10. 如图,在单位正方形组成的网格图中标有 $ AB $,$ CD $,$ EF $,$ GH $ 四条线段,其中能构成一个直角三角形三边的一组线段是()。

A.$ CD $,$ EF $,$ GH $
B.$ AB $,$ EF $,$ GH $
C.$ AB $,$ CD $,$ EF $
D.$ GH $,$ AB $,$ CD $

B

解：设每个小正方形边长为1。
$AB$：水平方向2，竖直方向2，$AB^2=2^2+2^2=8$；
$CD$：水平方向4，竖直方向1，$CD^2=4^2+1^2=17$；
$EF$：水平方向1，竖直方向2，$EF^2=1^2+2^2=5$；
$GH$：水平方向3，竖直方向2，$GH^2=3^2+2^2=13$。
$AB^2+EF^2=8+5=13=GH^2$，故$AB$，$EF$，$GH$能构成直角三角形三边。
答案：B

11. 如图,在边长为 $ 1 $ 的小正方形组成的网格中,$ \triangle ABC $ 的三个顶点均在格点上,请按要求回答下列各题：

(1) 画线段 $ AD// BC $ 且使 $ AD = BC $,连接 $ CD $；
(2) $ \triangle ACD $ 为三角形。

（1）略 （2）直角

（1）作图见解析
（2）直角

12. 如图,在 $ \triangle ABC $ 和 $ \triangle ADE $ 中,$ \angle BAC = \angle DAE = 90^{\circ} $,$ AB = AC $,$ AD = AE $,点 $ C $,$ D $,$ E $ 三点在同一条直线上,连接 $ BD $,$ BE $,其中 $ BD $ 交 $ AC $ 于点 $ F $。判断以下结论是否正确：

① $ BD = CE $；② $ BD\perp CE $；③ $ \angle ACE + \angle DBC = 45^{\circ} $；④ $ BE^{2}= 2(AD^{2}+AB^{2}) $。

解：因为∠BAC=∠DAE=90°，所以∠BAD=∠CAE。又因为AB=AC，AD=AE，所以△DAB≌△EAC，则BD=CE，所以①正确。由△DAB≌△EAC，得∠ACE=∠ABD。又∠CFD=∠BFA，所以∠CDF=∠BAF=90°。因为C，D，E共线，所以BD⊥CE，所以②正确。因为△DAB≌△EAC，∠ACE=∠ABD，所以∠ACE+∠DBC=∠ABD+∠DBC=∠ABC。因为AB=AC，∠BAC=90°，所以∠ABC=45°，即∠ACE+∠DBC=45°，所以③正确。因为BD⊥CE，所以BD＜BC。根据勾股定理，得BE²=DE²+BD²=(AE²+AD²)+BD²=2AD²+BD²＜2AD²+BC²=2(AD²+AB²)，即BE²＜2(AD²+AB²)，所以④不正确。

解：①正确。
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE。
∵AB=AC，AD=AE，
∴△DAB≌△EAC（SAS），
∴BD=CE。
②正确。
∵△DAB≌△EAC，
∴∠ABD=∠ACE。
∵∠BFA=∠CFD，
∴∠CDF=∠BAF=90°，
∴BD⊥CE。
③正确。
∵△DAB≌△EAC，
∴∠ACE=∠ABD，
∴∠ACE+∠DBC=∠ABD+∠DBC=∠ABC。
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=45°，
∴∠ACE+∠DBC=45°。
④不正确。
∵BD⊥CE，
∴BE²=BD²+DE²。
∵AD=AE，∠DAE=90°，
∴DE²=AD²+AE²=2AD²，
∴BE²=BD²+2AD²。
∵BD＜BC，AB=AC，∠BAC=90°，
∴BC²=AB²+AC²=2AB²，
∴BD²＜2AB²，
∴BE²=BD²+2AD²＜2AB²+2AD²=2(AD²+AB²)。
结论：①②③正确，④不正确。