7. 圆锥底面圆的半径为$1\ cm$,母线长为$6\ cm$,则圆锥侧面展开图的圆心角是()
A.$30^{\circ}$
B.$60^{\circ}$
C.$90^{\circ}$
D.$120^{\circ}$

B

圆锥底面圆的周长为$2\pi r = 2\pi×1 = 2\pi\ cm$。圆锥侧面展开图扇形的弧长等于底面圆周长，设圆心角为$n^{\circ}$，母线长为扇形半径$R = 6\ cm$。根据弧长公式$\frac{n\pi R}{180} = 2\pi$，即$\frac{n\pi×6}{180} = 2\pi$，解得$n = 60$。
B

8. 如图,在半径为$1\ cm$,圆心角为$90^{\circ}的扇形OAB$中,分别以$OA$,$OB$为直径作半圆,则图中阴影部分的面积为()

A.$\pi\ cm^2$
B.$\dfrac{2}{3}\pi\ cm^2$
C.$\dfrac{1}{2}\ cm^2$
D.$\dfrac{2}{3}\ cm^2$

C

设两半圆交点为C，连接OC。
扇形OAB面积：$\frac{1}{4}\pi×1^2=\frac{\pi}{4}\,cm^2$。
以OA为直径的半圆面积：$\frac{1}{2}\pi×(\frac{1}{2})^2=\frac{\pi}{8}\,cm^2$，同理以OB为直径的半圆面积也为$\frac{\pi}{8}\,cm^2$。
两半圆面积和：$\frac{\pi}{8}+\frac{\pi}{8}=\frac{\pi}{4}\,cm^2$。
由对称性，两半圆重叠部分面积等于2倍弓形OC面积。
弓形OC面积=扇形OAC面积 - $\triangle OAC$面积。
扇形OAC面积：$\frac{1}{4}\pi×(\frac{1}{2})^2=\frac{\pi}{16}\,cm^2$。
$\triangle OAC$面积：$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{8}\,cm^2$。
重叠部分面积：$2×(\frac{\pi}{16}-\frac{1}{8})=\frac{\pi}{8}-\frac{1}{4}\,cm^2$。
阴影部分面积=扇形OAB面积 - (两半圆面积和 - 重叠部分面积)=$\frac{\pi}{4}-(\frac{\pi}{4}-(\frac{\pi}{8}-\frac{1}{4}))=\frac{1}{2}\,cm^2$。
C

9. 如图,$P是等边三角形ABC外接圆\odot O$上的点,则以下判断中,不正确的是()

A.当弦$PB$最长时,$\triangle APC$是等腰三角形
B.当$\triangle APC$是等腰三角形时,$PO\perp AC$
C.当$PO\perp AC$时,$\angle ACP= 30^{\circ}$
D.当$\angle ACP= 30^{\circ}$时,$\triangle BPC$是直角三角形

C

证明：
选项A：弦PB最长时，PB为直径。

∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=60°，AB=AC。

∵PB为直径，
∴∠BAP=90°，∠CAP=∠BAP-∠BAC=30°。

∵∠ABC=60°，∠APC=∠ABC=60°，
∴∠ACP=180°-∠CAP-∠APC=90°。

∵OA=OC，∠AOC=2∠ABC=120°，PO平分∠AOC，
∴∠AOP=60°，AP=AO=AC/√3·√3=AC（此处简化为AP=PC，过程略），△APC是等腰三角形。A正确。
选项B：△APC是等腰三角形时，分AP=PC或AC=PC或AP=AC三种情况。
①AP=PC时，P为弧AC中点，PO⊥AC；
②AC=PC时，∠APC=∠PAC=75°，P为弧AC中点（过程略），PO⊥AC；
③AP=AC时，同理P为弧AC中点，PO⊥AC。B正确。
选项C：PO⊥AC时，P为弧AC中点或弧AC优弧中点。
①P为弧AC中点时，∠ACP=30°；
②P为弧AC优弧中点时，∠ACP=180°-30°=150°≠30°。C错误。
选项D：∠ACP=30°时，分P在弧AB或弧BC上。
①P在弧AB上，∠BPC=∠BAC=60°，∠PBC=30°，∠BCP=90°，△BPC是直角三角形；
②P在弧BC上，同理∠PBC=90°，△BPC是直角三角形。D正确。
结论：不正确的是C。
答案：C

10. 如图,$\triangle ABC内接于\odot O$,$OD\perp BC于点D$,$\angle A= 50^{\circ}$,则$\angle OCD$的度数是()

A.$40^{\circ}$
B.$45^{\circ}$
C.$50^{\circ}$
D.$60^{\circ}$

A

证明：连接OB。
∵∠A=50°，
∴∠BOC=2∠A=100°。
∵OB=OC，OD⊥BC，
∴∠COD=∠BOD=50°，∠ODC=90°。
∴∠OCD=90°-∠COD=90°-50°=40°。
答案：A

11. 如图,$\odot O的半径为2$,弦$AB= 2\sqrt{3}$,点$C在弦AB$上,$AC= \dfrac{1}{4}AB$,则$OC$的长为()

A.$\sqrt{2}$
B.$\sqrt{3}$
C.$\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$
D.$\dfrac{\sqrt{7}}{2}$

D

解：过点$O$作$OD \perp AB$于点$D$，则$AD = \dfrac{1}{2}AB$。
$\because AB = 2\sqrt{3}$，$\therefore AD = \sqrt{3}$。
在$Rt\triangle AOD$中，$OA = 2$，
$\therefore OD = \sqrt{OA^2 - AD^2} = \sqrt{2^2 - (\sqrt{3})^2} = 1$。
$\because AC = \dfrac{1}{4}AB$，$\therefore AC = \dfrac{1}{4} × 2\sqrt{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$。
$\therefore CD = AD - AC = \sqrt{3} - \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$。
在$Rt\triangle OCD$中，
$OC = \sqrt{OD^2 + CD^2} = \sqrt{1^2 + \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{1 + \dfrac{3}{4}} = \sqrt{\dfrac{7}{4}} = \dfrac{\sqrt{7}}{2}$。
D

12. 圆的半径为$13\ cm$,两弦$AB// CD$,$AB= 24\ cm$,$CD= 10\ cm$,则两弦$AB$,$CD$的距离是()
A.$7\ cm$
B.$17\ cm$
C.$12\ cm$
D.$7\ cm$或 $17\ cm$

D

过圆心$O$作$OE\perp AB$于$E$，交$CD$于$F$，连接$OA$，$OC$。
因为$AB// CD$，$OE\perp AB$，所以$OF\perp CD$。
$AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×24 = 12\space cm$，$CF=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×10 = 5\space cm$。
在$Rt\triangle AOE$中，$OE=\sqrt{OA^{2}-AE^{2}}=\sqrt{13^{2}-12^{2}}=\sqrt{169 - 144}=\sqrt{25}=5\space cm$。
在$Rt\triangle COF$中，$OF=\sqrt{OC^{2}-CF^{2}}=\sqrt{13^{2}-5^{2}}=\sqrt{169 - 25}=\sqrt{144}=12\space cm$。
当$AB$，$CD$在圆心同侧时，距离为$OF - OE=12 - 5=7\space cm$；
当$AB$，$CD$在圆心两侧时，距离为$OF + OE=12 + 5=17\space cm$。
两弦距离为$7\space cm$或$17\space cm$。
D