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5. 如图所示，$l_1$，$l_2$分别表示一种白炽灯和一种节能灯的费用$y$（费用＝灯的售价＋电费，单位：元）与照明时间$x$（单位：h）的函数图象，假设两种灯的使用寿命都是2000 h，照明效果一样。
(1)根据图象分别求出$l_1$，$l_2$的函数表达式；
(2)小明房间计划照明2500 h，他买了一个白炽灯和一个节能灯，请你帮他设计最省钱的用灯方法。
(1)根据图象分别求出$l_1$，$l_2$的函数表达式；
(2)小明房间计划照明2500 h，他买了一个白炽灯和一个节能灯，请你帮他设计最省钱的用灯方法。
答案
(1)设$l_1$的表达式为$y_1=k_1x+b_1$，$l_2$的表达式为$y_2=k_2x+b_2$，由题图可知$l_1$过点$(0,2),(500,17)$，
所以$\begin{cases}2=b_1,\\17=500k_1+b_1,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k_1=0.03,\\b_1=2.\end{cases}$
所以$y_1=0.03x+2(0≤ x≤2\ 000)$.
由题图可知$l_2$过点$(0,20),(500,26)$，
同理可得$y_2=0.012x+20(0≤ x≤2\ 000)$.
(2)设白炽灯使用$x_1$ h，总费用为w元，则节能灯使用$(2\ 500-x_1)$ h，根据题意，得$w=0.03x_1+2+0.012(2\ 500-x_1)+20=0.018x_1+52(500≤ x_1≤2\ 000)$.
因为0.018＞0，所以w随$x_1$的增大而增大.
所以当$x_1=500$时，$w_{\mathrm{最小值}}=0.018×500+52=61$，$2\ 500-x_1=2\ 000$.
所以最省钱的用灯方法是白炽灯使用500 h，节能灯使用2 000 h.
所以$\begin{cases}2=b_1,\\17=500k_1+b_1,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k_1=0.03,\\b_1=2.\end{cases}$
所以$y_1=0.03x+2(0≤ x≤2\ 000)$.
由题图可知$l_2$过点$(0,20),(500,26)$，
同理可得$y_2=0.012x+20(0≤ x≤2\ 000)$.
(2)设白炽灯使用$x_1$ h，总费用为w元，则节能灯使用$(2\ 500-x_1)$ h，根据题意，得$w=0.03x_1+2+0.012(2\ 500-x_1)+20=0.018x_1+52(500≤ x_1≤2\ 000)$.
因为0.018＞0，所以w随$x_1$的增大而增大.
所以当$x_1=500$时，$w_{\mathrm{最小值}}=0.018×500+52=61$，$2\ 500-x_1=2\ 000$.
所以最省钱的用灯方法是白炽灯使用500 h，节能灯使用2 000 h.
解析
【分析】
(1)求一次函数表达式可使用待定系数法，先设出一次函数的一般形式$y=kx+b$，再从图象中找到直线经过的两个已知点的坐标，代入解析式得到关于$k$、$b$的方程组，解方程组求出$k$、$b$的值即可，同时要结合灯的使用寿命确定自变量$x$的取值范围。
(2)要设计最省钱的用灯方案，可先设其中一种灯的使用时长，用总照明时长减去该时长得到另一种灯的使用时长，再结合两种灯的费用表达式列出总费用关于使用时长的函数关系式，根据一次函数的增减性，结合自变量的取值范围即可求出总费用最低时对应的用灯方案。
【解析】
(1)设$l_1$对应的函数表达式为$y_1=k_1x+b_1$，$l_2$对应的函数表达式为$y_2=k_2x+b_2$。
由图象可知$l_1$经过点$(0,2)$和$(500,17)$，将两点坐标代入$y_1=k_1x+b_1$得：
$\begin{cases}2=b_1\\17=500k_1+b_1\end{cases}$
将$b_1=2$代入第二个方程，解得$k_1=0.03$，结合灯的使用寿命，自变量取值范围为$0≤ x≤2000$，因此$y_1=0.03x+2(0≤ x≤2000)$。
由图象可知$l_2$经过点$(0,20)$和$(500,26)$，将两点坐标代入$y_2=k_2x+b_2$得：
$\begin{cases}20=b_2\\26=500k_2+b_2\end{cases}$
将$b_2=20$代入第二个方程，解得$k_2=0.012$，结合灯的使用寿命，自变量取值范围为$0≤ x≤2000$，因此$y_2=0.012x+20(0≤ x≤2000)$。
(2)设白炽灯使用时长为$x_1$ h，因为总照明时长为2500h，所以节能灯使用时长为$(2500-x_1)$ h。
结合两种灯的使用寿命可知，两种灯的使用时长都不能超过2000h，因此$x_1≤2000$，且$2500-x_1≤2000$，解得$500≤ x_1≤2000$。
总费用$w$为两种灯的费用之和，即：
$\begin{aligned}w&=0.03x_1+2+0.012(2500-x_1)+20\\&=0.03x_1+2+30-0.012x_1+20\\&=0.018x_1+52\end{aligned}$
因为$0.018＞0$，所以$w$随$x_1$的增大而增大，因此当$x_1$取最小值时，总费用$w$最低。
当$x_1=500$时，$w_{\mathrm{最小}}=0.018×500+52=61$，此时节能灯使用时长为$2500-500=2000$h，刚好达到节能灯的使用寿命，符合要求。
【答案】
(1)$l_1$：$y_1=0.03x+2(0≤ x≤2000)$；$l_2$：$y_2=0.012x+20(0≤ x≤2000)$
(2)最省钱的用灯方法是白炽灯使用500h，节能灯使用2000h。
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质；一次函数方案应用
【点评】
本题结合生活实际考查一次函数的应用，既需要掌握用待定系数法求一次函数解析式的方法，也需要结合实际场景确定自变量的取值范围，再利用一次函数的增减性求解最优化方案，实用性较强，能很好地锻炼数学知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.6
(1)求一次函数表达式可使用待定系数法，先设出一次函数的一般形式$y=kx+b$，再从图象中找到直线经过的两个已知点的坐标，代入解析式得到关于$k$、$b$的方程组，解方程组求出$k$、$b$的值即可，同时要结合灯的使用寿命确定自变量$x$的取值范围。
(2)要设计最省钱的用灯方案，可先设其中一种灯的使用时长，用总照明时长减去该时长得到另一种灯的使用时长，再结合两种灯的费用表达式列出总费用关于使用时长的函数关系式，根据一次函数的增减性，结合自变量的取值范围即可求出总费用最低时对应的用灯方案。
【解析】
(1)设$l_1$对应的函数表达式为$y_1=k_1x+b_1$，$l_2$对应的函数表达式为$y_2=k_2x+b_2$。
由图象可知$l_1$经过点$(0,2)$和$(500,17)$，将两点坐标代入$y_1=k_1x+b_1$得：
$\begin{cases}2=b_1\\17=500k_1+b_1\end{cases}$
将$b_1=2$代入第二个方程，解得$k_1=0.03$，结合灯的使用寿命，自变量取值范围为$0≤ x≤2000$，因此$y_1=0.03x+2(0≤ x≤2000)$。
由图象可知$l_2$经过点$(0,20)$和$(500,26)$，将两点坐标代入$y_2=k_2x+b_2$得：
$\begin{cases}20=b_2\\26=500k_2+b_2\end{cases}$
将$b_2=20$代入第二个方程，解得$k_2=0.012$，结合灯的使用寿命，自变量取值范围为$0≤ x≤2000$，因此$y_2=0.012x+20(0≤ x≤2000)$。
(2)设白炽灯使用时长为$x_1$ h，因为总照明时长为2500h，所以节能灯使用时长为$(2500-x_1)$ h。
结合两种灯的使用寿命可知，两种灯的使用时长都不能超过2000h，因此$x_1≤2000$，且$2500-x_1≤2000$，解得$500≤ x_1≤2000$。
总费用$w$为两种灯的费用之和，即：
$\begin{aligned}w&=0.03x_1+2+0.012(2500-x_1)+20\\&=0.03x_1+2+30-0.012x_1+20\\&=0.018x_1+52\end{aligned}$
因为$0.018＞0$，所以$w$随$x_1$的增大而增大，因此当$x_1$取最小值时，总费用$w$最低。
当$x_1=500$时，$w_{\mathrm{最小}}=0.018×500+52=61$，此时节能灯使用时长为$2500-500=2000$h，刚好达到节能灯的使用寿命，符合要求。
【答案】
(1)$l_1$：$y_1=0.03x+2(0≤ x≤2000)$；$l_2$：$y_2=0.012x+20(0≤ x≤2000)$
(2)最省钱的用灯方法是白炽灯使用500h，节能灯使用2000h。
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质；一次函数方案应用
【点评】
本题结合生活实际考查一次函数的应用，既需要掌握用待定系数法求一次函数解析式的方法，也需要结合实际场景确定自变量的取值范围，再利用一次函数的增减性求解最优化方案，实用性较强，能很好地锻炼数学知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.6
6. [2026温州期末]【材料一】某商贸公司经销甲、乙两个品种的葡萄，甲种葡萄进价为5元/斤：乙种葡萄的进货总金额y(单位：元)与乙种葡萄的进货量x(单位：斤)之间的关系如图所示，经过试销，在H市销售甲、乙两个品种葡萄的售价分别为7元/斤和14元/斤.
【材料二】在葡萄节开节当日，该商贸公司收购了甲、乙两个品种的葡萄共2000斤，其中乙品种的进货量不低于400斤，且不高于1000斤.
【材料三】葡萄运到H市，商场发现顾客对甲、乙两个品种葡萄都很喜欢，于是决定把两种葡萄进行混合销售，并适当让利给消费者.
根据提供的材料完成任务.
【任务一】求图中直线MN的函数表达式.
【任务二】若从收购点运到商场的其他各种费用还需要200元，收购的葡萄能够全部卖完，设销售完甲、乙两个品种的葡萄所获总利润为w元(利润=销售额－成本).求出w(单位：元)与乙种葡萄的进货量x(单位：斤)之间的函数关系式，并为该商贸公司设计出获得最大总利润的收购方案.
【任务三】在任务二获得的最大总利润的基础上，商场把最大总利润的$\frac{1}{3}$让利给购买者，那么混合销售葡萄的销售价应定为多少？
【材料二】在葡萄节开节当日，该商贸公司收购了甲、乙两个品种的葡萄共2000斤，其中乙品种的进货量不低于400斤，且不高于1000斤.
【材料三】葡萄运到H市，商场发现顾客对甲、乙两个品种葡萄都很喜欢，于是决定把两种葡萄进行混合销售，并适当让利给消费者.
根据提供的材料完成任务.
【任务一】求图中直线MN的函数表达式.
【任务二】若从收购点运到商场的其他各种费用还需要200元，收购的葡萄能够全部卖完，设销售完甲、乙两个品种的葡萄所获总利润为w元(利润=销售额－成本).求出w(单位：元)与乙种葡萄的进货量x(单位：斤)之间的函数关系式，并为该商贸公司设计出获得最大总利润的收购方案.
【任务三】在任务二获得的最大总利润的基础上，商场把最大总利润的$\frac{1}{3}$让利给购买者，那么混合销售葡萄的销售价应定为多少？
答案
【任务一】设直线MN的函数表达式为$y=kx+b$，将$(50,600),(100,1\ 100)$的坐标代入，得
$\begin{cases}600=50k+b,\\1100=100k+b,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=10,\\b=100.\end{cases}$
所以直线MN的函数表达式为$y=10x+100$.
【任务二】由题意可得：乙种葡萄的进货量为$x(400≤ x≤1\ 000)$斤，甲种葡萄的进货量为$(2\ 000-x)$斤，
乙种葡萄的利润$=14x-(10x+100)=(4x-100)$元，
甲种葡萄的利润$=(7-5)×(2\ 000-x)=(4\ 000-2x)$元，
所以$w=(4x-100)+(4\ 000-2x)-200=2x+3\ 700$.
因为2＞0，$400≤ x≤1\ 000$，
所以$x=1\ 000$时，总利润最大，
此时$2\ 000-x=1\ 000$，
即乙种葡萄的进货量为1 000斤，甲种葡萄的进货量为1 000斤.
【任务三】当总利润最大时，甲、乙两种葡萄的进货量都为1 000斤，总成本$=1\ 000×5+(10×1\ 000+100)+200=15\ 300$(元)，
总利润$=2×1\ 000+3\ 700=5\ 700$(元)，
让利给购买者$\frac{1}{3}$后的总利润$=5\ 700×(1-\frac{1}{3})=3\ 800$(元)，
总销售额$=15\ 300+3\ 800=19\ 100$(元)，
销售价$=\frac{19\ 100}{2\ 000}=9.55$(元/斤).
所以混合销售葡萄的销售价应定为9.55元/斤.
$\begin{cases}600=50k+b,\\1100=100k+b,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=10,\\b=100.\end{cases}$
所以直线MN的函数表达式为$y=10x+100$.
【任务二】由题意可得：乙种葡萄的进货量为$x(400≤ x≤1\ 000)$斤，甲种葡萄的进货量为$(2\ 000-x)$斤，
乙种葡萄的利润$=14x-(10x+100)=(4x-100)$元，
甲种葡萄的利润$=(7-5)×(2\ 000-x)=(4\ 000-2x)$元，
所以$w=(4x-100)+(4\ 000-2x)-200=2x+3\ 700$.
因为2＞0，$400≤ x≤1\ 000$，
所以$x=1\ 000$时，总利润最大，
此时$2\ 000-x=1\ 000$，
即乙种葡萄的进货量为1 000斤，甲种葡萄的进货量为1 000斤.
【任务三】当总利润最大时，甲、乙两种葡萄的进货量都为1 000斤，总成本$=1\ 000×5+(10×1\ 000+100)+200=15\ 300$(元)，
总利润$=2×1\ 000+3\ 700=5\ 700$(元)，
让利给购买者$\frac{1}{3}$后的总利润$=5\ 700×(1-\frac{1}{3})=3\ 800$(元)，
总销售额$=15\ 300+3\ 800=19\ 100$(元)，
销售价$=\frac{19\ 100}{2\ 000}=9.55$(元/斤).
所以混合销售葡萄的销售价应定为9.55元/斤.
解析
【分析】
任务一：要确定一次函数的表达式，已知直线经过两个已知点，采用待定系数法，先设函数表达式为y=kx+b，再将两点坐标代入表达式得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组求出k、b的值，即可得到直线MN的函数表达式。
任务二：总利润为甲、乙两种葡萄的利润之和减去运输等其他费用。首先设乙种葡萄进货量为x斤，即可表示出甲种葡萄的进货量，再分别计算甲、乙两种葡萄的利润，结合x的取值范围，根据一次函数的增减性即可求出w的最大值，对应得到最优收购方案。
任务三：首先计算最大利润状态下的总成本，再算出让利后的剩余利润，总销售额等于总成本加剩余利润，最后用总销售额除以总进货重量，即可得到混合销售的单价。
【解析】
【任务一】设直线MN的函数表达式为$y=kx+b$，将$(50,600),(100,1100)$的坐标代入，得
$\begin{cases}600=50k+b\\1100=100k+b\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=10\\b=100\end{cases}$
所以直线MN的函数表达式为$y=10x+100$。
【任务二】由题意得：乙种葡萄的进货量为$x(400≤ x≤1000)$斤，甲种葡萄的进货量为$(2000-x)$斤。
乙种葡萄的利润为：$14x-(10x+100)=(4x-100)$元
甲种葡萄的利润为：$(7-5)×(2000-x)=(4000-2x)$元
总利润$w=(4x-100)+(4000-2x)-200=2x+3700$
因为$2＞0$，所以w随x的增大而增大，结合$400≤ x≤1000$，当$x=1000$时，总利润最大。
此时甲种葡萄的进货量为$2000-1000=1000$斤，即收购方案为：乙种葡萄进货1000斤，甲种葡萄进货1000斤。
【任务三】当总利润最大时，甲、乙两种葡萄的进货量均为1000斤。
总成本为：$1000×5+(10×1000+100)+200=15300$元
最大总利润为：$2×1000+3700=5700$元
让利$\frac{1}{3}$后的剩余利润为：$5700×(1-\frac{1}{3})=3800$元
总销售额为：$15300+3800=19100$元
混合销售单价为：$\frac{19100}{2000}=9.55$元/斤
【答案】
任务一：$y=10x+100$
任务二：$w=2x+3700（400≤x≤1000）$，获得最大总利润的收购方案为购进甲、乙两种葡萄各1000斤
任务三：9.55元/斤
【知识点】
待定系数法求解析式；一次函数实际应用；一次函数增减性
【点评】
本题结合实际经营场景考查一次函数的综合应用，设问梯度清晰，解题时需准确梳理成本、销售额、利润间的数量关系，关注自变量的取值范围和额外费用等细节，即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
任务一：要确定一次函数的表达式，已知直线经过两个已知点，采用待定系数法，先设函数表达式为y=kx+b，再将两点坐标代入表达式得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组求出k、b的值，即可得到直线MN的函数表达式。
任务二：总利润为甲、乙两种葡萄的利润之和减去运输等其他费用。首先设乙种葡萄进货量为x斤，即可表示出甲种葡萄的进货量，再分别计算甲、乙两种葡萄的利润，结合x的取值范围，根据一次函数的增减性即可求出w的最大值，对应得到最优收购方案。
任务三：首先计算最大利润状态下的总成本，再算出让利后的剩余利润，总销售额等于总成本加剩余利润，最后用总销售额除以总进货重量，即可得到混合销售的单价。
【解析】
【任务一】设直线MN的函数表达式为$y=kx+b$，将$(50,600),(100,1100)$的坐标代入，得
$\begin{cases}600=50k+b\\1100=100k+b\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=10\\b=100\end{cases}$
所以直线MN的函数表达式为$y=10x+100$。
【任务二】由题意得：乙种葡萄的进货量为$x(400≤ x≤1000)$斤，甲种葡萄的进货量为$(2000-x)$斤。
乙种葡萄的利润为：$14x-(10x+100)=(4x-100)$元
甲种葡萄的利润为：$(7-5)×(2000-x)=(4000-2x)$元
总利润$w=(4x-100)+(4000-2x)-200=2x+3700$
因为$2＞0$，所以w随x的增大而增大，结合$400≤ x≤1000$，当$x=1000$时，总利润最大。
此时甲种葡萄的进货量为$2000-1000=1000$斤，即收购方案为：乙种葡萄进货1000斤，甲种葡萄进货1000斤。
【任务三】当总利润最大时，甲、乙两种葡萄的进货量均为1000斤。
总成本为：$1000×5+(10×1000+100)+200=15300$元
最大总利润为：$2×1000+3700=5700$元
让利$\frac{1}{3}$后的剩余利润为：$5700×(1-\frac{1}{3})=3800$元
总销售额为：$15300+3800=19100$元
混合销售单价为：$\frac{19100}{2000}=9.55$元/斤
【答案】
任务一：$y=10x+100$
任务二：$w=2x+3700（400≤x≤1000）$，获得最大总利润的收购方案为购进甲、乙两种葡萄各1000斤
任务三：9.55元/斤
【知识点】
待定系数法求解析式；一次函数实际应用；一次函数增减性
【点评】
本题结合实际经营场景考查一次函数的综合应用，设问梯度清晰，解题时需准确梳理成本、销售额、利润间的数量关系，关注自变量的取值范围和额外费用等细节，即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
