甲所有钱的$\frac{2}{3}$，总钱数等于50。最后根据两个等量关系分别列方程，联立成方程组后对照选项即可选出答案。
【解析】
首先翻译第一个条件：“甲得到乙所有钱的一半而有钱数为50”，甲原有钱x，乙所有钱的一半为$\frac{1}{2}y$，因此可得方程：$x+\frac{1}{2}y=50$。
再翻译第二个条件：“乙得到甲所有钱的$\frac{2}{3}$而也有钱50”，乙原有钱y，甲所有钱的$\frac{2}{3}$为$\frac{2}{3}x$，因此可得方程：$y+\frac{2}{3}x=50$。
将两个方程联立，得到方程组$\begin{cases}x+\dfrac{1}{2}y=50, \\y+\dfrac{2}{3}x=50\end{cases}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
列二元一次方程组、等量关系提取
【点评】
本题以古代数学专著《九章算术》的经典问题为载体，考查将实际文字问题转化为数学方程的建模能力，解题的关键是准确理解“得到对方部分钱后总钱数为50”的含义，注意不要遗漏双方原有的持钱数。
【难度系数】
0.8

10. 若不等式组$\begin{cases}x+a≥ 0, \\ 1-2x＞x-2\end{cases}$无解，则$a$的取值范围是 （ ）

A.$a≥ -1$
B.$a＜-1$
C.$a≤ 1$
D.$a≤ -1$

10.D

【分析】
要解决含参数的不等式组无解的问题，解题思路分三步：第一步分别求解两个一元一次不等式，得到各自的解集；第二步根据“不等式组无解”即两个解集没有公共部分（对应解集口诀“大大小小找不到”），建立关于参数a的不等式；第三步解这个不等式即可得到a的取值范围，注意求解不等式时不等号方向的变化，还要验证端点值是否符合要求。
【解析】
先分别解不等式组中的两个不等式：
1. 解不等式$x+a≥0$：
移项得：$x≥ -a$。
2. 解不等式$1-2x＞x-2$：
移项，将含$x$的项移到左侧，常数项移到右侧：$-2x - x ＞ -2 -1$，
合并同类项得：$-3x ＞ -3$，
两边同时除以$-3$，不等号方向改变，得：$x ＜ 1$。
已知该不等式组无解，说明两个解集$x≥ -a$和$x＜1$没有公共部分，即$-a≥1$，
两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得：$a≤ -1$。
对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 解一元一次不等式
2. 一元一次不等式组的解集判定
【点评】
本题是含参数的不等式组求参数范围的典型题，解题核心是先求出不含参数的不等式的解集，再结合不等式组无解的条件确定参数的范围，需要特别注意除以负数时不等号方向要改变，还要准确判断端点值是否可取，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.7

11. 在平面直角坐标系中,点$A(2,-3)$位于第________象限.

11. 四

【分析】要判断点在平面直角坐标系中的象限，首先需要牢记四个象限对应的横、纵坐标符号规律：第一象限为(+,+)，第二象限为(-,+)，第三象限为(-,-)，第四象限为(+,-)。之后提取所给点的横、纵坐标的符号，和上述规律对应就能得出结果。
【解析】平面直角坐标系中各象限的坐标符号特征如下：
第一象限：横坐标为正，纵坐标为正，即(+,+)；
第二象限：横坐标为负，纵坐标为正，即(-,+)；
第三象限：横坐标为负，纵坐标为负，即(-,-)；
第四象限：横坐标为正，纵坐标为负，即(+,-)。
点A的坐标为(2,-3)，其中横坐标2是正数，纵坐标-3是负数，符合第四象限的坐标符号特征，因此点A位于第四象限。
【答案】四
【知识点】象限的坐标特征
【点评】本题是基础概念考查题，核心是对各象限内点的坐标符号规律的记忆，掌握规律即可快速解答。
【难度系数】0.9

12. 如图 5, 直线 AB 与 CD 相交于点 O, $∠BOC + ∠AOD = 288°$, 那么 $∠BOC$ 的邻补角是 度.

12. 36

【分析】
首先，直线AB与CD相交于点O，可知∠BOC与∠AOD是对顶角，根据对顶角相等的性质，两个角大小相等。已知两个角的度数和为288°，可先求出∠BOC的度数；再根据邻补角的和为180°，用180°减去∠BOC的度数就能得到它的邻补角的度数。
【解析】
∵ 直线AB、CD相交于点O，
∴ ∠BOC和∠AOD是对顶角，根据对顶角相等，得∠BOC=∠AOD。
又
∵ ∠BOC + ∠AOD = 288°，
∴ 2∠BOC = 288°，解得∠BOC = 144°。
∠BOC的邻补角和∠BOC之和为180°，
∴ ∠BOC的邻补角的度数为180° - 144° = 36°。
【答案】
36
【知识点】
对顶角的性质，邻补角的定义
【点评】
本题是相交线相关的基础题型，核心考查对顶角相等和邻补角的性质，掌握基本概念和性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8

13. 已知$\begin{cases} x=1, \\ y=-3 \end{cases}$是关于$x,y$的二元一次方程$2mx+y=1$的一个解，则$m$的值是________.

13. 2

【分析】
解决这道题的核心是理解二元一次方程解的定义：能使二元一次方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解。解题思路是先将已知的x、y的值代入原二元一次方程，这样原方程就会转化为只含有未知数m的一元一次方程，再按照解一元一次方程的步骤求解即可得到m的值。
【解析】
∵ $\begin{cases} x=1, \\ y=-3 \end{cases}$是二元一次方程$2mx+y=1$的解
∴ 将$x=1$，$y=-3$代入方程$2mx+y=1$，可得：
$2m×1 + (-3) = 1$
整理得：$2m - 3 = 1$
移项得：$2m = 1 + 3$
计算得：$2m = 4$
系数化为1得：$m = 2$
【答案】
2
【知识点】
二元一次方程的解的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，考查对二元一次方程解的概念的应用，核心方法是将方程的解代入原方程，把二元方程转化为一元方程求解，计算量小，掌握基础概念即可得分。
【难度系数】
0.9

14. 对于任意不相等的两个实数$a,b$，定义一种运算※如下：$a※b = \frac{\sqrt{a+b}}{a-b}$，如$3※2 = \frac{\sqrt{3+2}}{3-2} = \sqrt{5}$，那么$6※3 = \_\_\_\_\_\_$.

14. 1

【分析】
这是一道新定义运算类题目，解题核心是先准确理解题目给出的新运算规则：对于不相等的两个实数a、b，a※b的结果等于分子为a加b的算术平方根、分母为a减b的分数的值。解题时首先确定新运算中对应的a和b的数值，本题中a为6、b为3，先验证a≠b符合运算要求，再把a、b代入公式逐步计算即可。
【解析】
根据新定义的运算规则$a※b = \frac{\sqrt{a+b}}{a-b}$，计算$6※3$时，取$a=6$，$b=3$：
1. 计算分子部分：$\sqrt{a+b}=\sqrt{6+3}=\sqrt{9}=3$
2. 计算分母部分：$a-b=6-3=3$
3. 计算最终结果：$\frac{3}{3}=1$
【答案】
1
【知识点】
新定义运算、算术平方根计算、实数四则运算
【点评】
本题属于基础题型，主要考查对新运算规则的理解能力和基础运算能力，只要准确读懂运算规则，正确代入数值计算即可得分，不易出错。
【难度系数】
0.8

15. 如图6①是我们常用的折叠式小刀,图6②中刀柄外形是一个直角梯形挖去一个小半圆,其中刀片的两条边缘线可看成两条平行的线段,转动刀片时会形成如图6②中所示的∠1与∠2,则∠1与∠2的度数和是.

15. 90° 提示:如下图,$AB//CD,∠ AEC=90°$,
作 $EF//AB$,则 $EF//CD$.
所以 $∠ 1=∠ AEF,∠ 2=∠ CEF$.
所以 $∠ 1+∠ 2=∠ AEF+∠ CEF=∠ AEC=90°$.

【分析】
本题属于平行线间拐角的角度计算问题，解题思路如下：首先明确已知条件：刀片的两条边缘线可看作互相平行的线段AB、CD，刀柄是直角梯形，因此夹角∠AEC=90°。对于平行线之间的折线角问题，常用的辅助线作法是过拐点作平行线：过点E作EF平行于AB，根据平行公理的推论可得EF也平行于CD，再利用“两直线平行，内错角相等”的性质，将∠1、∠2分别转化为∠AEF和∠CEF，两个角的和恰好等于已知的∠AEC，即可求出结果。
【解析】
已知刀片的两条边缘线满足$AB// CD$，刀柄直角梯形的$∠ AEC=90°$。
过点E作$EF// AB$，
$\because AB// CD$，
$\therefore EF// CD$（平行于同一条直线的两条直线互相平行），
根据两直线平行，内错角相等，可得：
$∠ 1=∠ AEF$，$∠ 2=∠ CEF$，
$\therefore ∠ 1+∠ 2=∠ AEF+∠ CEF=∠ AEC=90°$。
【答案】
90°
提示:如下图,$AB//CD,∠ AEC=90°$,
作 $EF//AB$,则 $EF//CD$.
所以 $∠ 1=∠ AEF,∠ 2=∠ CEF$.
所以 $∠ 1+∠ 2=∠ AEF+∠ CEF=∠ AEC=90°$.

【知识点】
平行线的性质；平行公理推论
【点评】
本题是平行线性质的基础应用题型，考察了平行线间拐角问题的辅助线构造方法，解题核心是通过作平行线将未知角的和转化为已知直角，解题方法具有典型性。
【难度系数】
0.7