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21. 已知关于 $ x $ 的不等式组
$\begin{cases}2x+7＜3x, \\\dfrac{x+1}{5}-\dfrac{x-1}{4}≥ 0.\end{cases}$
(1)求该不等式组的解集；
(2)$ a,b $ 都是该不等式组的整数解，求 $ a^2 - b^2 $ 的值.
$\begin{cases}2x+7＜3x, \\\dfrac{x+1}{5}-\dfrac{x-1}{4}≥ 0.\end{cases}$
(1)求该不等式组的解集；
(2)$ a,b $ 都是该不等式组的整数解，求 $ a^2 - b^2 $ 的值.
答案
21. (1) $\begin{cases}2x+7＜3x,①\\\dfrac{x+1}{5}-\dfrac{x-1}{4}\ge0.②\end{cases}$
解不等式①,得 $x＞7$.
解不等式②,得 $x\le9$.
所以不等式组的解集为 $7＜x\le9$.
(2)不等式组的整数解是 8,9,
当 $a=8,b=9$ 时,$a^2-b^2=64-81=-17$;
当 $a=9,b=8$ 时,$a^2-b^2=81-64=17$.
解不等式①,得 $x＞7$.
解不等式②,得 $x\le9$.
所以不等式组的解集为 $7＜x\le9$.
(2)不等式组的整数解是 8,9,
当 $a=8,b=9$ 时,$a^2-b^2=64-81=-17$;
当 $a=9,b=8$ 时,$a^2-b^2=81-64=17$.
解析
【分析】
本题分为两小问，解题思路如下：
(1)解一元一次不等式组需先分别求出每个不等式的解集，再根据解集的取值规律确定公共部分，即为不等式组的解集。首先解第一个一元一次不等式，通过移项、合并同类项、系数化为1求出x的范围；再解第二个含分数的一元一次不等式，先去分母，再依次去括号、移项、合并同类项、系数化为1求出x的范围，最后找两个范围的公共部分即可。
(2)先根据(1)得到的解集找出范围内的整数解，由于题目未指定a、b的大小关系，因此需要分两种情况代入代数式计算结果。
【解析】
(1) 给两个不等式编号：
$\begin{cases}2x+7＜3x,①\\\dfrac{x+1}{5}-\dfrac{x-1}{4}\ge0.②\end{cases}$
解不等式①：移项得$2x-3x＜-7$，合并同类项得$-x＜-7$，系数化为1得$x＞7$。
解不等式②：两边同乘20去分母得$4(x+1)-5(x-1)\ge0$，去括号得$4x+4-5x+5\ge0$，合并同类项得$-x+9\ge0$，移项得$-x\ge-9$，系数化为1得$x\le9$。
取两个解集的公共部分，可得不等式组的解集为$7＜x\le9$。
(2) 由(1)的解集可知，不等式组的整数解为8、9。
因为a、b都是该不等式组的整数解，分两种情况计算：
①当$a=8,b=9$时，$a^2-b^2=8^2-9^2=64-81=-17$；
②当$a=9,b=8$时，$a^2-b^2=9^2-8^2=81-64=17$。
【答案】
(1) 不等式组的解集为$\boldsymbol{7＜x\le9}$；
(2) $a^2 - b^2$的值为$\boldsymbol{17}$或$\boldsymbol{-17}$。
【知识点】
一元一次不等式组的解法，代数式求值，分类讨论思想
【点评】
本题属于基础题型，重点考查一元一次不等式组的求解及整数解的应用，解题时注意解含分母的不等式时去分母不要漏乘常数项，第二问未明确a、b的大小关系，需分情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
本题分为两小问，解题思路如下：
(1)解一元一次不等式组需先分别求出每个不等式的解集，再根据解集的取值规律确定公共部分，即为不等式组的解集。首先解第一个一元一次不等式，通过移项、合并同类项、系数化为1求出x的范围；再解第二个含分数的一元一次不等式，先去分母，再依次去括号、移项、合并同类项、系数化为1求出x的范围，最后找两个范围的公共部分即可。
(2)先根据(1)得到的解集找出范围内的整数解，由于题目未指定a、b的大小关系，因此需要分两种情况代入代数式计算结果。
【解析】
(1) 给两个不等式编号：
$\begin{cases}2x+7＜3x,①\\\dfrac{x+1}{5}-\dfrac{x-1}{4}\ge0.②\end{cases}$
解不等式①：移项得$2x-3x＜-7$，合并同类项得$-x＜-7$，系数化为1得$x＞7$。
解不等式②：两边同乘20去分母得$4(x+1)-5(x-1)\ge0$，去括号得$4x+4-5x+5\ge0$，合并同类项得$-x+9\ge0$，移项得$-x\ge-9$，系数化为1得$x\le9$。
取两个解集的公共部分，可得不等式组的解集为$7＜x\le9$。
(2) 由(1)的解集可知，不等式组的整数解为8、9。
因为a、b都是该不等式组的整数解，分两种情况计算：
①当$a=8,b=9$时，$a^2-b^2=8^2-9^2=64-81=-17$；
②当$a=9,b=8$时，$a^2-b^2=9^2-8^2=81-64=17$。
【答案】
(1) 不等式组的解集为$\boldsymbol{7＜x\le9}$；
(2) $a^2 - b^2$的值为$\boldsymbol{17}$或$\boldsymbol{-17}$。
【知识点】
一元一次不等式组的解法，代数式求值，分类讨论思想
【点评】
本题属于基础题型，重点考查一元一次不等式组的求解及整数解的应用，解题时注意解含分母的不等式时去分母不要漏乘常数项，第二问未明确a、b的大小关系，需分情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
22. 高速列车为了方便乘客放置小件物品,在座椅的后方都安装了可折叠的小桌板,将小桌板放下后,桌面与车厢的底部$AE$平行,从侧面观察得到如图10①所示图形,$BA ⊥ AE$,垂足为$A$,$CD // AE$.有同学认为在这种情况下,$∠ ABC$与$∠ BCD$的和是个定值.下面是小林同学计算$∠ ABC + ∠ BCD$的度数的过程,请你将解答过程补充完整.
解:如图10②,过点$B$作$BF // AE$,
因为$CD // AE$(已知),
所以$\_\_\_\_\_\_ // CD(\_\_\_\_\_\_).$
所以$∠ BCD + ∠ CBF = 180°(\_\_\_\_\_\_).$
……
解:如图10②,过点$B$作$BF // AE$,
因为$CD // AE$(已知),
所以$\_\_\_\_\_\_ // CD(\_\_\_\_\_\_).$
所以$∠ BCD + ∠ CBF = 180°(\_\_\_\_\_\_).$
……
答案
22. 如题图 10②,过点 $B$ 作 $BF//AE$,
因为 $CD//AE$(已知),
所以 $BF//CD$(平行于同一条直线的两条直线平行).
所以 $∠ BCD+∠ CBF=180°$(两直线平行,同旁内角互补).
因为 $AB⊥ AE$,所以 $∠ EAB=90°$.
因为 $BF//AE$,所以 $∠ ABF+∠ EAB=180°$.
所以 $∠ ABF=180°-90°=90°$.
所以 $∠ ABC+∠ BCD=∠ ABF+∠ CBF+∠ BCD=270°$.
因为 $CD//AE$(已知),
所以 $BF//CD$(平行于同一条直线的两条直线平行).
所以 $∠ BCD+∠ CBF=180°$(两直线平行,同旁内角互补).
因为 $AB⊥ AE$,所以 $∠ EAB=90°$.
因为 $BF//AE$,所以 $∠ ABF+∠ EAB=180°$.
所以 $∠ ABF=180°-90°=90°$.
所以 $∠ ABC+∠ BCD=∠ ABF+∠ CBF+∠ BCD=270°$.
解析
【分析】
本题属于平行线间的折线角度计算问题，已知CD//AE、BA⊥AE，要计算∠ABC与∠BCD的和，我们可以利用题目给出的辅助线BF//AE，先结合平行公理的推论得到BF与CD的平行关系，再分别利用平行线的同旁内角互补的性质，结合垂直的定义求出两组同旁内角的和，最终即可得到两个角的和的定值。
【解析】
如图10②，过点$B$作$BF // AE$，
因为$CD // AE$(已知)，
所以 $\boldsymbol{BF} // CD$(平行于同一条直线的两条直线平行)，
所以$∠ BCD + ∠ CBF = 180°$(两直线平行，同旁内角互补)。
因为 $AB⊥ AE$(已知)，所以 $∠ EAB=90°$(垂直的定义)，
因为 $BF//AE$，所以 $∠ ABF+∠ EAB=180°$(两直线平行，同旁内角互补)，
所以 $∠ ABF=180°-90°=90°$，
因此 $∠ ABC+∠ BCD=∠ ABF+(∠ CBF+∠ BCD)=90°+180°=270°$。
【答案】
依次填空：$BF$；平行于同一条直线的两条直线平行；两直线平行，同旁内角互补；$∠ABC+∠BCD=270°$
【知识点】
平行线的性质；平行公理推论；垂直的定义
【点评】
本题是平行线角度计算的典型题型，解题核心是通过过折线拐点作辅助线，将待求的分散角转化为平行线间的同旁内角，结合已知条件求解，掌握这类作辅助线的技巧能快速解决同类型的角度计算问题。
【难度系数】
0.8
本题属于平行线间的折线角度计算问题，已知CD//AE、BA⊥AE，要计算∠ABC与∠BCD的和，我们可以利用题目给出的辅助线BF//AE，先结合平行公理的推论得到BF与CD的平行关系，再分别利用平行线的同旁内角互补的性质，结合垂直的定义求出两组同旁内角的和，最终即可得到两个角的和的定值。
【解析】
如图10②，过点$B$作$BF // AE$，
因为$CD // AE$(已知)，
所以 $\boldsymbol{BF} // CD$(平行于同一条直线的两条直线平行)，
所以$∠ BCD + ∠ CBF = 180°$(两直线平行，同旁内角互补)。
因为 $AB⊥ AE$(已知)，所以 $∠ EAB=90°$(垂直的定义)，
因为 $BF//AE$，所以 $∠ ABF+∠ EAB=180°$(两直线平行，同旁内角互补)，
所以 $∠ ABF=180°-90°=90°$，
因此 $∠ ABC+∠ BCD=∠ ABF+(∠ CBF+∠ BCD)=90°+180°=270°$。
【答案】
依次填空：$BF$；平行于同一条直线的两条直线平行；两直线平行，同旁内角互补；$∠ABC+∠BCD=270°$
【知识点】
平行线的性质；平行公理推论；垂直的定义
【点评】
本题是平行线角度计算的典型题型，解题核心是通过过折线拐点作辅助线，将待求的分散角转化为平行线间的同旁内角，结合已知条件求解，掌握这类作辅助线的技巧能快速解决同类型的角度计算问题。
【难度系数】
0.8
