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8.某广州特产商场销售A,B,C,D四种商品，它们的单价依次是50元、30元、20元、10元。某天这四种商品销售数量的百分比如所示，则这天销售的四种商品的平均单价是 （
A.19.5元
B.21.5元
C.22.5元
D.27.5元
C
）A.19.5元
B.21.5元
C.22.5元
D.27.5元
答案
8.C
解析
【分析】
本题要求四种商品的平均单价，由于不同商品的销售数量占比不同，不能直接计算四种商品单价的算术平均数，需使用加权平均数的计算方法：用每种商品的单价乘以其对应销售数量的百分比，再将所有结果相加，即可得到平均单价。
【解析】
根据加权平均数的计算规则，平均单价为各商品单价乘以其销售占比的和：
$\begin{aligned}&50×10\% + 30×15\% + 20×55\% + 10×20\%\\=&5 + 4.5 + 11 + 2\\=&22.5(\mathrm{元})\end{aligned}$
【答案】
C
【知识点】
加权平均数计算，扇形统计图的应用
【点评】
本题结合生活实际考查加权平均数的应用，解题关键是区分加权平均数和算术平均数的适用场景，正确提取扇形统计图中的占比信息代入计算即可。
【难度系数】
0.8
本题要求四种商品的平均单价，由于不同商品的销售数量占比不同，不能直接计算四种商品单价的算术平均数，需使用加权平均数的计算方法：用每种商品的单价乘以其对应销售数量的百分比，再将所有结果相加，即可得到平均单价。
【解析】
根据加权平均数的计算规则，平均单价为各商品单价乘以其销售占比的和：
$\begin{aligned}&50×10\% + 30×15\% + 20×55\% + 10×20\%\\=&5 + 4.5 + 11 + 2\\=&22.5(\mathrm{元})\end{aligned}$
【答案】
C
【知识点】
加权平均数计算，扇形统计图的应用
【点评】
本题结合生活实际考查加权平均数的应用，解题关键是区分加权平均数和算术平均数的适用场景，正确提取扇形统计图中的占比信息代入计算即可。
【难度系数】
0.8
9. 若代数式$\dfrac{3}{x-1}$与$\dfrac{2}{x-3}$的值相等，则$x$的值为
7
.答案
9.7
解析
【分析】
要解决本题，首先根据两个代数式值相等的条件列出分式方程，再按照分式方程的求解步骤计算：第一步先去分母，将分式方程转化为熟悉的一元一次方程；第二步解一元一次方程得到x的初步解；第三步检验所得的解是否使原分式的分母不为0，排除增根，最终得到正确结果。
【解析】
根据题意可列方程：
$\dfrac{3}{x-1}=\dfrac{2}{x-3}$
由分式有意义的条件得$x≠1$且$x≠3$，
方程两边同时乘以最简公分母$(x-1)(x-3)$去分母，得：
$3(x-3)=2(x-1)$
展开括号：
$3x-9=2x-2$
移项、合并同类项：
$3x-2x=-2+9$
解得$x=7$
检验：将$x=7$代入$(x-1)(x-3)$，得$(7-1)×(7-3)=24≠0$，因此$x=7$是原方程的解。
【答案】
7
【知识点】
分式方程的解法，一元一次方程的解法，分式方程验根
【点评】
本题是分式方程求解的基础题型，解题核心是将分式方程转化为整式方程求解，需要注意的是解分式方程必须验根，避免出现增根导致结果错误。
【难度系数】
0.8
要解决本题，首先根据两个代数式值相等的条件列出分式方程，再按照分式方程的求解步骤计算：第一步先去分母，将分式方程转化为熟悉的一元一次方程；第二步解一元一次方程得到x的初步解；第三步检验所得的解是否使原分式的分母不为0，排除增根，最终得到正确结果。
【解析】
根据题意可列方程：
$\dfrac{3}{x-1}=\dfrac{2}{x-3}$
由分式有意义的条件得$x≠1$且$x≠3$，
方程两边同时乘以最简公分母$(x-1)(x-3)$去分母，得：
$3(x-3)=2(x-1)$
展开括号：
$3x-9=2x-2$
移项、合并同类项：
$3x-2x=-2+9$
解得$x=7$
检验：将$x=7$代入$(x-1)(x-3)$，得$(7-1)×(7-3)=24≠0$，因此$x=7$是原方程的解。
【答案】
7
【知识点】
分式方程的解法，一元一次方程的解法，分式方程验根
【点评】
本题是分式方程求解的基础题型，解题核心是将分式方程转化为整式方程求解，需要注意的是解分式方程必须验根，避免出现增根导致结果错误。
【难度系数】
0.8
10.已知$ab=2,a+b=3$,则$a^3b+2a^2b^2+ab^3=$
18
.答案
10.18
解析
【分析】
解题时先观察所求代数式的结构特征，发现每一项都含有公因式$ab$，因此第一步先提取公因式$ab$，提取后剩余的多项式为$a^2+2ab+b^2$，恰好符合完全平方和公式的形式，可转化为$(a+b)^2$，此时所求代数式即可转化为含已知条件的式子，直接代入$ab=2$、$a+b=3$的数值计算即可，无需单独求解$a$、$b$的具体值，简化运算过程。
【解析】
对所求代数式先因式分解：
$\begin{aligned}a^3b + 2a^2b^2 + ab^3&=ab(a^2 + 2ab + b^2)\\&=ab(a+b)^2\end{aligned}$
将$ab=2$，$a+b=3$代入上式得：
原式$=2×3^2=2×9=18$
【答案】
18
【知识点】
提公因式法因式分解；完全平方公式；代数式求值
【点评】
本题考查因式分解在代数式求值中的应用，核心是通过因式分解将所求式子转化为含已知条件的形式，利用整体代入思想求解，避免了单独求$a$、$b$值的复杂运算，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键。
【难度系数】
0.8
解题时先观察所求代数式的结构特征，发现每一项都含有公因式$ab$，因此第一步先提取公因式$ab$，提取后剩余的多项式为$a^2+2ab+b^2$，恰好符合完全平方和公式的形式，可转化为$(a+b)^2$，此时所求代数式即可转化为含已知条件的式子，直接代入$ab=2$、$a+b=3$的数值计算即可，无需单独求解$a$、$b$的具体值，简化运算过程。
【解析】
对所求代数式先因式分解：
$\begin{aligned}a^3b + 2a^2b^2 + ab^3&=ab(a^2 + 2ab + b^2)\\&=ab(a+b)^2\end{aligned}$
将$ab=2$，$a+b=3$代入上式得：
原式$=2×3^2=2×9=18$
【答案】
18
【知识点】
提公因式法因式分解；完全平方公式；代数式求值
【点评】
本题考查因式分解在代数式求值中的应用，核心是通过因式分解将所求式子转化为含已知条件的形式，利用整体代入思想求解，避免了单独求$a$、$b$值的复杂运算，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键。
【难度系数】
0.8
11.若关于$x$的分式方程$\frac{x+m}{x-2}+\frac{2m}{2-x}=3$的解为正实数，则实数$m$的取值范围是________.
答案
11.$m＜6$且$m≠2$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要将分式方程转化为整式方程求解，得到用含m的代数式表示的x；再根据“解为正实数”列出关于m的不等式求出初步范围；最后结合分式方程分母不为0的隐含条件，排除增根对应的m值，就能得到最终的取值范围。
【解析】
先整理原分式方程，注意$2-x=-(x-2)$，原方程可变形为：
$\frac{x+m}{x-2}-\frac{2m}{x-2}=3$
方程两边同时乘以最简公分母$(x-2)$（此时需注意$x≠2$，否则分式无意义），去分母得：
$x+m-2m=3(x-2)$
整理等式：
$x-m=3x-6$
移项合并同类项：
$-2x=m-6$
系数化为1得：
$x=\frac{6-m}{2}$
因为方程的解为正实数，所以$x＞0$，即：
$\frac{6-m}{2}＞0$
解得：$m＜6$
又因为分母不能为0，即$x≠2$，所以：
$\frac{6-m}{2}≠2$
解得：$m≠2$
综上，实数m的取值范围是$m＜6$且$m≠2$。
【答案】
$m＜6$且$m≠2$
【知识点】
分式方程的解，解一元一次不等式，分式有意义的条件
【点评】
本题是分式方程解的应用类基础题，解题的关键是牢记分式方程存在隐含限制：分母不能为0，很多同学容易忽略该条件漏掉$m≠2$的限制导致错解。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先需要将分式方程转化为整式方程求解，得到用含m的代数式表示的x；再根据“解为正实数”列出关于m的不等式求出初步范围；最后结合分式方程分母不为0的隐含条件，排除增根对应的m值，就能得到最终的取值范围。
【解析】
先整理原分式方程，注意$2-x=-(x-2)$，原方程可变形为：
$\frac{x+m}{x-2}-\frac{2m}{x-2}=3$
方程两边同时乘以最简公分母$(x-2)$（此时需注意$x≠2$，否则分式无意义），去分母得：
$x+m-2m=3(x-2)$
整理等式：
$x-m=3x-6$
移项合并同类项：
$-2x=m-6$
系数化为1得：
$x=\frac{6-m}{2}$
因为方程的解为正实数，所以$x＞0$，即：
$\frac{6-m}{2}＞0$
解得：$m＜6$
又因为分母不能为0，即$x≠2$，所以：
$\frac{6-m}{2}≠2$
解得：$m≠2$
综上，实数m的取值范围是$m＜6$且$m≠2$。
【答案】
$m＜6$且$m≠2$
【知识点】
分式方程的解，解一元一次不等式，分式有意义的条件
【点评】
本题是分式方程解的应用类基础题，解题的关键是牢记分式方程存在隐含限制：分母不能为0，很多同学容易忽略该条件漏掉$m≠2$的限制导致错解。
【难度系数】
0.7
12. 如图，A，B两地相距20 km，甲、乙两人都从A地去B地，图中$l_1$和$l_2$分别表示甲、乙两人所走的路程$s$(单位：千米)与时间$t$(单位：h)之间的关系，有下列说法：
①乙晚出发1 h；
②乙出发3 h后追上甲；
③甲的速度是4 km/h；
④乙先到达B地.
其中正确的是
①乙晚出发1 h；
②乙出发3 h后追上甲；
③甲的速度是4 km/h；
④乙先到达B地.
其中正确的是
①③④
(填序号).答案
12.①③④
解析
【分析】
解决这道行程类图像题，首先要明确s-t图像的横、纵坐标含义：横坐标t是从甲出发开始计时的时间，纵坐标s是两人行走的路程，$l_1$代表甲的行程，$l_2$代表乙的行程。接下来我们逐一验证4个说法：首先看两人的出发时间判断①；再看交点对应的时间，计算乙出发后到追上甲的时长判断②；根据“速度=路程÷时间”计算甲的速度判断③；最后计算两人走完全程的总时间，比较谁先到达判断④。
【解析】
1. 验证说法①：观察图像可知，甲在$t=0$时就出发，乙在$t=1\mathrm{h}$时才开始行走，因此乙晚出发1h，①正确；
2. 验证说法②：两条线的交点对应$t=3\mathrm{h}$，此时乙已经行驶的时长为$3-1=2\mathrm{h}$，即乙出发2h后追上甲，②错误；
3. 验证说法③：甲3h行驶的路程为12km，因此甲的速度为$\frac{12\mathrm{km}}{3\mathrm{h}}=4\mathrm{km/h}$，③正确；
4. 验证说法④：先计算乙的速度：乙2h行驶了12km，因此乙的速度为$\frac{12\mathrm{km}}{3\mathrm{h}-1\mathrm{h}}=6\mathrm{km/h}$。
甲走完全程20km需要的总时间：$\frac{20\mathrm{km}}{4\mathrm{km/h}}=5\mathrm{h}$；
乙走完全程需要的行驶时间为$\frac{20\mathrm{km}}{6\mathrm{km/h}}=\frac{10}{3}\mathrm{h}$，加上晚出发的1h，乙到达B地的总计时时间为$1\mathrm{h}+\frac{10}{3}\mathrm{h}=\frac{13}{3}\mathrm{h}\approx4.33\mathrm{h}＜5\mathrm{h}$，因此乙先到达B地，④正确。
综上，正确的说法是①③④。
【答案】
①③④
【知识点】
s-t图像分析，行程问题计算，速度公式应用
【点评】
本题侧重考查从函数图像提取有效信息的能力，结合行程问题的基本数量关系即可求解，易错点是计算乙的行驶时长时，容易忽略乙晚出发1h的条件，误判说法②和④。
【难度系数】
0.7
解决这道行程类图像题，首先要明确s-t图像的横、纵坐标含义：横坐标t是从甲出发开始计时的时间，纵坐标s是两人行走的路程，$l_1$代表甲的行程，$l_2$代表乙的行程。接下来我们逐一验证4个说法：首先看两人的出发时间判断①；再看交点对应的时间，计算乙出发后到追上甲的时长判断②；根据“速度=路程÷时间”计算甲的速度判断③；最后计算两人走完全程的总时间，比较谁先到达判断④。
【解析】
1. 验证说法①：观察图像可知，甲在$t=0$时就出发，乙在$t=1\mathrm{h}$时才开始行走，因此乙晚出发1h，①正确；
2. 验证说法②：两条线的交点对应$t=3\mathrm{h}$，此时乙已经行驶的时长为$3-1=2\mathrm{h}$，即乙出发2h后追上甲，②错误；
3. 验证说法③：甲3h行驶的路程为12km，因此甲的速度为$\frac{12\mathrm{km}}{3\mathrm{h}}=4\mathrm{km/h}$，③正确；
4. 验证说法④：先计算乙的速度：乙2h行驶了12km，因此乙的速度为$\frac{12\mathrm{km}}{3\mathrm{h}-1\mathrm{h}}=6\mathrm{km/h}$。
甲走完全程20km需要的总时间：$\frac{20\mathrm{km}}{4\mathrm{km/h}}=5\mathrm{h}$；
乙走完全程需要的行驶时间为$\frac{20\mathrm{km}}{6\mathrm{km/h}}=\frac{10}{3}\mathrm{h}$，加上晚出发的1h，乙到达B地的总计时时间为$1\mathrm{h}+\frac{10}{3}\mathrm{h}=\frac{13}{3}\mathrm{h}\approx4.33\mathrm{h}＜5\mathrm{h}$，因此乙先到达B地，④正确。
综上，正确的说法是①③④。
【答案】
①③④
【知识点】
s-t图像分析，行程问题计算，速度公式应用
【点评】
本题侧重考查从函数图像提取有效信息的能力，结合行程问题的基本数量关系即可求解，易错点是计算乙的行驶时长时，容易忽略乙晚出发1h的条件，误判说法②和④。
【难度系数】
0.7
13. 如图，$□ ABCD$的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC上，且$AE=CF$。
(1)求证：$BE // DF$；
(2)过点O作$OM ⊥ BD$，垂足为O，交DF于点M，连接BM，若$△ BFM$的周长为12，求四边形BEDF的周长。
(1)求证：$BE // DF$；
(2)过点O作$OM ⊥ BD$，垂足为O，交DF于点M，连接BM，若$△ BFM$的周长为12，求四边形BEDF的周长。
答案
13.(1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//DC,AB=DC.
∴∠BAE=∠DCF.
在△ABE和△CDF中，
$\begin{cases} AB=CD, \\ ∠ BAE=∠ DCF, \\ AE=CF, \end{cases}$
∴△ABE≌△CDF(SAS).
∴∠AEB=∠CFD.
∴∠BEF=∠DFE.
∴BE//DF.
(2)解:四边形BEDF的周长为24.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//DC,AB=DC.
∴∠BAE=∠DCF.
在△ABE和△CDF中，
$\begin{cases} AB=CD, \\ ∠ BAE=∠ DCF, \\ AE=CF, \end{cases}$
∴△ABE≌△CDF(SAS).
∴∠AEB=∠CFD.
∴∠BEF=∠DFE.
∴BE//DF.
(2)解:四边形BEDF的周长为24.
解析
【分析】
(1) 要证BE//DF，可通过证明内错角相等实现。首先利用平行四边形对边平行且相等的性质，得到AB=CD、∠BAE=∠DCF，结合已知AE=CF，证明△ABE≌△CDF，进而得到对应角相等，推导出内错角相等，即可证平行。
(2) 先利用平行四边形对角线互相平分的性质，结合AE=CF证得OE=OF，判断四边形BEDF是平行四边形；再根据OM垂直平分BD，得到BM=DM，将△BFM的周长转化为BF+DF的长度，最后利用平行四边形对边相等的性质，即可求出其周长。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//DC，AB=DC，
∴ ∠BAE=∠DCF。
在△ABE和△CDF中，
$\begin{cases} AB=CD, \\ ∠BAE=∠DCF, \\ AE=CF, \end{cases}$
∴ △ABE≌△CDF（SAS），
∴ ∠AEB=∠CFD，
∴ ∠BEF=∠DFE，
∴ BE//DF。
(2) 解：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ OA=OC，OB=OD，
∵ AE=CF，
∴ OA - AE = OC - CF，即OE=OF，
又
∵ OB=OD，
∴ 四边形BEDF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），
∴ DE=BF，DF=BE。
∵ OM⊥BD，O是BD中点，
∴ OM是线段BD的垂直平分线，
∴ BM=DM。
∵ △BFM的周长为12，即BF + FM + BM = 12，
将BM替换为DM得：BF + FM + DM = BF + DF = 12，
∴ 四边形BEDF的周长 = 2(BF + DF) = 2×12 = 24。
【答案】
(1) 证明见上述过程；
(2) $\boldsymbol{24}$
【知识点】
平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质
【点评】
本题是平行四边形相关的常规综合题，核心是灵活运用全等三角形、平行四边形、垂直平分线的性质，难点在于第二问利用垂直平分线的性质对三角形周长进行转化，解题时要注意逻辑推导的连贯性，每一步结论都要有对应的定理支撑。
【难度系数】
0.7
(1) 要证BE//DF，可通过证明内错角相等实现。首先利用平行四边形对边平行且相等的性质，得到AB=CD、∠BAE=∠DCF，结合已知AE=CF，证明△ABE≌△CDF，进而得到对应角相等，推导出内错角相等，即可证平行。
(2) 先利用平行四边形对角线互相平分的性质，结合AE=CF证得OE=OF，判断四边形BEDF是平行四边形；再根据OM垂直平分BD，得到BM=DM，将△BFM的周长转化为BF+DF的长度，最后利用平行四边形对边相等的性质，即可求出其周长。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//DC，AB=DC，
∴ ∠BAE=∠DCF。
在△ABE和△CDF中，
$\begin{cases} AB=CD, \\ ∠BAE=∠DCF, \\ AE=CF, \end{cases}$
∴ △ABE≌△CDF（SAS），
∴ ∠AEB=∠CFD，
∴ ∠BEF=∠DFE，
∴ BE//DF。
(2) 解：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ OA=OC，OB=OD，
∵ AE=CF，
∴ OA - AE = OC - CF，即OE=OF，
又
∵ OB=OD，
∴ 四边形BEDF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），
∴ DE=BF，DF=BE。
∵ OM⊥BD，O是BD中点，
∴ OM是线段BD的垂直平分线，
∴ BM=DM。
∵ △BFM的周长为12，即BF + FM + BM = 12，
将BM替换为DM得：BF + FM + DM = BF + DF = 12，
∴ 四边形BEDF的周长 = 2(BF + DF) = 2×12 = 24。
【答案】
(1) 证明见上述过程；
(2) $\boldsymbol{24}$
【知识点】
平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质
【点评】
本题是平行四边形相关的常规综合题，核心是灵活运用全等三角形、平行四边形、垂直平分线的性质，难点在于第二问利用垂直平分线的性质对三角形周长进行转化，解题时要注意逻辑推导的连贯性，每一步结论都要有对应的定理支撑。
【难度系数】
0.7
