14.广东某荔枝园采用A,B两种机器人来搬运荔枝,其中A型机器人每天搬运的质量是B型机器人的2倍,如果用两种机器人各搬运300 t荔枝,A型机器人比B型机器人少用3天完成.
(1)求A,B两种型号的机器人每天各搬运荔枝的吨数.
(2)现有536 t荔枝需要搬运,若A型机器人每天维护所需费用为150元,B型机器人每天维护所需费用为65元,那么在总费用不超过740元的情况下,至少安排B型机器人工作多少天?(注:天数为整数)

14.解:(1)A型机器人每天搬运100 t荔枝，B型机器人每天搬运50 t荔枝.
(2)至少安排B型机器人工作9天.

【分析】
(1) 第一问属于工程类分式方程应用，核心数量关系为工作时间=工作总量÷工作效率。已知A型机器人搬运效率是B型的2倍，可设B型每天搬运x吨，A型为2x吨，根据“搬运300t荔枝时A型比B型少用3天”的时间差列方程求解，注意分式方程求出解后要检验是否为原方程的根且符合实际意义。
(2) 第二问属于不等式的实际应用，需要同时满足两个约束条件：①两种机器人搬运总重量≥536t；②总维护费用≤740元。设B型工作m天，先根据约束条件列出不等式关系，求出m的取值范围，再结合天数为正整数的要求，验证得到最小的符合条件的m值。
【解析】
(1) 设B型机器人每天搬运荔枝x吨，则A型机器人每天搬运荔枝2x吨。
根据题意列方程：
$\frac{300}{x} - \frac{300}{2x} = 3$
化简得$\frac{150}{x}=3$，解得$x=50$。
检验：当$x=50$时，$2x=100≠0$，$x=50$是原分式方程的解，符合实际意义。
因此A型机器人每天搬运量为$2×50=100$（吨）。
(2) 设安排B型机器人工作m天（m为正整数），A型机器人工作a天（a为非负整数），根据题意列不等式组：
$\begin{cases} 100a + 50m ≥ 536 \quad \mathrm{①} \\ 150a + 65m ≤ 740 \quad \mathrm{②} \end{cases}$
由①得$a ≥ \frac{536 - 50m}{100}$，由②得$a ≤ \frac{740 - 65m}{150}$，因此：
$\frac{536 - 50m}{100} ≤ \frac{740 - 65m}{150}$
两边同乘300消分母得$3(536 - 50m) ≤ 2(740 - 65m)$，展开计算得$20m≥128$，解得$m≥6.4$。
因为m为正整数，依次验证：
m=7时，a需同时满足a≥2和a≤1.9，无解；
m=8时，a需同时满足a≥2和a≤1.47，无解；
m=9时，a=1即可同时满足两个不等式，符合要求。
因此m的最小整数值为9。
【答案】
(1) A型机器人每天搬运100 t荔枝，B型机器人每天搬运50 t荔枝。
(2) 至少安排B型机器人工作9天。
【知识点】
分式方程的应用、一元一次不等式组的应用
【点评】
本题是结合生活场景的数学应用题，既考查了分式方程的求解与验根，也考查了不等式在最值问题中的运用，解题时要注意实际问题中未知数的取值必须为整数，求出理论范围后要验证是否符合所有约束条件。
【难度系数】
0.65