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5. 如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯,纸杯开口圆的直径 EF 长为 10 cm,母线 OE(OF)长为 10 cm. 在母线 OF 上的点 A 处有一块爆米花残渣,且 FA = 2 cm. 一只蚂蚁从杯口的点 E 处沿圆锥表面爬行到点 A,则此蚂蚁爬行的最短距离为多少厘米？
答案
$2\sqrt{41}\ cm$
解析
解：将圆锥侧面沿母线$OE$展开，得到扇形$OEE'$。
圆锥底面直径$EF = 10\ cm$，底面周长为$10\pi\ cm$，母线长$OE = 10\ cm$。
设扇形圆心角为$n°$，则$\frac{n\pi×10}{180}=10\pi$，解得$n = 180$，即展开图为半圆。
点$F$在展开图中对应点$F'$，$OF' = 10\ cm$，$FA = 2\ cm$，则$OA=OF'-FA=10 - 2=8\ cm$。
在$Rt\triangle OEA$中，$OE = 10\ cm$，$OA = 8\ cm$，则$EA=\sqrt{OE^2+OA^2}=\sqrt{10^2+8^2}=\sqrt{164}=2\sqrt{41}\ cm$。
答：蚂蚁爬行的最短距离为$2\sqrt{41}\ cm$。
圆锥底面直径$EF = 10\ cm$，底面周长为$10\pi\ cm$，母线长$OE = 10\ cm$。
设扇形圆心角为$n°$，则$\frac{n\pi×10}{180}=10\pi$，解得$n = 180$，即展开图为半圆。
点$F$在展开图中对应点$F'$，$OF' = 10\ cm$，$FA = 2\ cm$，则$OA=OF'-FA=10 - 2=8\ cm$。
在$Rt\triangle OEA$中，$OE = 10\ cm$，$OA = 8\ cm$，则$EA=\sqrt{OE^2+OA^2}=\sqrt{10^2+8^2}=\sqrt{164}=2\sqrt{41}\ cm$。
答：蚂蚁爬行的最短距离为$2\sqrt{41}\ cm$。
6. 如图①,已知在⊙O 中,C 为劣弧$\overset{\frown}{AB}$的中点,连接 AC 并延长至点 D,使 CD = CA,连接 DB 并延长,交⊙O 于点 E,连接 AE.
(1) 求证：AE 是⊙O 的直径.
(2) 如图②,连接 EC,⊙O 的半径为 5,AC 的长为 4,求阴影部分的面积. (结果保留 π 与根号)
(1) 求证：AE 是⊙O 的直径.
(2) 如图②,连接 EC,⊙O 的半径为 5,AC 的长为 4,求阴影部分的面积. (结果保留 π 与根号)
答案
(1)证明:连接$CB$,$AB$,$\because C$为劣弧$\overset{\frown}{AB}$的中点,$\therefore CB=CA$,$\therefore \angle CBA=\angle CAB$.又$\because CD=CA$,$\therefore CD=CB$,$\therefore \angle CBD=\angle CDB$,$\therefore \angle CBA+\angle CBD=90^{\circ }$,$\therefore \triangle ABD$是直角三角形,$\angle ABD=90^{\circ }$,$\therefore \angle ABE=90^{\circ }$,$\therefore AE$是$\odot O$的直径.
(2)解:$\because AE$是$\odot O$的直径,$\therefore \angle ACE=90^{\circ }$.$\because AE=10$,$AC=4$,$\therefore$根据勾股定理得$CE=2\sqrt{21}$,$\therefore S_{阴影}=S_{半圆}-S_{\triangle ACE}=12.5\pi -\dfrac{1}{2}× 4× 2\sqrt{21}=12.5\pi -4\sqrt{21}$.
7. 如图,在平面直角坐标系中,点 A 的坐标为(10,0),以 OA 为直径在第一象限内作半圆 C,B 是该半圆圆周上的一动点,连接 OB,AB,并延长 AB 至点 D,使 BD = AB,过点 D 作 x 轴的垂线,分别交 x 轴、直线 OB 于点 E,F,E 为垂足,连接 CF.
(1) 当∠AOB = 30°时,求$\overset{\frown}{AB}$的长.
(2) 当 DE = 8 时,求线段 EF 的长.
(1) 当∠AOB = 30°时,求$\overset{\frown}{AB}$的长.
(2) 当 DE = 8 时,求线段 EF 的长.
答案
(1)连接$BC$,$\because$点$A$的坐标为$(10,0)$,$\therefore OA=10$,$CA=5$.$\because \angle AOB=30^{\circ }$,$\therefore \angle ACB=2\angle AOB=60^{\circ }$,$\therefore \overset{\frown}{AB}$的长$=\dfrac{60× \pi × 5}{180}=\dfrac{5\pi}{3}$.
(2)连接$OD$,$\because OA$是$\odot C$的直径,$\therefore \angle OBA=90^{\circ }$.又$\because AB=BD$,$\therefore OB$是$AD$的垂直平分线,$\therefore OD=OA=10$.在$Rt\triangle ODE$中,$OE=\sqrt{OD^{2}-DE^{2}}=\sqrt{10^{2}-8^{2}}=6$,$\therefore AE=OA-OE=10-6=4$.由$\angle AOB=\angle ADE=90^{\circ }-\angle OAB$,$\angle OEF=\angle DEA$,得$\triangle OEF\backsim \triangle DEA$,$\therefore \dfrac{AE}{EF}=\dfrac{DE}{OE}$,即$\dfrac{4}{EF}=\dfrac{8}{6}$,$\therefore EF=3$.
