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20.若二元一次方程$3x + 4y = 15$的解为非负整数，则满足条件的解有
2
组.答案
20.2
解析
【分析】
要找二元一次方程的非负整数解，首先明确非负整数指的是x、y都为大于等于0的整数。我们可以先将方程变形，用含一个未知数的式子表示另一个未知数，再根据非负的条件确定未知数的取值范围，最后逐一验证取值是否满足整数要求，统计符合条件的解的组数即可。
【解析】
解：二元一次方程的非负整数解需满足$x≥0$，$y≥0$，且$x$、$y$均为整数。
对$3x + 4y = 15$变形，得：
$4y=15-3x$，即$y=\frac{15-3x}{4}$
由$y≥0$可得：$\frac{15-3x}{4}≥0$，解得$x≤5$
结合$x$是非负整数，$x$的可能取值为0、1、2、3、4、5，逐一验证：
①当$x=0$时，$y=\frac{15}{4}=3.75$，不是整数，舍去；
②当$x=1$时，$y=\frac{15-3}{4}=3$，是非负整数，符合条件；
③当$x=2$时，$y=\frac{15-6}{4}=2.25$，不是整数，舍去；
④当$x=3$时，$y=\frac{15-9}{4}=1.5$，不是整数，舍去；
⑤当$x=4$时，$y=\frac{15-12}{4}=0.75$，不是整数，舍去；
⑥当$x=5$时，$y=\frac{15-15}{4}=0$，是非负整数，符合条件。
综上，满足条件的解共有2组。
【答案】
2
【知识点】
二元一次方程的解，非负整数定义，不等式简单应用
【点评】
本题考查二元一次方程整数解的求解，解题关键是先通过非负条件缩小未知数的取值范围，再通过分类讨论逐一验证，避免遗漏边界情况（如其中一个未知数为0的解）。
【难度系数】
0.7
要找二元一次方程的非负整数解，首先明确非负整数指的是x、y都为大于等于0的整数。我们可以先将方程变形，用含一个未知数的式子表示另一个未知数，再根据非负的条件确定未知数的取值范围，最后逐一验证取值是否满足整数要求，统计符合条件的解的组数即可。
【解析】
解：二元一次方程的非负整数解需满足$x≥0$，$y≥0$，且$x$、$y$均为整数。
对$3x + 4y = 15$变形，得：
$4y=15-3x$，即$y=\frac{15-3x}{4}$
由$y≥0$可得：$\frac{15-3x}{4}≥0$，解得$x≤5$
结合$x$是非负整数，$x$的可能取值为0、1、2、3、4、5，逐一验证：
①当$x=0$时，$y=\frac{15}{4}=3.75$，不是整数，舍去；
②当$x=1$时，$y=\frac{15-3}{4}=3$，是非负整数，符合条件；
③当$x=2$时，$y=\frac{15-6}{4}=2.25$，不是整数，舍去；
④当$x=3$时，$y=\frac{15-9}{4}=1.5$，不是整数，舍去；
⑤当$x=4$时，$y=\frac{15-12}{4}=0.75$，不是整数，舍去；
⑥当$x=5$时，$y=\frac{15-15}{4}=0$，是非负整数，符合条件。
综上，满足条件的解共有2组。
【答案】
2
【知识点】
二元一次方程的解，非负整数定义，不等式简单应用
【点评】
本题考查二元一次方程整数解的求解，解题关键是先通过非负条件缩小未知数的取值范围，再通过分类讨论逐一验证，避免遗漏边界情况（如其中一个未知数为0的解）。
【难度系数】
0.7
21. 已知$\begin{cases} x=1, \\ y=-1 \end{cases}$是关于$x$，$y$的二元一次方程$x - ay = 4$的一组解，$b + 2$的算术平方根为3，求$ab + 4$的平方根。
答案
$\because \begin{cases} x=1, \\ y=-1 \end{cases}$是关于x，y的二元一次方程$x-ay=4$的一组解，
$\therefore 1-a×(-1)=4$，$\therefore a=3$。
$\because b+2$的算术平方根为3，
$\therefore b+2=9$，$\therefore b=7$。
$\therefore ab+4=3×7+4=25$，
$\therefore ab+4$的平方根为$\pm\sqrt{25}=\pm5$。
$\therefore 1-a×(-1)=4$，$\therefore a=3$。
$\because b+2$的算术平方根为3，
$\therefore b+2=9$，$\therefore b=7$。
$\therefore ab+4=3×7+4=25$，
$\therefore ab+4$的平方根为$\pm\sqrt{25}=\pm5$。
解析
【分析】
解题时首先利用二元一次方程解的定义，将已知的x、y的值代入方程，即可求出a的值；再根据算术平方根的定义，算术平方根的平方等于被开方数，据此求出b的值；然后将a、b代入ab+4计算出结果，最后根据平方根的定义，正数的平方根有两个且互为相反数，求出最终结果即可，注意不要遗漏负的平方根。
【解析】
$\because \begin{cases} x=1, \\ y=-1 \end{cases}$是关于x，y的二元一次方程$x-ay=4$的一组解，
$\therefore$ 代入得$1-a×(-1)=4$，解得$a=3$。
$\because b+2$的算术平方根为3，
$\therefore b+2=3^2=9$，解得$b=7$。
$\therefore ab+4=3×7+4=25$，
$\because$ 25的平方根为$\pm\sqrt{25}=\pm5$，
$\therefore ab+4$的平方根为$\pm5$。
【答案】
$\pm5$
【知识点】
二元一次方程的解；算术平方根的定义；平方根的计算
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题的核心是准确理解相关定义，需注意区分算术平方根和平方根，正数的平方根有两个，二者互为相反数，求解时不要漏写负根。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用二元一次方程解的定义，将已知的x、y的值代入方程，即可求出a的值；再根据算术平方根的定义，算术平方根的平方等于被开方数，据此求出b的值；然后将a、b代入ab+4计算出结果，最后根据平方根的定义，正数的平方根有两个且互为相反数，求出最终结果即可，注意不要遗漏负的平方根。
【解析】
$\because \begin{cases} x=1, \\ y=-1 \end{cases}$是关于x，y的二元一次方程$x-ay=4$的一组解，
$\therefore$ 代入得$1-a×(-1)=4$，解得$a=3$。
$\because b+2$的算术平方根为3，
$\therefore b+2=3^2=9$，解得$b=7$。
$\therefore ab+4=3×7+4=25$，
$\because$ 25的平方根为$\pm\sqrt{25}=\pm5$，
$\therefore ab+4$的平方根为$\pm5$。
【答案】
$\pm5$
【知识点】
二元一次方程的解；算术平方根的定义；平方根的计算
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题的核心是准确理解相关定义，需注意区分算术平方根和平方根，正数的平方根有两个，二者互为相反数，求解时不要漏写负根。
【难度系数】
0.7
22. 有这样一道题:判断$\begin{cases} x=3, \\ y=1 \end{cases}$是不是二元一次方程组$\begin{cases} x+2y=5, \\ 2x+3y=5 \end{cases}$的解.小恒的解答过程:将$\begin{cases} x=3, \\ y=1 \end{cases}$代入方程$x+2y=5$中,等式成立,所以$\begin{cases} x=3, \\ y=1 \end{cases}$是该方程组的解.小恒的解答过程是否正确?若不正确,请说明理由.
答案
小恒的解答过程不正确。理由如下：
将$\begin{cases} x=3, \\ y=1 \end{cases}$代入方程$x+2y=5$中，
左边$=x+2y=5$，右边$=5$，左边$=$右边；将$\begin{cases} x=3, \\ y=1 \end{cases}$代入方程$2x+3y=5$中，左边$=2x+3y=9$，右边$=5$，左边$≠$右边。
$\therefore \begin{cases} x=3, \\ y=1 \end{cases}$不是该方程组的解。
将$\begin{cases} x=3, \\ y=1 \end{cases}$代入方程$x+2y=5$中，
左边$=x+2y=5$，右边$=5$，左边$=$右边；将$\begin{cases} x=3, \\ y=1 \end{cases}$代入方程$2x+3y=5$中，左边$=2x+3y=9$，右边$=5$，左边$≠$右边。
$\therefore \begin{cases} x=3, \\ y=1 \end{cases}$不是该方程组的解。
解析
【分析】
要判断一组数值是不是二元一次方程组的解，首先要明确二元一次方程组解的定义：能同时满足方程组中所有方程的未知数的值，才是方程组的解。所以检验时必须把这组数值代入方程组的每一个方程逐一验证，只有所有方程都成立，才能判定是方程组的解。小恒仅代入第一个方程验证，没有验证第二个方程，不符合检验要求，我们需要按正确步骤将数值代入两个方程分别验证。
【解析】
解：小恒的解答过程不正确，理由如下：
将$\begin{cases} x=3, \\ y=1 \end{cases}$代入方程$x+2y=5$中，左边$=x+2y=3+2×1=5$，右边$=5$，左边$=$右边，该组值满足第一个方程；
再将$\begin{cases} x=3, \\ y=1 \end{cases}$代入方程$2x+3y=5$中，左边$=2x+3y=2×3+3×1=9$，右边$=5$，左边$≠$右边，该组值不满足第二个方程。
因此$\begin{cases} x=3, \\ y=1 \end{cases}$不是该方程组的解。
【答案】
小恒的解答过程不正确。理由如下：将$\begin{cases} x=3, \\ y=1 \end{cases}$代入方程$x+2y=5$中，左边$=x+2y=5$，右边$=5$，左边$=$右边；将$\begin{cases} x=3, \\ y=1 \end{cases}$代入方程$2x+3y=5$中，左边$=2x+3y=9$，右边$=5$，左边$≠$右边。$\therefore \begin{cases} x=3, \\ y=1 \end{cases}$不是该方程组的解。
【知识点】
1.二元一次方程组的解的定义 2.方程解的检验
【点评】
本题重点考查对二元一次方程组解的概念的掌握，检验方程组的解时切勿只验证其中一个方程就下结论，需验证所有方程均成立才可判定为方程组的解。
【难度系数】
0.8
要判断一组数值是不是二元一次方程组的解，首先要明确二元一次方程组解的定义：能同时满足方程组中所有方程的未知数的值，才是方程组的解。所以检验时必须把这组数值代入方程组的每一个方程逐一验证，只有所有方程都成立，才能判定是方程组的解。小恒仅代入第一个方程验证，没有验证第二个方程，不符合检验要求，我们需要按正确步骤将数值代入两个方程分别验证。
【解析】
解：小恒的解答过程不正确，理由如下：
将$\begin{cases} x=3, \\ y=1 \end{cases}$代入方程$x+2y=5$中，左边$=x+2y=3+2×1=5$，右边$=5$，左边$=$右边，该组值满足第一个方程；
再将$\begin{cases} x=3, \\ y=1 \end{cases}$代入方程$2x+3y=5$中，左边$=2x+3y=2×3+3×1=9$，右边$=5$，左边$≠$右边，该组值不满足第二个方程。
因此$\begin{cases} x=3, \\ y=1 \end{cases}$不是该方程组的解。
【答案】
小恒的解答过程不正确。理由如下：将$\begin{cases} x=3, \\ y=1 \end{cases}$代入方程$x+2y=5$中，左边$=x+2y=5$，右边$=5$，左边$=$右边；将$\begin{cases} x=3, \\ y=1 \end{cases}$代入方程$2x+3y=5$中，左边$=2x+3y=9$，右边$=5$，左边$≠$右边。$\therefore \begin{cases} x=3, \\ y=1 \end{cases}$不是该方程组的解。
【知识点】
1.二元一次方程组的解的定义 2.方程解的检验
【点评】
本题重点考查对二元一次方程组解的概念的掌握，检验方程组的解时切勿只验证其中一个方程就下结论，需验证所有方程均成立才可判定为方程组的解。
【难度系数】
0.8
