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1. 如图,点$A$,$B$,$C$,$D$在同一圆上,则图中相等的圆周角共有(
A.$2$对
B.$4$对
C.$6$对
D.$8$对
B
)A.$2$对
B.$4$对
C.$6$对
D.$8$对
答案
B
解析
证明：
∵点A,B,C,D在同一圆上，
∴∠BAC=∠BDC，∠ABC=∠ADC，∠ACB=∠ADB，∠BAD=∠BCD，
共4对相等的圆周角。
答案：B
∵点A,B,C,D在同一圆上，
∴∠BAC=∠BDC，∠ABC=∠ADC，∠ACB=∠ADB，∠BAD=∠BCD，
共4对相等的圆周角。
答案：B
2. 如图,在$\odot O$中,$AB$是直径,$CD$是弦,$CD\perp AB于点E$,则下列结论中不一定正确的是(
A.$\angle COE= \angle DOE$
B.$CE= DE$
C.$AC= AD$
D.$OE= BE$
D
)A.$\angle COE= \angle DOE$
B.$CE= DE$
C.$AC= AD$
D.$OE= BE$
答案
D
解析
证明：
∵AB是直径，CD是弦，CD⊥AB于点E，
∴AB垂直平分CD（垂径定理），
∴CE=DE，故B正确；
∵OC=OD，OE=OE，
∴△COE≌△DOE（SSS），
∴∠COE=∠DOE，故A正确；
∵∠COE=∠DOE，
∴∠COA=∠DOA，
∴AC=AD（等圆心角对等弦），故C正确；
OE与BE的关系不确定，故D不一定正确。
结论：D
∵AB是直径，CD是弦，CD⊥AB于点E，
∴AB垂直平分CD（垂径定理），
∴CE=DE，故B正确；
∵OC=OD，OE=OE，
∴△COE≌△DOE（SSS），
∴∠COE=∠DOE，故A正确；
∵∠COE=∠DOE，
∴∠COA=∠DOA，
∴AC=AD（等圆心角对等弦），故C正确；
OE与BE的关系不确定，故D不一定正确。
结论：D
3. 如图,在$\odot O$中,已知$\angle OAB= 22.5^{\circ}$,则$\angle C$的度数为(
A.$135^{\circ}$
B.$122.5^{\circ}$
C.$115.5^{\circ}$
D.$112.5^{\circ}$
D
)A.$135^{\circ}$
B.$122.5^{\circ}$
C.$115.5^{\circ}$
D.$112.5^{\circ}$
答案
D
解析
解：
∵OA=OB，∠OAB=22.5°，
∴∠OBA=∠OAB=22.5°，
∴∠AOB=180°-22.5°-22.5°=135°，
∵∠ACB与∠AOB分别是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角和圆心角，且点C在劣弧AB上，
∴∠ACB=$\frac{1}{2}$(360°-∠AOB)=$\frac{1}{2}$×(360°-135°)=112.5°，
故选D.
∵OA=OB，∠OAB=22.5°，
∴∠OBA=∠OAB=22.5°，
∴∠AOB=180°-22.5°-22.5°=135°，
∵∠ACB与∠AOB分别是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角和圆心角，且点C在劣弧AB上，
∴∠ACB=$\frac{1}{2}$(360°-∠AOB)=$\frac{1}{2}$×(360°-135°)=112.5°，
故选D.
4. 如图,已知$\triangle ACD和\triangle ABE$内接于同一个圆,则$\angle ADC+\angle AEB+\angle BAC$的值为(
A.$90^{\circ}$
B.$180^{\circ}$
C.$270^{\circ}$
D.$360^{\circ}$
B
)A.$90^{\circ}$
B.$180^{\circ}$
C.$270^{\circ}$
D.$360^{\circ}$
答案
B
解析
证明：
∵△ACD和△ABE内接于同一个圆，
∴∠ADC与∠ABC是同弧AC所对的圆周角，∠AEB与∠ACB是同弧AB所对的圆周角，
∴∠ADC=∠ABC，∠AEB=∠ACB。
在△ABC中，∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，
∴∠ADC+∠AEB+∠BAC=∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°。
答案：B
∵△ACD和△ABE内接于同一个圆，
∴∠ADC与∠ABC是同弧AC所对的圆周角，∠AEB与∠ACB是同弧AB所对的圆周角，
∴∠ADC=∠ABC，∠AEB=∠ACB。
在△ABC中，∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，
∴∠ADC+∠AEB+∠BAC=∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°。
答案：B
5. 如图,$\odot O的直径CD= 5\ cm$,$AB是\odot O$的弦,$AB\perp CD$,垂足为$M$,$OM:OD= 3:5$,则$AB$的长是(
A.$2\ cm$
B.$3\ cm$
C.$2\sqrt{21}\ cm$
D.$4\ cm$
D
)A.$2\ cm$
B.$3\ cm$
C.$2\sqrt{21}\ cm$
D.$4\ cm$
答案
D
解析
解：连接 $OA$。
因为 $CD$ 是直径，$CD=5\ cm$，所以 $OD=OA=\frac{5}{2}\ cm$。
由 $OM:OD=3:5$，得 $OM=\frac{3}{5}OD=\frac{3}{5}×\frac{5}{2}=\frac{3}{2}\ cm$。
因为 $AB\perp CD$，所以 $AM=\sqrt{OA^2-OM^2}=\sqrt{(\frac{5}{2})^2-(\frac{3}{2})^2}=\sqrt{4}=2\ cm$。
因此 $AB=2AM=4\ cm$。
答案：D
因为 $CD$ 是直径，$CD=5\ cm$，所以 $OD=OA=\frac{5}{2}\ cm$。
由 $OM:OD=3:5$，得 $OM=\frac{3}{5}OD=\frac{3}{5}×\frac{5}{2}=\frac{3}{2}\ cm$。
因为 $AB\perp CD$，所以 $AM=\sqrt{OA^2-OM^2}=\sqrt{(\frac{5}{2})^2-(\frac{3}{2})^2}=\sqrt{4}=2\ cm$。
因此 $AB=2AM=4\ cm$。
答案：D
6. 如图,某公园的一座石拱桥是圆弧形(劣弧)的,其跨度(弧所对弦的长)为$24\ m$,拱的半径为$13\ m$,则拱高$CD$的长为(
A.$5\ m$
B.$8\ m$
C.$7\ m$
D.$5\sqrt{3}\ m$
B
)A.$5\ m$
B.$8\ m$
C.$7\ m$
D.$5\sqrt{3}\ m$
答案
B
解析
解：设圆心为$O$，连接$OA$，$OD$。
因为$CD$为拱高，所以$OD\perp AB$，$AD=\frac{AB}{2}=\frac{24}{2}=12\ m$。
在$Rt\triangle AOD$中，$OA=13\ m$，由勾股定理得：
$OD=\sqrt{OA^{2}-AD^{2}}=\sqrt{13^{2}-12^{2}}=5\ m$。
拱高$CD=OC - OD=13 - 5=8\ m$。
答案：B
因为$CD$为拱高，所以$OD\perp AB$，$AD=\frac{AB}{2}=\frac{24}{2}=12\ m$。
在$Rt\triangle AOD$中，$OA=13\ m$，由勾股定理得：
$OD=\sqrt{OA^{2}-AD^{2}}=\sqrt{13^{2}-12^{2}}=5\ m$。
拱高$CD=OC - OD=13 - 5=8\ m$。
答案：B
