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13 如图，四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，BC的延长线与AD的延长线交于点E，且$DC=DE$。
（1）求证：$∠ A=∠ AEB$。
（2）连接OE，交CD于点F，若$OE ⊥ CD$，求证：$△ ABE$是等边三角形。
（1）求证：$∠ A=∠ AEB$。
（2）连接OE，交CD于点F，若$OE ⊥ CD$，求证：$△ ABE$是等边三角形。
答案
13. (1) 因为四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形,所以$∠ A + ∠ BCD = 180°$。因为$∠ DCE + ∠ BCD = 180°$,所以$∠ A = ∠ DCE$。因为$DC=DE$,所以$∠ DCE = ∠ AEB$,所以$∠ A = ∠ AEB$。
(2) 因为$∠ A = ∠ AEB$,所以$△ ABE$是等腰三角形。因为$EO ⊥ CD$,所以$CF=DF$,所以EO是CD的垂直平分线,所以$ED=EC$。因为$DC=DE$,所以$DC=DE=EC$,所以$△ DCE$是等边三角形,所以$∠ AEB = 60°$,所以$△ ABE$是等边三角形。
(2) 因为$∠ A = ∠ AEB$,所以$△ ABE$是等腰三角形。因为$EO ⊥ CD$,所以$CF=DF$,所以EO是CD的垂直平分线,所以$ED=EC$。因为$DC=DE$,所以$DC=DE=EC$,所以$△ DCE$是等边三角形,所以$∠ AEB = 60°$,所以$△ ABE$是等边三角形。
解析
【分析】
（1）要证明∠A=∠AEB，可通过中间角等量代换推导：首先利用圆内接四边形对角互补的性质，结合邻补角的性质推出∠A=∠DCE；再结合已知DC=DE，利用等腰三角形等边对等角的性质得到∠DCE=∠AEB，通过等量代换即可得证。
（2）要证明△ABE是等边三角形，首先由（1）的结论可知△ABE是等腰三角形，只需证明其中一个内角为60°即可：已知OE⊥CD，可得EO是CD的垂直平分线，根据垂直平分线的性质得ED=EC，结合已知DC=DE可推出△DCE是等边三角形，得到∠AEB=60°，即可证明等腰△ABE是等边三角形。
【解析】
（1）证明：
∵四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，
∴$∠ A + ∠ BCD = 180°$，
∵$∠ DCE + ∠ BCD = 180°$，
∴$∠ A = ∠ DCE$，
∵$DC=DE$，
∴$∠ DCE = ∠ AEB$，
∴$∠ A = ∠ AEB$。
（2）证明：
∵$∠ A = ∠ AEB$，
∴$△ ABE$是等腰三角形，
∵$EO ⊥ CD$，
∴$CF=DF$，即EO是CD的垂直平分线，
∴$ED=EC$，
又
∵$DC=DE$，
∴$DC=DE=EC$，
∴$△ DCE$是等边三角形，
∴$∠ AEB = 60°$，
∴$△ ABE$是等边三角形。
【答案】
（1）$\boldsymbol{∠ A=∠ AEB}$，证明见解析；
（2）$\boldsymbol{△ ABE}$是等边三角形，证明见解析。
【知识点】
1. 圆内接四边形的性质
2. 等腰三角形的性质与判定
3. 等边三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，综合考查了圆与特殊三角形的相关知识点，解题时要灵活运用角的等量代换技巧，同时注意前后小问的关联，直接利用前一问的结论简化推导过程，理清各定理的适用条件即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
（1）要证明∠A=∠AEB，可通过中间角等量代换推导：首先利用圆内接四边形对角互补的性质，结合邻补角的性质推出∠A=∠DCE；再结合已知DC=DE，利用等腰三角形等边对等角的性质得到∠DCE=∠AEB，通过等量代换即可得证。
（2）要证明△ABE是等边三角形，首先由（1）的结论可知△ABE是等腰三角形，只需证明其中一个内角为60°即可：已知OE⊥CD，可得EO是CD的垂直平分线，根据垂直平分线的性质得ED=EC，结合已知DC=DE可推出△DCE是等边三角形，得到∠AEB=60°，即可证明等腰△ABE是等边三角形。
【解析】
（1）证明：
∵四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，
∴$∠ A + ∠ BCD = 180°$，
∵$∠ DCE + ∠ BCD = 180°$，
∴$∠ A = ∠ DCE$，
∵$DC=DE$，
∴$∠ DCE = ∠ AEB$，
∴$∠ A = ∠ AEB$。
（2）证明：
∵$∠ A = ∠ AEB$，
∴$△ ABE$是等腰三角形，
∵$EO ⊥ CD$，
∴$CF=DF$，即EO是CD的垂直平分线，
∴$ED=EC$，
又
∵$DC=DE$，
∴$DC=DE=EC$，
∴$△ DCE$是等边三角形，
∴$∠ AEB = 60°$，
∴$△ ABE$是等边三角形。
【答案】
（1）$\boldsymbol{∠ A=∠ AEB}$，证明见解析；
（2）$\boldsymbol{△ ABE}$是等边三角形，证明见解析。
【知识点】
1. 圆内接四边形的性质
2. 等腰三角形的性质与判定
3. 等边三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，综合考查了圆与特殊三角形的相关知识点，解题时要灵活运用角的等量代换技巧，同时注意前后小问的关联，直接利用前一问的结论简化推导过程，理清各定理的适用条件即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
14 如图，$\odot O$是正方形ABCD与正六边形AEFCGH的外接圆。
（1）求正方形ABCD与正六边形AEFCGH的边长之比。
（2）连接BE。BE是否为$\odot O$的内接正n边形的一边？如果是，求出n的值；如果不是，请说明理由。
（1）求正方形ABCD与正六边形AEFCGH的边长之比。
（2）连接BE。BE是否为$\odot O$的内接正n边形的一边？如果是，求出n的值；如果不是，请说明理由。
答案
14. (1) 设$\odot O$的半径为R,则它的内接正方形的边长为$\sqrt{2}R$,它的内接正六边形的边长为R,内接正方形和内接正六边形的边长比为$\sqrt{2}R:R=\sqrt{2}:1$。
(2) BE是$\odot O$的内接正十二边形的一边,理由:连接OA、OB、OE。在正方形ABCD中,$∠ AOB = 90°$。在正六边形AEFCGH中,$∠ AOE = 60°$,所以$∠ BOE = 30°$,所以$n=\frac{360°}{30°}=12$。
(2) BE是$\odot O$的内接正十二边形的一边,理由:连接OA、OB、OE。在正方形ABCD中,$∠ AOB = 90°$。在正六边形AEFCGH中,$∠ AOE = 60°$,所以$∠ BOE = 30°$,所以$n=\frac{360°}{30°}=12$。
解析
【分析】
（1）要求正方形和正六边形的边长之比，已知二者外接圆相同，可先设外接圆半径为R，分别根据圆内接正方形、正六边形的边长与外接圆半径的关系求出对应边长，再作比化简即可得到结果。
（2）判断BE是否为⊙O内接正n边形的一边，核心是求BE对应的中心角度数：正n边形的中心角为$\frac{360°}{n}$，只要算出∠BOE的度数，再用$360°$除以该角度，若结果为正整数，则BE是对应正n边形的边。计算时先分别求出正方形、正六边形的中心角∠AOB和∠AOE的度数，作差即可得到∠BOE的度数。
【解析】
解：（1）设$\odot O$的半径为R。
圆内接正方形的对角线长等于外接圆直径$2R$，由勾股定理可得正方形的边长为$\sqrt{R^2+R^2}=\sqrt{2}R$；
圆内接正六边形的边长等于外接圆半径，因此正六边形的边长为R；
则正方形ABCD与正六边形AEFCGH的边长之比为$\sqrt{2}R:R=\sqrt{2}:1$。
（2）BE是$\odot O$的内接正十二边形的一边，理由如下：
连接OA、OB、OE。
∵正方形ABCD是$\odot O$的内接正方形，
∴中心角$∠ AOB=\frac{360°}{4}=90°$；
∵正六边形AEFCGH是$\odot O$的内接正六边形，
∴中心角$∠ AOE=\frac{360°}{6}=60°$；
∴$∠ BOE=∠ AOB-∠ AOE=90°-60°=30°$；
根据正n边形中心角与边数的关系，得$n=\frac{360°}{30°}=12$，即BE是$\odot O$的内接正十二边形的一边。
【答案】
（1）$\sqrt{2}:1$；
（2）是，n的值为12。
【知识点】
圆内接正多边形性质；正多边形中心角计算；勾股定理
【点评】
本题考查正多边形与圆的综合应用，解题关键是熟练掌握正多边形的边长、中心角与外接圆半径的对应关系，题型基础，掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
（1）要求正方形和正六边形的边长之比，已知二者外接圆相同，可先设外接圆半径为R，分别根据圆内接正方形、正六边形的边长与外接圆半径的关系求出对应边长，再作比化简即可得到结果。
（2）判断BE是否为⊙O内接正n边形的一边，核心是求BE对应的中心角度数：正n边形的中心角为$\frac{360°}{n}$，只要算出∠BOE的度数，再用$360°$除以该角度，若结果为正整数，则BE是对应正n边形的边。计算时先分别求出正方形、正六边形的中心角∠AOB和∠AOE的度数，作差即可得到∠BOE的度数。
【解析】
解：（1）设$\odot O$的半径为R。
圆内接正方形的对角线长等于外接圆直径$2R$，由勾股定理可得正方形的边长为$\sqrt{R^2+R^2}=\sqrt{2}R$；
圆内接正六边形的边长等于外接圆半径，因此正六边形的边长为R；
则正方形ABCD与正六边形AEFCGH的边长之比为$\sqrt{2}R:R=\sqrt{2}:1$。
（2）BE是$\odot O$的内接正十二边形的一边，理由如下：
连接OA、OB、OE。
∵正方形ABCD是$\odot O$的内接正方形，
∴中心角$∠ AOB=\frac{360°}{4}=90°$；
∵正六边形AEFCGH是$\odot O$的内接正六边形，
∴中心角$∠ AOE=\frac{360°}{6}=60°$；
∴$∠ BOE=∠ AOB-∠ AOE=90°-60°=30°$；
根据正n边形中心角与边数的关系，得$n=\frac{360°}{30°}=12$，即BE是$\odot O$的内接正十二边形的一边。
【答案】
（1）$\sqrt{2}:1$；
（2）是，n的值为12。
【知识点】
圆内接正多边形性质；正多边形中心角计算；勾股定理
【点评】
本题考查正多边形与圆的综合应用，解题关键是熟练掌握正多边形的边长、中心角与外接圆半径的对应关系，题型基础，掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
