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A. π B. 2π C. $\frac{2}{3}\sqrt{3}$ D. $\frac{2}{3}\pi$
答案
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3. 如图,圆锥的侧面展开图是一个半圆,求母线 AB 与高 AO 的夹角.
(参考公式：圆锥的侧面积 S = πrl,其中 r 为底面半径,l 为母线长)
(参考公式：圆锥的侧面积 S = πrl,其中 r 为底面半径,l 为母线长)
答案
解:设圆锥的母线长为$l$,底面半径为$r$,则$\pi l=2\pi r$,$\therefore l=2r$,$\therefore$母线与高的夹角的正弦值为$\dfrac{r}{l}=\dfrac{1}{2}$,$\therefore$母线$AB$与高$AO$的夹角为$30^{\circ }$.
解析
解:设圆锥的母线长为$ l $，底面半径为$ r $。
因为圆锥侧面展开图是半圆，其弧长等于圆锥底面周长，所以$ \pi l = 2\pi r $，解得$ l = 2r $。
在$ Rt\triangle AOB $中，$ \sin\angle BAO=\dfrac{OB}{AB}=\dfrac{r}{l}=\dfrac{r}{2r}=\dfrac{1}{2} $，
因此$ \angle BAO = 30° $，即母线$ AB $与高$ AO $的夹角为$ 30° $。
因为圆锥侧面展开图是半圆，其弧长等于圆锥底面周长，所以$ \pi l = 2\pi r $，解得$ l = 2r $。
在$ Rt\triangle AOB $中，$ \sin\angle BAO=\dfrac{OB}{AB}=\dfrac{r}{l}=\dfrac{r}{2r}=\dfrac{1}{2} $，
因此$ \angle BAO = 30° $，即母线$ AB $与高$ AO $的夹角为$ 30° $。
4. 如图,AB 是⊙O 的直径,弦 BC = 5,∠BOC = 60°,OE⊥AC,垂足为 E.
(1) 求 OE 的长.
(2) 求 AC 的长.
(1) 求 OE 的长.
(2) 求 AC 的长.
答案
(1)$\because OE\perp AC$,$\therefore AE=EC$.又$\because AO=BO$,$\therefore OE=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{5}{2}$.
(2)$\angle A=\dfrac{1}{2}\angle BOC=30^{\circ }$,在$Rt\triangle AOE$中,$\tan A=\dfrac{OE}{AE}$,$\therefore AE=\dfrac{5}{2}\sqrt{3}$,$\therefore AC=2AE=5\sqrt{3}$.
