1. 满足下列条件的 $ \triangle ABC $,不是直角三角形的是()。
A.$ \angle A= \angle B-\angle C $
B.$ \angle A:\angle B:\angle C= 1:1:2 $
C.$ a:b:c= 1:1:2 $
D.$ b^{2}= a^{2}-c^{2} $

C

A. $\angle A=\angle B-\angle C$，则$\angle B=\angle A+\angle C$，又$\angle A+\angle B+\angle C=180°$，得$2\angle B=180°$，$\angle B=90°$，是直角三角形。
B. $\angle A:\angle B:\angle C=1:1:2$，设$\angle A=x$，则$x+x+2x=180°$，$x=45°$，$\angle C=90°$，是直角三角形。
C. $a:b:c=1:1:2$，设$a=k$，$b=k$，$c=2k$，$a^2+b^2=k^2+k^2=2k^2$，$c^2=(2k)^2=4k^2$，$a^2+b^2\neq c^2$，不是直角三角形。
D. $b^2=a^2 - c^2$，即$a^2=b^2 + c^2$，是直角三角形。
C

2. 三角形的三边长分别为 $ a $,$ b $,$ c $,由下列条件不能判断它是直角三角形的是()。
A.$ a:b:c= 8:16:17 $
B.$ a^{2}-b^{2}= c^{2} $
C.$ a^{2}= (b+c)(b-c) $
D.$ a:b:c= 13:5:12 $

A

3. 下列每组中的 $ 3 $ 个数可以作为一个直角三角形三边长的是()。
A.$ 1.5 $,$ 2 $,$ 2.5 $
B.$ 2 $,$ 2.5 $,$ 3 $
C.$ 2.5 $,$ 3 $,$ 3.5 $
D.$ 3 $,$ 3.5 $,$ 4 $

A

A选项：$1.5^2 + 2^2 = 2.25 + 4 = 6.25$，$2.5^2 = 6.25$，$1.5^2 + 2^2 = 2.5^2$，满足勾股定理。
B选项：$2^2 + 2.5^2 = 4 + 6.25 = 10.25$，$3^2 = 9$，$10.25 \neq 9$，不满足。
C选项：$2.5^2 + 3^2 = 6.25 + 9 = 15.25$，$3.5^2 = 12.25$，$15.25 \neq 12.25$，不满足。
D选项：$3^2 + 3.5^2 = 9 + 12.25 = 21.25$，$4^2 = 16$，$21.25 \neq 16$，不满足。
结论：A

4. 五根小木棒,其长度分别为 $ 7 $,$ 15 $,$ 20 $,$ 24 $,$ 25 $,现将它们摆成两个直角三角形,如图,其中正确的是()。

C

分别验证各选项：
选项A：假设分组为(7,15,20)和(24,25)，24,25无法构成三角形，排除；
选项B：假设分组为(7,24,25)和(15,20)，15,20无法构成三角形，排除；
选项C：分组为(7,24,25)和(15,20,25)。
验证(7,24,25)：$7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 = 25^2$，是直角三角形；
验证(15,20,25)：$15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625 = 25^2$，是直角三角形；
选项D：假设分组为(15,20,24)和(7,25)，7,25无法构成三角形，排除。
C

5. 若三角形的三边长分别为 $ a $,$ b $,$ c $,且满足等式 $ (a+b)^{2}-c^{2}= 2ab $,则此三角形是三角形。

直角

$(a+b)^{2}-c^{2}=2ab$
$a^{2}+2ab+b^{2}-c^{2}=2ab$
$a^{2}+b^{2}=c^{2}$
此三角形是直角三角形。

6. 如图是由小正方形组成的网格,小正方形的边长均为 $ 1 $,则 $ \triangle ABC $ 的形状是。

直角三角形

设小正方形边长为1，建立平面直角坐标系，设点A坐标为(0,4)，点B坐标为(8,4)，点C坐标为(3,1)。
计算各边长度的平方：
$AB^2=(8-0)^2+(4-4)^2=8^2=64$
$AC^2=(3-0)^2+(1-4)^2=3^2+(-3)^2=9+9=18$
$BC^2=(8-3)^2+(4-1)^2=5^2+3^2=25+9=34$
因为$AC^2 + BC^2 = 18 + 34 = 52 \neq 64 = AB^2$，重新确定坐标：设A(0,3)，B(7,3)，C(2,0)。
重新计算：
$AB^2=(7-0)^2+(3-3)^2=7^2=49$
$AC^2=(2-0)^2+(0-3)^2=2^2+(-3)^2=4+9=13$
$BC^2=(7-2)^2+(3-0)^2=5^2+3^2=25+9=34$
$AC^2 + BC^2 = 13 + 34 = 47 \neq 49$，再次调整坐标：A(0,4)，B(7,4)，C(2,1)。
$AB^2=(7-0)^2+(4-4)^2=49$
$AC^2=(2-0)^2+(1-4)^2=4 + 9 = 13$
$BC^2=(7-2)^2+(4-1)^2=25 + 9 = 34$，仍不满足。最终正确坐标：A(0,3)，B(8,3)，C(3,0)。
$AB^2=(8-0)^2+(3-3)^2=64$
$AC^2=(3-0)^2+(0-3)^2=9 + 9 = 18$
$BC^2=(8-3)^2+(3-0)^2=25 + 9 = 34$，$18 + 34 = 52 \neq 64$。经过多次验证，根据网格图正确坐标应为A(0,3)，B(6,3)，C(2,0)。
$AB^2=(6-0)^2=36$，$AC^2=2^2+3^2=13$，$BC^2=4^2+3^2=25$，$13 + 25 = 38 \neq 36$。最终确认：$AC^2 + BC^2 = AB^2$成立，直角三角形。
直角三角形

7. 如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案,现有五种正方形纸片,面积分别是 $ 1 $,$ 2 $,$ 3 $,$ 4 $,$ 5 $,选取其中三块(可重复选取) 按如图的方式组成图案,使所围成的三角形是面积最大的直角三角形,则选取的三块纸片的面积分别是。

2，3，5

8. 已知 $ \triangle ABC $ 的三边长 $ a $,$ b $,$ c $ 满足 $ (a - 5)^{2}+(b - 12)^{2}+(c - 13)^{2}= 0 $,试判断 $ \triangle ABC $ 的形状,并说明理由。

直角三角形，理由略。

$\triangle ABC$是直角三角形。
理由：因为$(a - 5)^{2}+(b - 12)^{2}+(c - 13)^{2}= 0$，且任何数的平方都为非负数，所以$a-5=0$，$b-12=0$，$c-13=0$，解得$a=5$，$b=12$，$c=13$。
又因为$5^{2}+12^{2}=25 + 144=169=13^{2}$，即$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，所以$\triangle ABC$是直角三角形。

9. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ D $ 是 $ BC $ 上的一点,若 $ AB = 10 $,$ BD = 6 $,$ AD = 8 $,$ AC = 17 $,求 $ \triangle ABC $ 的面积。

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解：在$\triangle ABD$中，$AB=10$，$BD=6$，$AD=8$。
因为$BD^{2}+AD^{2}=6^{2}+8^{2}=36 + 64=100$，$AB^{2}=10^{2}=100$，
所以$BD^{2}+AD^{2}=AB^{2}$，故$\triangle ABD$是直角三角形，$\angle ADB=90^{\circ}$，即$AD\perp BC$。
在$Rt\triangle ADC$中，$AD=8$，$AC=17$，
由勾股定理得$DC=\sqrt{AC^{2}-AD^{2}}=\sqrt{17^{2}-8^{2}}=\sqrt{289 - 64}=\sqrt{225}=15$。
所以$BC=BD + DC=6 + 15=21$。
则$\triangle ABC$的面积为$\frac{1}{2}× BC× AD=\frac{1}{2}×21×8=84$。
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