1. (2025·沈阳期中)图①是某公园一座抛物线形拱桥,按如图②所示建立平面直角坐标系,得到函数$y=-\dfrac{1}{25}x^2$,在正常水位时水面宽$AB=30$米,当水位上升5米时,则水面宽$CD=$ ()


A.20米
B.15米
C.10米
D.8米

1. A 解析:正常水位时 AB=30 米,
∴点 A,B 的横坐标分别为-15,15,水面纵坐标为$-\dfrac{1}{25}×15^2 = -9$. 水位上升 5 米后,水面纵坐标为-4. 令$-\dfrac{1}{25}x^2 = -4$,解得$x=\pm10$,
∴ CD=20 米.故选 A.

2. (2026·徐州期中)如图,小亮同学掷铅球时,铅球沿抛物线$y=-0.1x^2+0.6x+c$运行,其中x是铅球离初始位置的水平距离,y是铅球离地面的高度.若铅球抛出时离地面的高度OA为1.6 m,则铅球掷出的水平距离OB为 m.

2. 8 解析:铅球抛出时离地面的高度 OA 为 1.6 m,
∴ c=1.6,$\therefore y=-0.1x^2+0.6x+1.6$.当 y=0 时,$0=-0.1x^2+0.6x+1.6$,解得x=8 或 x=-2(舍去),
∴铅球掷出的水平距离 OB 为 8 m.

3.（2024·河南中考）从地面竖直向上发射的物体离地面的高度$h(\mathrm{m})$满足关系式$h=-5t^2 + v_0t$，其中$t(\mathrm{s})$是物体运动的时间，$v_0(\mathrm{m/s})$是物体被发射时的速度.社团活动时，科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球.
（1）小球被发射后$\mathrm{s}$时离地面的高度最大（用含$v_0$的式子表示）.
（2）若小球离地面的最大高度为$20\ \mathrm{m}$，求小球被发射时的速度.
（3）按（2）中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同.小明说：“这两次间隔的时间为$3\ \mathrm{s}$.”已知实验楼高$15\ \mathrm{m}$，请判断他的说法是否正确，并说明理由.

3. (1) $\dfrac{v_0}{10}$ 解析:$h=-5t^2+v_0t=-5(t-\dfrac{v_0}{10})^2+\dfrac{v_0^2}{20}$,
∴当$t=\dfrac{v_0}{10}$时,h最大.
(2)根据题意得,当$t=\dfrac{v_0}{10}$时,h=20,$\therefore \dfrac{v_0^2}{20}=20$,$\therefore v_0=20$(负值已舍去).故小球被发射时的速度为 20 m/s.
(3)小明的说法不正确.理由如下:由(2)得$h=-5t^2+20t$,当 h=15 时,$15=-5t^2+20t$,解得$t_1=1$,$t_2=3$,
∴两次间隔的时间为 3-1=2(s),
∴小明的说法不正确.

4. (2025·新疆中考)如图是某隧道截面图,其轮廓可近似看作是抛物线的一部分.若隧道底部宽12米,高8米,按照如图所示的方式建立平面直角坐标系.
(1)求抛物线的函数表达式.
(2)该隧道设计为单向双车道通行,车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5米,当两辆车在隧道内并排行驶时,需沿中心线两侧行驶,且两车至少间隔2米(中心线宽度不计).若宽3米,高3.5米的两辆车并排行驶,能否安全通过?请说明理由.

4. (1)由题意得,顶点为$(\dfrac{12}{2},8)$,即(6,8),设抛物线的表达式为$y=a(x-6)^2+8(a≠0)$,代入点(12,0)得$a(12-6)^2+8=0$,解得$a=-\dfrac{2}{9}$,
∴抛物线表达式为$y=-\dfrac{2}{9}(x-6)^2+8$$(0≤ x≤12)$.
(2)能安全通过,理由如下:如图,由题意得$x_A=\dfrac{12}{2}-\dfrac{2}{2}-3=2$,将 x=2 代入$y=-\dfrac{2}{9}(x-6)^2+8$,则$y=-\dfrac{2}{9}×(2-6)^2+8=\dfrac{40}{9}$.$\because \dfrac{40}{9}-3.5=\dfrac{17}{18}＞0.5$,
∴能安全通过.