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5. (2026·石家庄期末)如图,在水平地面点A处有一网球发射器向空中发射网球,网球在地面上的落点为B,网球飞行路线是一条抛物线,小明在直线AB上点C(靠点B一侧)右侧竖直向上摆放若干个无盖的、直径为0.5米,高为0.3米的圆柱形桶(网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计).已知AB=4米,AC=3米,网球飞行的最大高度OM=3米,若要使网球能落入桶内,则至少需摆放圆柱形桶 (
A.4个
B.5个
C.6个
D.7个
B
)A.4个
B.5个
C.6个
D.7个
答案
5. B 解析:先以 AB 所在直线为 x 轴,建立平面直角坐标系,二次函数的图象过点 M(0,3),A(-2,0),设抛物线的表达式为$y=ax^2+3$.
∵抛物线过点 B(2,0),
∴4a+3=0,$a=-\dfrac{3}{4}$,抛物线的表达式为$y=-\dfrac{3}{4}x^2+3$.当 x=1 时,$y=\dfrac{9}{4}$,当 x=1.5时,$y=\dfrac{21}{16}$.
∵桶高 0.3 米,设有 m 个桶,则有$\dfrac{21}{16}＜0.3m＜\dfrac{9}{4}$,解得4.375＜m＜7.5,
∴当 m 的值为 5 或 6 或 7 时,网球能落入桶中,
∴至少要摆 5 个桶.故选 B.
6. (2025·襄阳校级月考)一种玻璃水杯的截面如图①中实线所示，其左右轮廓线AC，BD为某一抛物线的一部分，杯口AB=8 cm，杯底CD=4 cm，且AB//CD，杯深12 cm，如图②，若盛有部分水的水杯倾斜45°(即∠ABP=45°)，水面正好经过点B，则此时点P到杯口AB的距离为 (
A.5 cm
B.6 cm
C.$5\sqrt{2}$ cm
D.7 cm
D
)A.5 cm
B.6 cm
C.$5\sqrt{2}$ cm
D.7 cm
答案
6. D 解析:如图,将题图②旋转,以 AB 的中点为原点建立平面直角坐标系,
∴ A(-4,0),B(4,0),C(-2,-12),D(2,-12),设轮廓线 AC,BD 所在抛物线的表达式为$y=ax^2+k$,记 BP 与 y 轴的交点为 E,把 A(-4,0),C(-2,-12)代入得$\begin{cases}16a+k=0,\\4a+k=-12,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=1,\\k=-16,\end{cases}$
∴$y=x^2-16$.
∵∠ABP=45°,
∴OB=OE,
∴E(0,-4).设直线 PB 的表达式为 y=mx+n,把B(4,0),E(0,-4)代入得$\begin{cases}4m+n=0,\\n=-4,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=1,\\n=-4,\end{cases}$
∴直线PB:y=x-4,由$x^2-16=x-4$,解得$x_1=-3$,$x_2=4$(舍);当 x=-3 时,y=-3-4=-7,
∴ P(-3,-7),此时点 P 到杯口 AB 的距离为 7 cm.故选 D.
7. (南充中考)如图,水池中心点O处竖直安装一水管,水管喷头喷出抛物线形水柱,喷头上下移动时,抛物线形水柱随之竖直上下平移,水柱落点与点O在同一水平面.安装师傅调试发现,喷头高2.5 m时,水柱落点距O点2.5 m;喷头高4 m时,水柱落点距O点3 m.那么喷头高
8
m时,水柱落点距O点4 m.答案
7. 8 解析:以水池中心点 O 为原点,水管所在直线为 y 轴,过点 O 且垂直于水管的直线为 x 轴,建立平面直角坐标系.由题意可知,在调整喷头高度的过程中,水柱的形状不发生变化.当喷头高 2.5 m 时,可设$y=ax^2+bx+2.5$,将(2.5,0)代入表达式得2.5a+b+1=0 ①,当喷头高 4 m 时,可设$y=ax^2+bx+4$,将(3,0)代入表达式得9a+3b+4=0 ②,联立可求出$a=-\dfrac{2}{3}$,$b=\dfrac{2}{3}$.设喷头高为 h m 时,水柱落点距 O 点 4 m,
∴此时的表达式为$y=-\dfrac{2}{3}x^2+\dfrac{2}{3}x+h$,将(4,0)代入可得$-\dfrac{2}{3}×4^2+\dfrac{2}{3}×4+h=0$,解得 h=8.
∴此时的表达式为$y=-\dfrac{2}{3}x^2+\dfrac{2}{3}x+h$,将(4,0)代入可得$-\dfrac{2}{3}×4^2+\dfrac{2}{3}×4+h=0$,解得 h=8.
8. (2026·崇左期中)如图,小明站在原点处,从离地面高度为1 m的点A处抛出弹力球,弹力球在B处着地后弹起,落至点C处,弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线,弹力球第一次着地前抛物线的表达式为$y=a(x-2)^2+2$,弹力球在B处着地后弹起的最大高度为着地前手抛出的最大高度的一半,如果在地上摆放一个底面半径为0.5 m,高为0.5 m的圆柱形筐,筐的最左端距离原点为n m(n为整数),若要弹力球从B点弹起后落入筐内,则n的值为
8
。答案
8. 8 解析:由题意可知,弹力球第一次着地前抛物线的表达式为$y=a(x-2)^2+2$,且过点 A(0,1),代入表达式中得$1=a(0-2)^2+2$,
∴$a=-\dfrac{1}{4}$,
∴函数表达式为$y=-\dfrac{1}{4}(x-2)^2+2$,当 x=2 时,y 的最大值为 2,令 y=0,则$-\dfrac{1}{4}(x-2)^2+2=0$,解得$x_1=2+2\sqrt{2}$,$x_2=2-2\sqrt{2}$(舍去),
∴$B(2+2\sqrt{2},0)$.
∵B 处着地后弹起的最大高度为着地前手抛出的最大高度的一半,
∴其最大高度为$2×\dfrac{1}{2}=1(\mathrm{m})$.
∵弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线,设着地后弹起的抛物线表达式为$y=-\dfrac{1}{4}(x-h)^2+1$,将点$B(2+2\sqrt{2},0)$代入该表达式得$0=-\dfrac{1}{4}(2+2\sqrt{2}-h)^2+1$,解得$h_1=2\sqrt{2}+4$,$h_2=2\sqrt{2}$(舍去),
∴该抛物线的表达式为$y=-\dfrac{1}{4}(x-2\sqrt{2}-4)^2+1$,
∴对称轴为直线$x=2\sqrt{2}+4$.
∵点 B 的坐标为$(2+2\sqrt{2},0)$,则点 C 的坐标为$(2\sqrt{2}+6,0)$.
∵圆柱形筐的高为 0.5 m,当 y=0.5 时,则$-\dfrac{1}{4}(x-2\sqrt{2}-4)^2+1=0.5$,解得$x=4+3\sqrt{2}$或$x=4+\sqrt{2}$(舍去),
∴当弹力球恰好砸中筐的最左端时$n=4+3\sqrt{2}$.
∵筐的底面半径为 0.5 m,直径为 1 m,
∴当弹力球恰好砸中筐的最右端时,$n=4+3\sqrt{2}-1=3+3\sqrt{2}$,
∴$3+3\sqrt{2}＜n＜4+3\sqrt{2}$.
∵n 是整数,
∴n 的值为 8.
∴$a=-\dfrac{1}{4}$,
∴函数表达式为$y=-\dfrac{1}{4}(x-2)^2+2$,当 x=2 时,y 的最大值为 2,令 y=0,则$-\dfrac{1}{4}(x-2)^2+2=0$,解得$x_1=2+2\sqrt{2}$,$x_2=2-2\sqrt{2}$(舍去),
∴$B(2+2\sqrt{2},0)$.
∵B 处着地后弹起的最大高度为着地前手抛出的最大高度的一半,
∴其最大高度为$2×\dfrac{1}{2}=1(\mathrm{m})$.
∵弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线,设着地后弹起的抛物线表达式为$y=-\dfrac{1}{4}(x-h)^2+1$,将点$B(2+2\sqrt{2},0)$代入该表达式得$0=-\dfrac{1}{4}(2+2\sqrt{2}-h)^2+1$,解得$h_1=2\sqrt{2}+4$,$h_2=2\sqrt{2}$(舍去),
∴该抛物线的表达式为$y=-\dfrac{1}{4}(x-2\sqrt{2}-4)^2+1$,
∴对称轴为直线$x=2\sqrt{2}+4$.
∵点 B 的坐标为$(2+2\sqrt{2},0)$,则点 C 的坐标为$(2\sqrt{2}+6,0)$.
∵圆柱形筐的高为 0.5 m,当 y=0.5 时,则$-\dfrac{1}{4}(x-2\sqrt{2}-4)^2+1=0.5$,解得$x=4+3\sqrt{2}$或$x=4+\sqrt{2}$(舍去),
∴当弹力球恰好砸中筐的最左端时$n=4+3\sqrt{2}$.
∵筐的底面半径为 0.5 m,直径为 1 m,
∴当弹力球恰好砸中筐的最右端时,$n=4+3\sqrt{2}-1=3+3\sqrt{2}$,
∴$3+3\sqrt{2}＜n＜4+3\sqrt{2}$.
∵n 是整数,
∴n 的值为 8.
9. 新情境（2026·山东中考）“踢枪”是京剧中的经典环节，通过踢、接、抛花枪等动作呈现故事场景（如图①）.甲、乙、丙三人在表演“踢枪”时，花枪在飞行中始终与水平地面平行且不转动，忽略空气阻力，花枪的中点运动路线近似是抛物线的一部分（以下“花枪”均指花枪的中点）.
(1)如图②,甲站在地面的O点处,从距离地面$\frac{1}{2}$m高的A点踢出花枪,A点与O点的水平距离OB是$\frac{1}{2}$m,花枪飞行到与O点水平距离3 m的C处达到最高,高度为3 m.
①设花枪离地面的高度为$y$(m),到O点的水平距离为$x$(m).请建立平面直角坐标系,并求$y$关于$x$的函数表达式;
②花枪下落过程中,乙在与O点水平距离$d$ m处接花枪,能接到的高度最大为$\frac{21}{10}$m,最小为$\frac{1}{2}$m,求$d$的取值范围.
(2)乙再抛出花枪,同时丙开始运动,恰好在花枪落地前接到花枪.已知花枪飞行高度$h$(m)与时间$t$(s)之间的表达式是$h=-5t^2+7t+\frac{8}{5}(t＞0)$,丙在距花枪落地点5 m处沿直线运动到花枪落地点.求丙的平均速度.
(1)如图②,甲站在地面的O点处,从距离地面$\frac{1}{2}$m高的A点踢出花枪,A点与O点的水平距离OB是$\frac{1}{2}$m,花枪飞行到与O点水平距离3 m的C处达到最高,高度为3 m.
①设花枪离地面的高度为$y$(m),到O点的水平距离为$x$(m).请建立平面直角坐标系,并求$y$关于$x$的函数表达式;
②花枪下落过程中,乙在与O点水平距离$d$ m处接花枪,能接到的高度最大为$\frac{21}{10}$m,最小为$\frac{1}{2}$m,求$d$的取值范围.
(2)乙再抛出花枪,同时丙开始运动,恰好在花枪落地前接到花枪.已知花枪飞行高度$h$(m)与时间$t$(s)之间的表达式是$h=-5t^2+7t+\frac{8}{5}(t＞0)$,丙在距花枪落地点5 m处沿直线运动到花枪落地点.求丙的平均速度.
答案
9. (1)①如图,建立平面直角坐标系.
由题意得,$A(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2})$,设函数表达式为$y=a(x-3)^2+3$,把$A(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2})$代入$y=a(x-3)^2+3$,得$a(\dfrac{1}{2}-3)^2+3=\dfrac{1}{2}$,解得$a=-\dfrac{2}{5}$,
∴函数表达式为$y=-\dfrac{2}{5}(x-3)^2+3$.
②当x=d时,$y=-\dfrac{2}{5}(d-3)^2+3=-\dfrac{2}{5}d^2+\dfrac{12}{5}d-\dfrac{3}{5}$,由题意得$\dfrac{1}{2}≤-\dfrac{2}{5}d^2+\dfrac{12}{5}d-\dfrac{3}{5}≤\dfrac{21}{10}$,当$-\dfrac{2}{5}d^2+\dfrac{12}{5}d-\dfrac{3}{5}≥\dfrac{1}{2}$时,整理得$4d^2-24d+11≤0$,令$y=4d^2-24d+11$,当y=0时,$4d^2-24d+11=0$,解得$d_1=\dfrac{1}{2}$,$d_2=\dfrac{11}{2}$,
∴$4d^2-24d+11≤0$的解集为$\dfrac{1}{2}≤ d≤\dfrac{11}{2}$;
当$-\dfrac{2}{5}d^2+\dfrac{12}{5}d-\dfrac{3}{5}≤\dfrac{21}{10}$时,整理得$4d^2-24d+27≥0$,令$y=4d^2-24d+27$,当y=0时,$4d^2-24d+27=0$,解得$d_1=\dfrac{3}{2}$,$d_2=\dfrac{9}{2}$,
∴$4d^2-24d+27≥0$的解集为$0≤ d≤\dfrac{3}{2}$或$d≥\dfrac{9}{2}$.由题意得d＞3,综上所述,d的取值范围为$\dfrac{9}{2}≤ d≤\dfrac{11}{2}$.
(2)当h=0时,$-5t^2+7t+\dfrac{8}{5}=0$,解得$t_1=\dfrac{8}{5}$,$t_2=-\dfrac{1}{5}$(舍去),
∴丙的平均速度为$5÷\dfrac{8}{5}=\dfrac{25}{8}(\mathrm{m/s})$.
